当前位置：文档之家› 北京大学量子力学教材第四章

北京大学量子力学教材第四章

第四章

量子力学中的力学量

第四章目录

§4.1表示力学量算符的性质 (3)

(1) 一般运算规则 (3)

(2) 算符的对易性 (5)

(3) 算符的厄密性（Hermiticity） (7)

§4.2 厄密算符的本征值和本征函数 (10)

(1) 厄密算符的本征值和本征函数 (10)

(2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 (12)

§4.3 连续谱本征函数“归一化” (15)

（1）连续谱本征函数“归一化” (15)

（2） δ函数 (18)

（3）本征函数的封闭性 (22)

§4.4 算符的共同本征函数 (24)

(1) 算符“涨落”之间的关系 (24)

(2) 算符的共同本征函数组 (27)

(3) 角动量的共同本征函数组―球谐函数 (28)

(4) 力学量的完全集 (34)

§4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） .36

(1) 力学量的平均值，随时间变化；运动常数 (36)

(2) Vivial Theorem维里定理 (37)

(3) 能量—时间测不准关系 (38)

(4) 恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） (38)

第四章量子力学中的力学量

§4.1表示力学量算符的性质

(1) 一般运算规则

一个力学量如以算符O

?表示。它代表一运算，它作用于一个波函数时，将其变为另一波函数

)z ,y ,x ()z ,y ,x (O

??=ψ。它代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O

???→?ψ

例： /p

?ia x e O

?-=，于是

)x (e )x (O

?dx d

ψ=ψ-

∑∞

=ψ-=0n n

n )x (dx

d !n )a ( )a x (-ψ= )x (?=

即将体系的几率分布沿x 方向移动距离a .

A. 力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程。

由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。所谓线性算符，即

ψ=ψO ?c )c (O

? 22112211ψ+ψ=ψ+ψO ?c O ?c )c c (O ?

例如1： ψ=?ψ?H ?

若1ψ是方程解，2ψ也是方程解，则2211c c ψψ+是体系的可能解。事实上

22112211ψ??+ψ??=ψ+ψ??

t i c t i c )c c (t

2211ψ+ψ=H ?c H ?c 是线性算符仅当H ?有 )c c (H ?2

211ψ+ψ=；例如2：对不显含时间的薛定谔方程

ψ=ψE H

?，若 11ψ=ψE H ?，2

2ψ=ψE H ?，则 2211ψ+ψc c 也是解 )c c (E 2211ψ+ψ 2211ψ+ψ=E c E c

2211ψ+ψ=H ?c H ?c 是线性算符仅当H ?有 )c c (H ?2

211ψ+ψ= 量子力学不仅要求力学量算符是线性算符，而且方程是线性齐次，

方程A O

?=ψ就不行。因 A O ?=ψ1，A O ?=ψ2

。但 )c c (A O ?c O ?c )c c (O ?2122112211+=ψ+ψ=ψ+ψ。

而 121≠+c c 。所以，方程形式只能为0=ψ)O

?(F ，且)O ?(F 必须是线性算符。当然，可观察的力学量算符不仅应是线性的，而且应是线性厄密算符。

B. 算符之和：

B ?A ?O

?+=表示，对任意波函数进行变换所得的新波函数完全相等，即 ?=ψO ?，?=?+?=ψ+ψ=ψ+B

A B ?A ?)B ?A ?(； C. 算符之积: B ?A ?O

?=表示，对任意波函数ψ，有?=ψO ?，则 ?=?=ψB

A ?

B ?A ?； D. 逆算符：算符O

?将任一波函数??→?ψO

?, 即?=ψO ?。若有另一算符使ψ=?R ?，则称R ?为O ?的逆算符，并表为1O ?R ?-=，显然，1O ?O ?O ?O ?11==--；

E. 算符的函数：

设：)x (F 在x=0处，有各级导数

∑=n

n x !

n )(F )x (F 0，

则定义算符的函数

∑=n

n A ?!

n )(F )A ?(F 0。

例如: x e 它有各级导数10

n (x )e (，∑

x x !

n e 1。于是 ∑

?A ?!

n e

1。如果函数不能以幂级数表示，则还有算符函数的自然展开。我们将在后面给出。

（2）算符的对易性

一般而言，两算符的乘积和次序有关，不能彼此对易。

若 /?

i y e A

π-=,

/L ?

i z e B

?2π-=，则 A ?B

?B ?A

?≠。我们熟悉 ψ'-=ψx i p

?x x ，ψ'-ψ-=ψx i i x p ?x 。所以 ψ=ψ-ψ i x p ?p

?x x x 由于ψ是任意波函数。所以算符 i x p ?p

?x x x =-。引入对易子：[]B ?,A

?为算符B ?A ?和的对易子，[]

A ?

B ?B ?A ?B ?,A ?-=。由于算符的不可对易性，导致其对易子并不定为0。对易子有如下性质

]A ?,B ?[]B ?,A

?[-= C ?]B ?,A ?[]C ?,A ?[B ?]C ?B ?,A

?[+= B ?]C ?A ?[]C ?B ?[A ?]C ?B ?A

?[?+?=?，并有 ∑-=--=1

01n S s n s n B ?]B ?,A ?[B ?]B ?,A

?[，证： 1n = 成立

设： 1n -成立，即

∑-='-'--'-=2

111n S s n s n B ?]B ?,A ?[B ?]B ?,A

?[，而 11

--+=n n n

B ?]B ?,A

?[]B ?,A ?[B ?]B ?,A

?[ 12

11--='-'--'+=∑n n S s n s B ?]B ?,A ?[B ?]B ?,A ?[B ?B

1n 2

n 0

S 1s 1n 1s B ?]B ?,A ?[B ?]B ?,A ?[B

?--='-'--+'+=

∑ 111

1--=--+=

∑n n S s n s B ?]B ?,A ?[B ?]B ?,A ?[B

? ∑-=--=

1n S s n s B ?]B ?,A ?[B

? 例：求 ]p ?,x [n x

∑-=--=

1n S s n x x s x p ?]p ?,x [p

? ∑-=-=

1n S n x p ?i

1-=

n x p ?n i 。

由于算符之间存在不对易的情况，因此在算符的运算时，要特别小心，不要与常规运

算混淆。

例：B ?,A

? 都和 ]B ?,A ?[ 对易，可证明 ]B ?,A ?[B ?A

.e 21++=。所以， p

?x p ?

x x x

e .e

21++= 。这种差异，是因为A ?B ?B ?A

?≠。而仅当A ?B ?B ?A ?=时，B A B A e e .e += 才成立。下面是一些有用的对易关系

k ijk j i x i ]x ,L ?[ε= k ijk j i p ?i ]p ?,L ?[ε= k ijk j i L ?i ]L ?,L ?[ε=

其中 i,j,k 可取1，2，3，ijk ε称为Levi-Civita 符号。取值ijk

)

(δ-1（ijk δ为

从123→ijk 的对换数。如 1132=δ，1)1(1

132-=-=ε。显然，当ijk 中有两个相同，则ijk ε=0 ）。

用上述关系可证：

r i L ?r r L

? 2=?+?

p ?i L ?p ?p ?L

? 2=?+? 这表明，L ?r r L

??-≠?，L ?p ?p ?L ??-≠?。但r p ?p ?r ?-=?，所以， p ?r )r p ?p ?r (L ??=?-?=2

1 应该强调指出：对易关系是与坐标选择无关。因此，求对易关系，可找计算起来最简单的坐标系来做。其结果，当然对任何坐标系都成立。

例： ]r ,L ?[z

]r x

y y x

(i [??

-??-= r

yx r xy (

i 2222--= =0 。而 ]r ,L ?[z

]r ,i [?

-= =0 。另外，对易关系与表象选择无关。

如 ]p ?,x [n x ]p ,p i [n x x ??= 1-=n x p ?n i （3）算符的厄密性（Hermiticity ）

A. 算符复共轭：若对波函数（任意）有

ψ=?A

?, **B ?ψ=? 则称B

?为A ?的复共轭算符，以*

A ?表示。例 )x (dx

i )x (p

?)x (x ψ-=ψ=? , *x **)x (p ?dx d i ))x (dx d i ()x (ψ-=ψ=ψ-=? , 所以，x *

x p p -=。

事实上，算符的复共轭就是将算符所有复数量取复共轭。显然，

***B ?A ?)B ?A

?(=， A ?)A ?(**=。 B. 算符的转置

1. 标积定义：若体系有两个波函数，其标积为

??ψ=?ψr d ),(*

。

显然，02

>ψ=ψψ?r d ),(

对于标积，显然

),(),(),(***ψ?ψ??ψ==

),(),(),(22112211?ψλ?ψλ?λ?λψ+=+

),(),(),(2*

21*12211?ψλ?ψλ?ψλψλ+=+。

所以对?，标积是性运算；而对ψ，标积是反线性运算。当标积为零，

0r d ),(*==??ψ?ψ 则称这两波函数正交。

2．转置定义：算符B 称为算符A

?的转置算符，即 ??=r d B ?r d A

?**ψ??ψ，或 )B ?,()A ?,(**ψ??ψ=。通常以算符A

?表示算符A ?的转置算符。即 ??ψ?=?ψr d A

~?r d A ?**，或 )A ~

?,()A ?,(**ψ?=?ψ 例：???ψ??-?=ψ???-?ψ=???ψ+∞∞

-r d x (r d x r d x ***

，所以， x

x ~

-=??，

显然，x x p ?p

?-=。可以证明 A ~?B ~?B ?A ?~

=, A ?A

~~?= C. 算符的厄密共轭

定义：算符的厄密共轭是该算符取复共轭，再转置，（以+

?表示），即 *

~?A ?=+，也就是，),A ?()A ?,()A

?,(*

**?ψ=ψ?=?ψ+

；由明显的标积形式 ???==+r d )A ?(r d A ?r d A

?****?ψψ??ψ 例： x x

()x (

*??-=??

-=??+

可证：A ?)A ?(=++； +++=A ?B ?)B ?A ?( 而 x x *

x x p ?p ~

?p ~?p

?=-==+

，即x p ?的厄密共轭等于它自己。这是一类

特殊的算符。（x x

?=+

，i

i L ?L ?=+） D. 厄密算符: 若算符的厄密共轭就是它自身，则称该算符为厄密算符，即,

若A

?=+

，则称A ?为厄密算符，也就是 ),A ?(),A ?()A

?,(?ψ=?ψ=?ψ+

。任一算符有 ),A ?()A

?,(?ψ=?ψ+

显然， x x p p

?=+， x x ?=+

， i

i L ?L ?=+。当然实数也是一厄密算符 E. 厄密算符的性质

1. 厄密算符相加、减，仍是厄密算符；但厄密算符之积并不一定为厄密算符

2. 任何状态下，厄密算符的平均值必为实数

*O ?)O ?,(),O ?()O ?,(O

?=ψψ=ψψ=ψψ= 3. 在任何状态下，平均值为实的线性算符必为厄密算符。

证：根据假设，对任一波函数，平均值为实的线性算符A

?有 ),A ?()A ?,()A

?,(*

ψψ=ψψ=ψψ 令 21λψψψ+=, (都是任意的21,,ψψλ), 于是

))(A ?2

121λψ+ψλψ+ψ，（线性)A ?)A ?)A ?)A ?2

12*

2111ψψλ+ψψλ+ψψλ+ψψ=，（，（，（，（（1）实数))(A ?(2

121λψ+ψλψ+ψ=， )A ?)A ?)A ?)A ?2221

2*2111ψψλ+ψψλ+ψψλ+ψψ=，（，（，（，（

)A ?,)A ?,)A ?,)A ?,2

22*21**1211ψψλ+ψψλ+ψψλ+ψψ=（（（（（2）两式相减得 ])A ?)A ?[*

1221ψψ-ψψλ，（，（

)]A ?)A ?[1

2*21*ψψ-ψψλ=，（，（ **1221*])A ?)A ?[ψψ-ψψλ=，（，（

由于入取任意值，上式都成立，因此上式成立仅当

0)]A ?)A ?[1

2*21=ψψ-ψψ，（，（，即 λ为实数，则[] 的虚部为零；λ为虚数，则[] 的实部为零；

),A ?)A ?1212ψψ=ψψ（，（

由于21,ψψ是任意的，所以A

?是厄密算符。易证：若A

?是厄密算符，则0A ?2

≥。因 0)A ?,A ?(≥ψψ

§4.2 厄密算符的本征值和本征函数

(1) 厄密算符的本征值和本征函数

对有一定几率分布（围绕最大几率测量值）的状态，进行一次测量，其偏

差大小可由一“涨落”来定义，即由方均根来定义 ))A ?A ?(,()A ?,(A

?A 222ψ-ψ=ψ?ψ=?=

?。若A

?是一厄密算符，那A 是一实数。所以A ?A ?- 也是一厄密算符。 0))A ?A ?(,)A ?A ?(())A ?A

?(,(2≥ψ-ψ-=ψ-ψ，因此，要使“涨落”为零，即测量值只取确定值（即仅测得一个值，其几

率为1）

即 0)A ?A

?(=ψ- 这一方程表明，当体系处于满足上述方程所确定的状态中，这时测量力学

量A ?，发现没有“涨落”，即测量值为一确定值。当然也就是平均值。

如令这一特殊状态为n u ，而在这一状态中的平均值，也就是这一态中测量仅得一个值n A ，则有方程

n n u A u A ?= 一般而言，这是一微分方程，它的解只有在一定边条件下才能唯一确定（可以是在∞为零；可以是周期性边条件；更一般是保持厄密性）。而在一定边条件下，n A 不是取任何值都有非零解。我们称，有非零解的值,A 1,A 2 3A 为方程的本征值，相应的非零解为本征函数，而上述方程为算符的本征方程。

由于A ?是厄密算符，所以n

A 必为实数。这样给出量子力学中又一基本假设：在量子力学中，一个直接可观测的力学量，对

应于一个线性厄密算符；当对体系进行该力学量的测量时，一切可能测得的值，只能是

算符A

?的本征方程的本征值。显然，仅当体系处于本征函数所描述的状态时，测量值才是唯一的，即为相应的本征值（这时“涨落“为0）。而不含时间的薛定谔方程，即为体系的能量本征方程。

n n n u E u )p ?,r (H

?= 例1：求轨道角动量在z 方向分量的本征值和本征函数。

??-= i L ?Z

)(l )(L ?z

Z ?ψ=?ψ 于是有 z l )(/)(d d

i =?ψ?ψ?

，所以 /il z Ae )

(?=?ψ。

由于Z

L ?是轨道角动量，因此空间转π2回到原处，所以具有周期性边条件，

)()2(?ψπ?ψ=+，所以

m l m 2l 2z z

=?π±=π 2,1,0m ±±=。同时，周期性边条件也保证了Z

L ?是厄密算符。事实上，要求Z

L ?是厄密算符（保证本征值为实数）。那对任意二个波函数21,ψψ

有

??ππ

??ψ??ψ+?ψ?ψ-=?ψ?-ψ20*1220202

12*1d )(d d )(i )()(i d )d d i ( ?π??ψ?ψ?

ψψ-πψπψ-=

2*12*

12*1d )())(d d

i ())0()0()2()2((i

所以，

0))0()0()2()2((2*

12*1=ψψ-πψπψ。

如 21,ψψ是本征解，则有 1e /2)l l (i z

1z 2=π-

，

于是有

m 22)

l l (z

2π±=π-

，即 m )l l (z

1z 2±=- 这表明，两本征值之差最小绝对值为。所以，

???±±±±±±=

,3,2,1,0,25,23,21l z 。也就是说，要求z

L ?是厄密算符，得不出 /l z 必需取整数的结论。例2 求绕固定轴转子的能量本征值和本征函数。绕固定轴转子的能量本征方程

Eu u d d 2Eu u H ?222=?

?-?= 。

所以

?±=212)/E 2(i Ae

在坐标空间转π2，波函数应相等（周期性边条件）

，所以 m E 22

±=?±

， ,3,2,1,0m ±±±=。

固定转子的能量本征值为 2

2m m 2E ?

= ，相应本征函数为

?±?±π

=im im m e 21Ae u 。

因此，除基态外，每条能级是两重简并（这虽是一维问题，且是束缚态分立能级，但简并。这是因为在变量π?20-=之间，波函数无零点。所以，

0c 21

21≠='-'ψψψψ。 (2) 厄密算符的本征值的本征函数性质

A. 力学量的每一可取值都是实数（即本征值）

因厄密算符平均值为实数，所以本征值必为实。这正是我们为什么要求可观测力学量算符是线性厄密算符的缘由。

B. 相应不同本征值的本征函数是正交的

证： n n n u A u A ?= m

m m u A u A ?= )u ,u (A )u A ?,u (m n m m n = )u ,u (A )u A ?,u (n

m n n m =

取复共轭，则有

)u ,u (A )u ,u A ?(m

n n m n = )u ,u )(A A ()u ,u A ?()u A ?,u (m

n n m m n m n -=-。由于A

?是厄密算符，所以 )u ,u )(A A (0m n n m -= 0)u ,u (m n =，即,u n m u 正交。

属于不同本征值的本征函数是正交的（因此，它们是线性无关的），所以它们不能互相代替，这就使波函数在某力学量的本征函数展开时是唯一的，即在∑=ψn n u a 中，n a 是唯一的。

当然，如果一个本征值A n 对应S 个线性无关的本征函数，这组本征函数并不一定正交，我们可以通过Schmit 正交法（Schmit orthogonalization method）来实现正交归一化。

取 )1(s 1)1(s

c ψ=? 使 1),()

1(s )1(s =??；取 )],([c )2(s )1(s )1(s )2(s 2)

2(s ψ??-ψ=?，显然， 0),()2(s )

1(s

=??，且 1),()

2(s )2(s =??。

同样有 )],(),([c )

3(s )2(s )2(s )3(s )1(s )1(s )3(s 3)

3(s

ψ??-ψ??-ψ=?

这必然有 0),(),()3(s )2(s )3(s )1(s ==????，且 1),()

3(s )3(s =?? 。

依此类推。

当然，利用此方法可得多组正交归一化波函数，（如21,??是一组正交归一化的波函数，而

121?-?)(2

121?+?也是一组正交归一化的波

函数）。

C. 任何一个算符总可表示为两个厄密算符之和。

++=A ?i A ?A ? 其中 )A ?A ?(21A ?++

+=，)A ?A ?(2

i A ?+---=。 D. 测量结果的几率

现来计算测量力学量A ?取值n

A 的几率。当要测量力学量A ?的值时，根

据态叠加原理，如能测得 32,1A ,A A ，则体系处的态为

+?+?+?=ψ332211c c c

其中 ?=?n n

A A ?,

所以

?ψψ=r d A

?* ∑?∑??=n

n m

m *

m r d )c (A ?c

?∑??=r d A c c n *

m n ,m n n *m

mn n

,m n n *m A c c δ=

∑

∑=n

n 2

A c

从平均值的观点来看（或态叠加原理来看，∑?=ψ

n n c ，若n ,?ψ都

是归一化的），表达式表明，在ψ中取n A 值的几率为2

c ，也就是说，

在ψ中测量力学量A ?，测得值为n A 的几率为2

c 。所以，n c 为几率振

幅。而由 ∑?=ψn

n n c

得 ?r

d *n ψ??∑??=r d c m *n m

),(c n n ψ?== 。

所以，要求在一体系中（以ψ描述）测量力学量A ?，取值n

A 的几率振幅，就是要将ψ以n ?展开，展开项的n ?系数即为几率振幅，具体表示为 2

1n n n n )

,()

,(),(c ψψ??ψ?=

，

c 为测得n A 的几率。而在ψ状态中，A ?的可能测得值是那些0c n ≠的n

A 。还需指出，n c 的意义还不仅这一点。事实上，当我们得知{n c }全体后，则)r (ψ

完全被确定。因此，{n c }集合也表示了体系的波函数，即完全可代替波函数)r (ψ。

E. 直接可观测的力学量的本征函数构成一完备组。

如{}n ?是力学量A

?的本征函数组，则任一波函数ψ可以以{}n ?表

示。

∑?=ψ

n n c

事实上，根据态叠加原理，体系处于ψ态中，那进行力学量A

?的测量，如测量值为 32,1A ,A A ，则体系只可能处于这些本征值所相应的本征函数的线性叠加态上。即

+?+?+?=ψ

332211c c c 。

所以，从物理上考虑，可以得出结论：任一波函数能够根据可观测的力学量的本

征函数展开。反之，某一力学量的本征函数组并不形成完备组，则这一力学量不是可观测的。

§4.3 连续谱本征函数“归一化”

前面讨论的是局限于分立谱的情况，也就是波函数是平方可积的，能归一化的。显然，并不是所有本征函数都能归一化。

（1）连续谱本征函数“归一化”

与上一节比较

A. 本征函数，本征谱

n ? n A （取分立值） λ? λ（取连续值）

B. 任一波函数可按其展开

∑?=ψn

n n )x (c )x ( ?λ?=ψλλd c )x (

?ψ?=dx c *n n (已归一化n ?) ?ψ?=λλdx c *

(""归一化已λ?)

C. ?∑??=dx )c (c m m m *

n n ??λ'??=λ'λ'λλdx )d c (c *

∑???=m

m *n m dx c ??λ'??=λ'λλ'd )dx (c *

所以，??

??=≠=m n 1m n 0dx m *n ?? ?'dx *λλ??是一“奇异函数”

。因左边仅与λ有关，所以右边λλλ'≠'c 的应无贡献，这时?'dx *λλ??应为零；

而当λλ='时，??λλ'λλ'λ'??c d )dx (c *

应等于。

所以， ??

?λ

=λ'∞λ

≠λ'=???λ'λ0dx *

。

为实现这一要求，我们引入一个奇异函数，即)x (δ，其定义

?=-∞≠-=-δ0x x 0

x x 0)x x (000，以及 ???

??<<=-δb

a 0000x )

b ,a (0

x a )x (f dx )x x ()x (f 。

因此，如 )(dx *

λ'-λδ=???λ'λ，则

???λλ'λ'λλ'=λ'λ'-λδ=λ'??c d )(c d )dx (c *

这就保证获得我们所需结果。

所以，连续谱本征函数λ?应使其有)(),(λλδ??λλ'-='，这时连续谱本征函数“正交归一”了。它是分立谱本征函数的正交归一nm m n ),(δ??=的自然推广。 D. 2

c 表示态)x (ψ中测量而由 dx )x (?)x (*ψλ

ψλ?= 力学量A ?取n

A 的几率 ???λ'?λ?λ?=λλ'λλ)d c (?)d c (dx *

（如)x (ψ已归一化）

。 ?λ'λλ'-λδλ'=λ'λd d )(c c *

∑=n

n c A A ? ?λλ=λd c 2 由这可见（如)x (ψ已归一化），λλd c 2

为测量λ

?取值在λλλd +-区域中的几率，而2

c λ

是表示在态)x (ψ中测得值为λ的几率密度。

例1：求“正交归一”的动量本征函数

设：)x (ψ是平方可积，即可进行Fourier 展开

?''π=

ψ'k d e )k (F 21)x (x

k i ，

而 ?ψπ

=-dx )x (e

21)k (F ikx

k d dx e )k (F 21x )k k (i ''π

?-' 于是应有 ?-'δ'=dk )k k ()k (F )k (F 。

所以，

)k k (dx e 21x

)k k (i -'δ=π

?-'。“正交归一”的动量本征函数为 ikx k e 21)x (π=

例2，求“正交归一”的坐标本征函数

由本征方程

)x (x )x (x

?x x ''?'=? ?=?'-'0)x ()x x (x ???

??''-'δ=?????'

=∞'

≠=??'''

x x (dx )x ()x (x x x x 0)x (x *x x 仅当 )x x ()x (x '-δ=?'时，上面的要求才能满足。所以，“正交归一”的坐标本征函数为)x x ()x (x '-δ=?'。

* 事实上，由于物理波函数在无穷远为0，

?ε--'→ε'+

π=

dx e lim 21)u u (x

x )k k (i 0k ,k ]dx e dx e [lim 210x x )k k (i 0x

x )k k (i 0??∞

-ε+-'+∞

ε--'→ε+π=+

])k k (i 1)k k (i 1

[lim 210ε+-'+ε--'-π=

+→ε )k k ([lim 1

20ε+-'επ=

+→ε )k k (-'δ=。于是有， 2

/x ikx 0

k e

lim 21)x (u ε-→επ

显然, )x x ()x (x '-δ=?'是完备的。因任何一波函数)x (ψ可按它展开

?'-'δ'ψ=ψx d )x x ()x ()x ( ?'?'ψ='x d )x ()x (x

x d )x (2

''ψ为在)x (ψ中，观测到粒子在x d x x '+'-'范围中的几率。

(2) δ函数

A. δ函数的定义和表示

δ函数不是一般意义下的函数，而是一分布，因对一个处处为0，而仅一点不

为零的函数其积分为0。但习惯上仍将它看作一函数。其重要性和意义在积分中体现出来，它可用一函数的极限来定义。

前面我们已经论述过

???=∞≠=δ0

x 0

x 0)x (，

且

?????∈=-δb

00x )b ,a (0x

)b ,a ()x (f dx )x x ()x (f ，b a <

现看不定积分

?∞-?

??<>=''δx

0x 00x 1x d )x (。这是一阶梯函数，设

?<>=0

x 00x 1)x (U

由上述积分知

)x (U )x ('=δ

写得更为明确一些 )a x ()a x ()

a x (U )a x (U lim

)x (0a --+--+=δ+

→

a x (U )a x (U lim

0a --+=+

→

)x (F lim a 0a +

→=

所以，当+

→0a ，∞→)x (F a （x )a ,a (∈-）。但总面积恒为1，即

?+∞

∞

-=1dx )x (F a （对任意a）

可以证明： ?π=c izx dz z e i 21)x (U ，所以 ?π=

'=δc izx

dz e 21)x (U )x ( ?π

=dk e 21

ikx 下面给出另一些δ表示式（作为函数参量极限） 2L Lx

cos 1lim 1)x (-π=δ+∞→

220x lim 1

α+απ=

+→α x

sin lim

1L ∞→π=

x i e

i lim

α∞

→απα= σ

-→σπσ

=2x 0

1lim

2L Lx cos L lim 2

∞

→π B. δ函数的性质

下面给出δ函数的性质，是表示当它们在积分中出现时，左边表示可被右边表示代替。

)x ()x (-δ=δ

)x (a

)ax (δ=

δ 0)x (x =δ

推论：如有方程A＝B，则

)x (c x

x A δ+=。

例 ,1x ln dx d x

= 所以，)x (c x

x ln dx d δ+=。

由于 ?

-=b

a a ln

b ln xdx ln dx

-=b

a ln

b ln dx x 1

。对于 a, b 都大于零或都小于零，两式相等；但a>0, b<0或a<0, b>0, 则两式不等，而可定出π-=i c ，即

)x (i x

x ln dx d πδ-=。 )a x ()a (f )a x ()x (f -δ=-δ

?+∞

∞

--δ=-δ-δ)a y (dx )a x ()x y (

∑

-δ'=δn

n n )x x ()

x (g 1

))x (g (。（若0)x (g n =，但0)x (g n ≠'，即不是重根）

。例 )a x ()a x (1)a x ()a x (1)a x (a

x 2

+δ'

-δ'

-δ-==

)a x (a 21)a x (a 21+δ+-δ=

))a x ()a x ((x

+δ+-δ=

于是有推论 )x ()x (x 2

δ=δ （有条件 +

→0a 2

）

。但是由

?+∞

∞

-δdx )x (x 2

??+∞

∞

-δ+δ-=

dx )x (x dx )x (x

??+∞∞-δ+δ-=02202

2dx )x (21dx )x (21 ??+∞∞+δ+δ-=0

0dy )y (21dw )w (21

北京大学2000入学考试试题. 量子力学

北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学考试时间：2000.1.23下午招生专业：物理系各专业研究方向：各研究方向指导老师试题：一．（20分）质量为m 的粒子，在位势 V x x V '+=)()(αδ 0