《生活中的优化问题举例》教学反思 人教A 版选修2-2的1.4节是《生活中的优化问题举例》。“优化问题”是现实生活中常碰到的问题，比如费用最低、用料最省、效率最高等。
本节课的教学目标是：1.通过生活中的优化问题的学习，使学生体会导数在解决生活中的优化问题的广泛作用和强大实力，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；2.通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高，突出导数的应用研究。
本节课的难点主要有两个：难点之一是数学建模问题；学生难以写出函数关系式。难点之二是学生的“用导数求函数最值”知识是否扎实。教材选取的这三道题虽然都来自实际生活，但对于本校的学生来讲，还是有难度的，所以选择了面积、容积最值问题，利润最大问题，费用最省相对来说较容易的三个研学问题。
比如例题1，海报版面尺寸的设计问题，有些学生难以写出目标函数85122++=x
x S ，采用求导的方法求最值是一种方法，另外根据函数的形状，有一部分学生能够想到运用基本不等式。
在第二题容积最大问题中，较多学生易忽略定义域的问题。 利润与费用最省问题，也是实际中常遇见的问题。
因为考虑到部分学习能力强的学生，所以加入了一道高考题。 本节课总体来说学生反映不错，达到了学习目标。
最后，本堂课中难点是数学建模，数学建模是数学核心素养的一部分，素质教育的核心是创新教育,这已然成为全社会的共识。要培养学生的创新意识创新精神,首先就要求教师具有创新精神,要能科学、合理正确地使用好教材, 提高课堂效率,发展学生的思维能力, 我想这也是每个中学教师都所面临的共同挑战。
利用导数解决生活中的优化问题 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。 一．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 二．利用导数解决优化问题的基本思路： 三、应用举例 例1（体积最大问题）用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 解：设长方体的宽为(m)x ，则长为2(m)x ，高为 181234.53(m)042x h x x -??==-<< ?? ?．故长方体的体积为 22323()2(4.53)96(m )02V x x x x x x ??=-=-<< ??? ． 从而2()181818(1)V x x x x x '=-=-． 令()0V x '=，解得0x =（舍去）或1x =，因此1x =． 当01x <<时，()0V x '>；当312 x <<时，()0V x '<． 故在1x =处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值． 从而最大体积233 (1)91613(m )V V ==?-?=，此时长方体的长为2m ，高为1.5m ． 答：当长方体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为33m ． 点评：用导数来解决实际问题时，一般首确定自变量，选定了自变量，要搞清自变量的围，再列出关系式，对关系式进行求导，最后求出最值来。 例2（帐篷设计问题）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐
§2 导数在实际问题中的应用 2.1 实际问题中导数的意义 一、选择题 1．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2(t 表示时间)，则当t ＝2时，汽车的加速度是( ) A ．14 B ．4 C ．10 D ．6 2．某汽车的紧急刹车在遇到特别情况时需在2s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－1 3t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( ) A ．汽车刹车后1s 内的位移 B ．汽车刹车后1s 内的平均速度 C ．汽车刹车后1s 时的瞬时速度 D ．汽车刹车后1s 时的位移 3．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，假设f ′(x )>0恒成立，且f ′(10)＝10，f ′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( ) A ．公司已经亏损 B ．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小 C ．公司在亏损且亏损幅度变小 D ．公司的盈利在增加，增加的幅度变大 4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是( ) 5．细杆AB 的长为20cm ，M 为细杆AB 上的一点，AM 段的质量与A 到M 的距离的平方成正比，当AM ＝2cm 时，AM 的质量为8g ，那么当AM ＝x cm 时，M 处的细杆线密度ρ(x )为( ) A ．2x B ．3x C ．4x D ．5x 6．如图，设有定圆C 和定点O ，当l 从l 0开始在平面上绕O 匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，它的图像大致是( )
导数在解决实际问题中的应用 导数在实际生活中的应用主要是解决相关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何相关的最值问题； 2、与物理学相关的最值问题； 3、与利润及其成本相关的最值问题； 4、效率最值问题。 解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相对应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -= cm ，得箱子容积 2 60) ( 322x x h x x V -== )600(< x x x V 2)260()(-=)300(< 2、1 实际问题中导数的意义 编写人：刘春林 审核人：罗保林 高二 班 组 姓名 组评 师评 使用说明：1、紧扣学习目标，认真阅读课本63-65页的内容。 2、阅读完后，独立完成自主学习部分的题目。 学习目标：1.（知识与技能）进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型。 2.（过程与方法）进一步体会和应用极限思想，学会用极限的思想分 析并解决问题。 3.（情感态度与价值观）通过不同背景的问题解决最后统一为导数模 型的过程，认识到数学与生活的关系和数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴涵的理性美产生发自内心的欣赏情感。 学习重点：理解导数概念，并利用导数概念形成过程中的基本思想分析问题。 学习难点：利用导数思想方法分析实际问题的一些量，得到导数模型； 一、 自主学习 1、平均速度刻画了 。瞬时速度是指 。 2、函数的平均变化率是刻画函数值在区间[21,x x ]上 。而瞬时变化率刻画的是函数在 。 3、在数学中，称瞬时变化率为函数)(x f y =在0x 点的 。 4、物体运动方程是536 1 23-+-=t t s ，物体在t=3时的速度为 。 二、合作探究 探究一：功与功率 例1 某人拉动一个物体前进，他所做的功W （单位：J ）是时间t （单位：s ）的函数，设这个函数可以表示为W=W （t ）=t t t 16623+-。 （1）求t 从1s 变到3s 时，功W 关于时间t 的平均变化率，并解释 它的实际意义； （2）求)1( W'，)2( W'，并解释它们的实际意义。 在物理学中，通常力在单位时间内做的功为，单位瓦特。探究二：降雨强度 例2 表3-5为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据。 显然，降雨量y是时间t的函数，用) f y=表示。 (x （1）分别计算当t从0变到10，从50变到60时，降雨量y关于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；（2）假设得到降雨量y关于时间t的函数的近似表达式为t ) (=， f10 t 求) f'并解释它的实际意义。 40 ( 实际问题中导数的意义 一、学习要求： 导数在实际生活中的应用 二、学习目标 能运用导数方法求解有关利润最大，用料最省，效率最高等最优化问题，体会导数在解决实际生活问题中的作用。 三、重点难点 用导数方法解决实际生活中的问题 四、要点梳理 解应用题的基本程序是： 读题 建模 求解 反馈 （文字语言） （数学语言） （导学应用） （检验作答） 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤: ① 分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间 的函数关系()y f x =；注意x 的范围。 ② 利用导数求函数()f x 的极值和函数的最值；给出数学问题的解答。 ③ 把数学问题的解答转化为实际问题的答案。 五、基础训练： 1． 周长为20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________。 2 某产品的销售收入1y （万元）是产量x （千台）的函数：2117y x =，生产总成本2y （万 元）也是产量x （千台）的函数：3222(0)y x x x =->，为使利润最大，应生产产品________ 台。 3 一轮船以v 千米/时的速度航行，每小时用煤3 0.30.001v +吨，____v =千米/时，才能使轮船航行每千米用的煤最少。 4 设正三棱柱的体积为v ，那么其表面积最小时的底面边长为________。 5 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知 总收益R 与年产量x 的关系是： 21400(0400)()280000(400)x x x R x x ?-≤≤?=??>? ，则总利润最大时，每年生产的产品是_______ 个单位。 六、典型例题 例1 用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问：该长方体长，宽，高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 例2 经过点(1,1)M 作直线l 分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于,A B 两点，设直线l 的斜率为k ，O A B ?的面积为S （1） 求S 关于k 的函数关系式()S f k =； （2） 求S 的最小值以及相应的直线l 的方程。 变式：有一隧道既是交通拥挤地段又是事故多发地段。为了保证安全，交通部门规定：隧道内的车距()d m 正比于车速(/)v k m h 的平方与自身长()l m 的积，且车距不得小于半个车身长。而当车速为60(/)k m h 时，车距为1.44个车身长。在交通繁忙时，应规定车速为多少时可以使隧道的车流量最大。 例 3 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 及CD 的中点P 处，已知20,10A B k m C B k m ==，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A ，B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道,,A O B O O P ，设排污 2.1 实际问题中导数的意义 教学目标： 知识与技能： ⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法 ⑵会利用导数求解最值 过程与方法： 通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程 情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法 教学重点：函数建模过程 教学难点：函数建模过程 教学过程： 例4：（面积容积最大问题）请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为m 1的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为m 3的正六棱锥（如图所示），试问当帐篷的顶点O 到底面中心1O 的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 思路点拨：设出项点O 到底面中心1O 的距离x 后，求出底面边长，表示帐篷的体积 解：设1OO 为xm ，则41< ]1)1(31)[28(233)(2+--+=x x x x V )1216(2 33x x -+ 求导数，得)312(23)('2x x V -= 令0)('=x V ，解得2-=x （不合题意，舍去），2=x 当21< 教学过程 一、复习预习 复习1：函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________ 复习2：函数()sin f x x x =-在[0,]2π 上的最大值为_____；最小值为_______. 二、知识讲解 创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。 解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路： 考点/易错点1注意实际问题中的定义域 将实际问题抽象成数学问题之后，往往容易忽略函数的定义域，比如实际问题的人数必须是正整数等等。 三、例题精析 【例题1】 【题干】汽油的使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题： （1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ （2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？ 【答案】因为 w w g t G s s v t === 这样，问题就转化为求g v 的最小值．从图象上看，g v 表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90/km h ． 因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90/km h ．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即()90f '，约为 L ． 【解析】研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么w G s =，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的问题． 通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究， 人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有如图所示的函数关系()g f v =． 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题． 【例题2】 高中数学课时跟踪检测（十二）实际问题中导数的意义北师大版 选修22 课时跟踪检测（一） 归纳与类比 一、基本能力达标 1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2 ，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( ) A ．7 m/s B ．6 m/s C ．5 m/s D ．8 m/s 解析：选C s ′(t )＝2t －1，∴s ′(3)＝2×3－1＝5. 2．某旅游者爬山的高度h (单位：m)关于时间t (单位：h)的函数关系式是h ＝－100t 2＋800t ，则他在t ＝2 h 这一时刻的高度变化的速度是( ) A ．500 m/h B ．1 000 m/h C ．400 m/h D ．1 200 m/h 解析：选C ∵h ′＝－200t ＋800， ∴当t ＝2 h 时，h ′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)． 3．圆的面积S 关于半径r 的函数是S ＝πr 2，那么在r ＝3时面积的变化率是( ) A ．6 B ．9 C ．9π D ．6π 解析：选D ∵S ′＝2πr ，∴S ′(3)＝2π×3＝6π. 4．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关 于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－13 t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( ) A ．汽车刹车后1 s 内的位移 B ．汽车刹车后1 s 内的平均速度 C ．汽车刹车后1 s 时的瞬时速度 D ．汽车刹车后1 s 时的位移 解析：选C 由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 5．正方形的周长y 关于边长x 的函数是y ＝4x ，则y ′＝______，其实际意义是__________________________________． 答案：4 边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度 6．某汽车的路程函数是s ＝2t 3－12 gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是________m/s 2 . 第四章 §2 2.1 一、选择题 1．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，则f ′(x 0)表示( ) A ．自变量x ＝x 0时对应的函数值 B ．函数值y 在x ＝x 0时的瞬时变化率 C ．函数值y 在x ＝x 0时的平均变化率 D ．无意义 [答案] B [解析] 根据导数的几何意义知选B. 2．质点运动的速度v (单位：m/s)是时间t (单位：s)的函数，且v ＝v (t )，则v ′(1)表示( ) A ．t ＝1s 时的速度 B ．t ＝1s 时的加速度 C ．t ＝1s 时的位移 D ．t ＝1s 时的平均速度 [答案] B [解析] v (t )的导数v ′(t )表示t 时刻的加速度． 3．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2(t 表示时间)，则t ＝2时，汽车的加速度是( ) A ．14 B ．4 C ．10 D.6 [答案] A [解析] 速度v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t . 所以加速度a (t )＝v ′(t )＝12t －10，当t ＝2时，a (t )＝14，即t ＝2时汽车的加速度为14. 4．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系如图所示，那水瓶的形状是( ) [答案] B [解析] 在曲线上任取一个横坐标为h 0的点，则注水量V 在h 0到h 0＋Δh 的平均变化率为ΔV Δh ，在h 0处的导数为V ′＝lim Δx →0 ΔV Δh .由图像可知，随着h 0的增大，曲线的切线的倾斜角 越来越小，切线的斜率也就越来越小，即导数越来越小，那么在Δh不变的前提下，平均变＝ΔS，因此，水瓶中水面的面积会越来越小，故选B. 化率ΔV Δh 5．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是() A．－1 §2导数在实际问题中的应用 2．1实际问题中导数的意义 ●三维目标 1．知识与技能：利用实际问题巩固和加强对导数概念的理解．理解瞬时速度、边际成本等概念并能利用导数求解有关实际问题． 2．过程与方法：通过具体实际问题，进一步理解导数的作用、培养探求规律的能力． 3．情感、态度与价值观：体会导数在实际问题中的意义，激发学生学习兴趣，培养科学精神． ●重点难点 重点、难点：实际问题中导数的意义的理解． 通过例题与练习让学生在解决实际问题中深入理解导数的意义． ●教学建议 本节是实际问题中导数的意义，是在进一步理解导数在实际问题中的意义中，引导学生理解“速度是路程关于时间的导数”，“功率是功关于时间的导数”等，让学生体会生活中的导数，进一步理解导数的意义． ●教学流程 创设问题情境，提出问题 学生通过回答问题，进一步学习、认识实际问题中导数的意义 通过例1及变式训练，使学生掌握导数在物理学中的意义 通过例2及变式训练，使学生掌握导数在经济生活中的意义 通过例3及变式训练，使学生掌握导数在日常生活中的意义 完成当堂双基达标，巩固所学知识 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 问题：某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－4t2＋10t. (1)t从1 s到4 s时W关于t的平均变化率是多少？ (2)上述问题的实际意思什么？ (3)W′(1)的实际意义是什么？ 【提示】(1)W（4）－W（1） 4－1 ＝ 40－7 3＝11(J/s)． (2)它表示从t＝1 s到t＝4 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J. (3)W′(t)＝3t2－8t＋10.W′(1)＝5表示在t＝1 s时每秒做功5 J. 1. 在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特，功率是功关于时间的导数． 2. 在气象学中，通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度．它是反映一 3.2.1 实际问题中导数的意义 3.2.2最大值、最小值问题 1.了解实际问题中导数的意义及最大值、最小值的概念.(难点) 2.理解函数的最值与导数的关系.(重点) 3.掌握利用导数求函数的最值及由导数解决实际中的优化问题.(难点) [基础·初探] 教材整理1 导数的实际意义 . 完成下列问题，”以上部分练习“65 P ～63 P 阅读教材 在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量.以中学物理为例，速度 . 的导数等时间关于功功率是，的导数长度关于质量线密度是，的导数时间关于路程是 质点运动的速度v (单位：m/s)是时间t (单位：s)的函数，且v ＝v (t )，则v ′(1)表示 ( ) A.t ＝1 s 时的速度 B.t ＝1 s 时的加速度 C.t ＝1 s 时的位移 D.t ＝1 s 的平均速度 【解析】v (t )的导数v ′(t )表示t 时刻的加速度，故选B. 【答案】B 教材整理2 函数的最值与导数 . 完成下列问题，66 P 阅读教材 1.最大值点与最小值点. 指的是：函数在这个区间上所有点的函数 0x 上的最大值点]b ，a [在区间)x (f ＝y 函数). x (f 不超过值都 指的是：函数在这个区间上所有点的函数 0x 上的最小值点]b ，a [在区间)x (f ＝y 函数). x (f 不低于值都 2.最大值与最小值 ，要想求函数的最因此.取得区间的端点或者在，取得值点)小(极大值或者在)小(最大函数 值点与区间端点的)小(值点，然后将所有极大)小(值，应首先求出函数的极大)小(大 . ( 其中 ， 值 进行比较 小 最大 ) ) 小 值 的值 即为函数的最大 ( 函数的最大值和最小值统称为 最值 . 1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的最大值一定是函数的极大值.( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值.( ) (3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.( ) 【答案】(1)×(2)√(3)× 2.函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( ) B.有极值 A.无最值 D.有最小值 C.有最大值【解析】f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极 值，也无最值. 【答案】A [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： [小组合作型] 导数在实际问题中的意义 J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W(t)＝t3－6t2＋16t. 2、导数的物理意义 考试总分： 100 分考试时间： 30 分钟 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、选择题（共 7 小题，每小题 10 分，共 70 分） 1.若质点P的运动方程为P(P)=2P2+P（P的单位为米，P的单位为秒），则当P=1时的瞬时速度为（） A.2米/秒 B.3米/秒 C.4米/秒 D.5米/秒 2.已知半径是P的球的体积公式为P=4P 3 P3，则当P=2时，球的体积P对于半径P的变化率是（） A.4P B.8P C.16P D.32P 3.物体作直线运动的方程为P=P(P)，则P′(4)=10表示的意义是（） A.经过4P后物体向前走了10P B.物体在前4P内的平均速度为10P/P C.物体在第4P内向前走了10P D.物体在第4P时的瞬时速度为10P/P 4.某炼油厂将原油精练为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第P小时时，原油温度（单位： °P）为P(P)=1 3 P3?P2+8(0≤P≤5)，那么当P=1时原油温度的瞬时变化率的是（） A.8 B.20 3 C.?1 D.?8 5.一质点做直线运动，由始点起经过P?P后的距离为P=1 4 P4?4P3+16P2，则速度为零的时刻是（） A.4P末 B.8P末 C.0P与8P末 D.0P，4P，8P末 6.某市在一次降雨过程中，降雨量P(PP)与时间P(min)的函数关系可近似地表示为P= P(P)=√10P，则在时刻P=40min的降雨强度为（） A.20PP/min B.400PP/min C.1 2PP/min D.1 4 PP/min 7.一个物体的运动方程为P=P2其中P的单位是米，P的单位是秒，那么物体，在3秒末的瞬时 速度是（）米/秒． A.2 B.4 C.6 D.8 二、填空题（共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 8.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第PP时，原油的温度（单位°P）为P=P(P)=P2?7P+15(0≤P≤8)，则第4P时原油温度的瞬 时变化率是________°P/P；在第4P时附近，原油的温度在________．（此空填上升或下降）9.一质点按规律P=2P3运动，则其在时间段[1,?1.1]内的平均速度为________P/P，在P=1时的瞬时速度为________P/P． 10.如图所示，水波的半径以1P/P的速度向外扩张，当半径为5P时，这水波面的圆面积的膨胀 率是________P2/P． 【成才之路】2015-2016学年高中数学第3章 2第1课时实际问题中导数的意义课时作业北师大版选修2-2 一、选择题 1．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′(t0)表示( ) A．t＝t0时做的功B．t＝t0时的速度 C．t＝t0时的位移D．t＝t0时的功率 [答案] D [解析]W′(t)表示t时刻的功率． 2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，(s的单位是s，t的单位是s)，那么物体在3 s末的瞬时速度是( ) A．7米/秒B．6米/秒 C．5米/秒D．8米/秒 [答案] C [解析]s′(t)＝2t－1， ∴s′(3)＝2×3－1＝5. 3．如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( ) A．6 B．18 C．54 D．81 [答案] B [解析]瞬时速度v＝lim Δt→0Δs Δt ＝lim Δt→0 33＋Δt2－3×32 Δt ＝lim Δt→0 3(6＋Δt)＝18. 4．如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是( ) [答案] D [解析]由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快． 选项A表示面积的增速是常数，与实际不符； 选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符； 选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符； 选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．符合实际． [点评]函数变化的快慢可通过函数的导数体现出来，导数的绝对值越大，函数变化越快，函数图像就比较“陡峭”，反之，函数图像就“平缓”一些． 5．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系为v＝v(t)＝t3＋3t，则t＝t0s时轿车的加速度为( )m/s2 A．t30＋3t0B．3t20＋3 C．3t30＋3t0D．t30＋3 [答案] B [解析]∵v′(t)＝3t2＋3， 则当t＝t0s时的速度变化率为v′(t0)＝3t20＋3(m/s2)． 即t＝t0s时轿车的加速度为(3t20＋3)m/s2. [点评]运动方程s＝s(t)的导数表示的是t时刻时的瞬时速度，速度方程v＝v(t)的导数表示的是t时刻时的加速度． 二、填空题 6．人体血液中药物的质量浓度c＝f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，若f′(2)＝0.3，则f′(2)表示________． [答案]服药后2分钟时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3mg/mL的速度增加． 7．假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品价格上涨的速度大约是________元/年(精确到0.01)．[答案]0.08 [解析]因为p0＝1，所以p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t，在第10个年头，这种商品价格上涨的速度，即为函数的导函数在t＝10时的函数值． 因为p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln1.05， 2.1 实际问题中导数的意义 [A组基础巩固] 1．已知函数y＝f(x)，x∈R，则f′(x0)表示() A．自变量x＝x0时对应的函数值 B．函数值y在x＝x0时的瞬时变化率 C．函数值y在x＝x0时的平均变化率 D．无意义 解析：由导数的概念可知选B. 答案：B 2．速度v关于时间t的函数关系式为v＝f(t)＝t2－10t，则t＝1时的加速度为() A．－9B．－8 C．9 D．8 解析：f′(t)＝2t－10，∴f′(1)＝2×1－10＝－8，即为t＝1时的加速度． 答案：B 3．从时刻t＝0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q＝2t2＋3t表示，则第5 s时电流强度为() A．27 C/s B．20 C/s C．25 C/s D．23 C/s 解析：某种导体的电量q在5 s时的瞬时变化率就是第5 s时的电流强度． ∵q′＝4t＋3， ∴当t＝5时，电流强度为4×5＋3＝23(C/s)． 答案：D 4．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f(x)>0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较() A．公司已经亏损 B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大 C．公司在亏损且亏损幅度变小 D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小 解析：导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的． 答案：D 5．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－1 3 t 3－4t 2＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( ) A ．汽车刹车后1 s 内的位移 B ．汽车刹车后1 s 内的平均速度 C ．汽车刹车后1 s 时的瞬时速度 D ．汽车刹车后1 s 时的位移 解析：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 答案：C 6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝3t 2＋t ，则速度v ＝10时的时刻t ＝________. 解析：s ′＝6t ＋1，则v (t )＝6t ＋1，令6t ＋1＝10，则t ＝3 2. 答案：32 7．某商品价格P (单位：元)与时间t (单位：年)有函数关系式P (t )＝(1＋10 %)t ，那么在第8个年头此商品价格的变化速度是________． 解析：P ′(t )＝1.1t ln1.1，∴P ′(8)＝1.18ln 1.1(元/年)． 答案：1.18ln 1.1 8．某国家在20年期间的年平均通货膨胀率为5%，物价P (单位：元)和时间t (单位：年)有如下函数关系： P (t )＝P 0(1＋5%)t ， P 0为t ＝0时的物价，假定某种商品为P 0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是________(精确到0.01)． 解析：∵P ′(t )＝1.05t ln 1.05， ∴P ′(10)＝1.0510ln 1.05≈0.08(元/年)． 答案：0.08元/年 9．若某段导体通过的电量Q (单位：C)与时间t (单位：s)的函数关系为Q ＝f (t )＝1 20t 2＋t － 80，t ∈[0,30]，求f ′(15)的值并解释它的实际意义． 解析：Q ′＝f ′(t )＝110t ＋1，令t ＝15，则f ′(15)＝5 2(C/s)，这表示t ＝15 s 时的电流强度， 即单位时间内通过的电量．实际问题中导数的意义
高中数学第二章变化率与导数及导数的应用实际问题中导数的意义学案北师大版选修1-1
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用导数处理实际问题中的最优化问题
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1-1第4章 §2 2.1实际问题中导数的意义
4.2.1实际问题中导数的意义 教案(高中数学选修1-1北师大版)
2016_2017学年高中数学第三章导数应用3.2.1实际问题中导数的意义3.2.2最大值最小值问题
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