线性系统的能控性判据分析
摘要：能控性是线性系统的一个基本结构特征，它的出现对于系统控制和系统估计问题的研究具有重要意义。本文主要讨论线性系统的能控性判据。其中，能控性的判据分析有很多种方法，最常用的及时约旦标准型方法。
一：问题的提出
设计一个线性系统，我们总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。因此，判断一个系统能控性问题就显得尤为重要。能控性是从状态的控制能力方面来揭示了控制系统的一个基本属性。现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性为存在条件的。 1. 能控性定义 能控性的直观讨论
从状态空间的角度进行讨论：输入和输出构成系统外部变量,状态为系统内部变量。能控性主要看其状态是否可由输入影响。每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,由任意的始点到达原点,为能控,反之为不完全能控。具体来说就是指外加控制作用u(t) 对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。 二：问题的解决
我们利用线性系统的能控性判据来判断其能控性。
设线性定常系统状态方程为：
能控性判据：
1.格拉姆矩阵判据
线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 ，使如下定义的格拉姆（Gram ）矩阵
其中，该判据的证明用到了范数理论中的矩阵范数，在此不再赘述。
2.秩判据
线性定常系统（1）为完全控的充分必要条件是
3.PBH 秩判据
.
,,,,)
1(0
,
)0(,0常阵为维输入向量为维状态向量
为p n n n B A p u n t x x Bu A ??≥=+=x x x
01>t 为非奇异
?
--=
t
t
A T At
c dt e
BB e
t W T
],0[.
][,][1
1
阵称为系统的能控性判别的维数为矩阵其中B A
AB B Q A n n
B A
AB B rank n c n --==
线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵A 的所有特征值
4. PBH 特征向量判据
线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是A 不能有与B 的所有列
相正交的非零左特征向量。也即对A 的任一特征值，使同时满足
5.约当规范形判据
线性定常系统完全能控的充分必要条件是：
(1)当矩阵A 的特征值λ1, λ2, … λn 为两两相异时，有系统的对角规范形
其中
(2)当矩阵A 的特征值为λ1(σ1重), λ2(σ2重), … λn(σn 重),且(σ1＋ σ2＋…＋ σl )＝n 时，有约当规范形
其中：
的最后一行所组成的矩阵
对i =1,2,…,l 均为线性无关
.
)(],[,,2,1],[)
,,2,1(是左互质的和也即或等价地表为
均成立
B A sI s n
B A sI rank n
i n
B A I rank n i i i -?∈?=-==-= λλ.
00,
≡==αααλα的特征向量B A T
T
i T
u B x A x ????+= ????
?????
?=?l n n J J J A
2
1????
??????????
?=?l p n B B B B ????21)( ????
????
?
?=?i
i
i
i i i J J J i J ασ
σ
2
1??????
????????=
?i i i i i p i
B B B B ασ????21
)
( ????
?????
?=?i i
i
r
r ik J ik
ik λλ
λ111
i
i i i i r r r σα=+++)(21 )
,,2,1(~
i ik k B α =??????
????????i i i i b b b α~~~21
例1. 给定一个线性时不变系统的状态方程为
U
试判断其能控性。 解：（1）计算特征值。Det(sI-A)=(s-2)5 s
可以求得其特征值λ1 =2, λ2 =0
（2） 计算重特征值λ1 =2,的几何重数α1. 由
Rank(2I-A)=4
（3）对重特征值λ1 =2计算Rank(2I-A)m =6-v m 中的v m ，其中取 m=0,1..对
此，由（2I-A ）0 =I,Rank(2I-A) 0=6,可知v 0=0,由此可以求得v 1=2，v 2=4，v 3=5
（4）确定矩阵A 的属于特征值λ1 =2的广义特征向量组，首先列出下表：
由满足(2I-A)3V 11 =0，(2I-A)2V 11≠0定出一个独立型列向量V 11 =[0 0 1 0 0 0]T
.由此，可导出各个导出型列向量为：
V (1)11 =(2I-A)2 V 11=[2 2 0 0 0 0]T ， V (2)11= -（2I-A ）V 11 =[1 -1 0 0 0 0]T V (3)11= V 11=[0 0 1 0 0 0]T ,
再之，由满足{V 12，V 12(2)}线性无关，（2I-A ）2V 12 =0，（2I-A ）V 12≠0
可以定出一个独立型列向量V 12 =[0 0 1 -1 1 1]T .。由此，可导出各个导出型列向
???
?
??
??????????????-----=110000
11000011
2
1102000011110011
13x ?????
????
???????????+0 12 01- 01 21 1-0 1x ???
?
?
???
????????????--------=-11000011000011000011000000111100
1111)2(A I
量为V (1)12 =(2I-A) V 12=[0 0 2 -2 0 0]T ，V (2)12= V 12=[0 0 1 -1 1 1]T
（5）确定矩阵A 的属于特征值λ2=0的特征向量。由（λ2 I-A ）V 2=A V 2=0
求得其一个特征向量为V 2= V 12=[0 0 0 0 1 -1]T
（6）组成变换阵Q 并计算Q -1
.对此有
逆矩阵
（7）导出其状态方程的约当标准型，对此有，
PBU PAQX X +=.
= U
对应于λ1=2和λ2=0的各约当小块的末行，找出B 矩阵的相应行，组成如下矩阵 线性无关 ，根据约旦标准型判据，系统完全能控。
三 总结：
本文用到了矩阵论中的很多知识，其中秩判据用到了矩阵论中求秩的方法，应用最多的约旦规范性判据包括了矩阵论中的求特征值，特征向量和求矩阵的约旦规范型等知识。
???
???
???
?
?????
??
???-----=2/12/10000
2/12/100004/14/12/100000
11000
0002/12/10
0004/14
/1P ????????????????????----=110000110000012000012100000012000012Q ??
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012000000200
000120000012Q ??????
???
???????????---=+1
2
/112/104
/1022/114/10X ??
????=12/102
b
实验一--控制系统的稳定性分析
实验一控制系统的稳定性分 班级：光伏2班 姓名：王永强 学号：1200309067
实验一控制系统的稳定性分析 一、实验目的 1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性； 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响；
3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。 二、实验任务 1、稳定性分析 欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB中的tf2zp函数求出系统的零极点，或者利用root函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。 （1）已知单位负反馈控制系统的开环传递 函数为 0.2( 2.5) () (0.5)(0.7)(3) s G s s s s s + = +++，用MATLAB编写 程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。 在MATLAB命令窗口写入程序代码如下：z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=1 Go=zpk(z,p,k)
Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) dc=Gctf.den dens=ploy2str(dc{1},'s') 运行结果如下： Gctf = s + 2.5 --------------------------------------- s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 2.05 s + 2.5 Continuous-time transfer function. dens是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB程序代码： den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5] p=roots(den)
第四章 线性系统的可控性和可观性 §4-1 问题的提出 经典控制理论中用传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。 现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。状态方程描述输入)(t u 引起状态)(t x 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出)(t y 的变化。可控性和可观性正是定性地分别描述输入)(t u 对状态)(t x 的控制能力，输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力。它们分别回答： “输入能否控制状态的变化”——可控性 “状态的变化能否由输出反映出来”——可观性 可控性和可观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的。可控性和可观性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的。例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入)(t u ，使状态达到预期的轨线。就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入)(t u ，当然就无法实现最优控制。另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息。可是状态)(t x 的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的)(t y 中估计出状态)(t x ；如果输出)(t y 不能完全反映系统的状态)(t x ，那么就无法实现对状态的估计。 状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式。 【例如】 （1）u x x ?? ? ???+??????=202001 []x y 01= 分析：上述动态方程写成方程组形式：?? ? ??=+==1221122x y u x x x x 从状态方程来看，输入u 不能控制状态变量1x ，所以状态变量1x 是不可控的；从输出方程看，输出y 不能反映状态变量2x ，所以状态变量2x 是不能观测的。 即状态变量1x 不可控、可观测；状态变量2x 可控、不可观测。
实验报告 课程线性系统理论基础实验日期年月日 专业班级姓名学号同组人 实验名称系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现评分 批阅教师签字 一、实验目的 加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。 1、系统的能观测性、能控性分析； 2、系统的稳定性分析； 3、系统的最小实现。 二、实验内容 （1）能控性、能观测性及系统实现 （a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结
果。 gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，182710)(23++++=s s s a s s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性； （c ）已知系统矩阵为???? ??????--=2101013333.06667.10666.6A ，??????????=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性； （d ）求系统18 27101)(23++++= s s s s s G 的最小实现。 （2）稳定性 （a ）代数法稳定性判据 已知单位反馈系统的开环传递函数为：) 20)(1()2(100)(+++=s s s s s G ，试对系统闭环判别其稳定性 （b ）根轨迹法判断系统稳定性 已知一个单位负反馈系统开环传递函数为 ) 22)(6)(5()3()(2+++++=s s s s s s k s G ，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。 （c ）Bode 图法判断系统稳定性
实 验 报 告 课程 线性系统理论基础 实验日期 年 月 日 专业班级 学号 同组人 实验名称 系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现 评分 批阅教师签字 一、实验目的 加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌 握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。 1、系统的能观测性、能控性分析； 2、系统的稳定性分析； 3、系统的最小实现。 二、实验内容 （1）能控性、能观测性及系统实现 （a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结 果。 gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，18 2710)(23++++=s s s a s s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；
（c ）已知系统矩阵为???? ??????--=2101013333.06667.10666.6A ，??????????=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性； （d ）求系统18 27101)(23++++= s s s s s G 的最小实现。 （2）稳定性 （a ）代数法稳定性判据 已知单位反馈系统的开环传递函数为：) 20)(1()2(100)(+++=s s s s s G ，试对系统闭环判别其稳定性 （b ）根轨迹法判断系统稳定性 已知一个单位负反馈系统开环传递函数为 ) 22)(6)(5()3()(2+++++=s s s s s s k s G ，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。 （c ）Bode 图法判断系统稳定性 已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为 s s s s G s s s s G 457.2)(,457.2)(232231-+=++= 用Bode 图法判断系统闭环的稳定性。 （d ）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO 稳定。 []x y u x x 0525,100050250100010-=????? ?????+??????????-=
精品 实验题目控制系统的稳定性分析 一、实验目的 1．观察系统的不稳定现象。 2．研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响。 二、实验仪器 1．EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台 2．计算机一台 三、系统模拟电路图 系统模拟电路图如图3-1 图3-1 系统模拟电路图R3=0～500K； C=1μf或C=0.1μf两种情况。 四、实验报告 1．根据所示模拟电路图，求出系统的传递函数表达式。 G(S)= K=R3/100K,T=CuF/10 2．绘制EWB图和Simulink仿真图。
精品 3．根据表中数据绘制响应曲线。 4．计算系统的临界放大系数，确定此时R3的值，并记录响应曲线。 系统响应曲线 实验曲线Matlab （或EWB）仿真 R3=100K = C=1UF 临界 稳定 （理论值 R3= 200K） C=1UF
精品 临界 稳定 （实测值 R3= 220K） C=1UF R3 =100K C= 0.1UF
精品 临界 稳定 （理论 值R3= 1100 K） C=0.1UF 临界稳定 （实测值 R3= 1110K ） C= 0.1UF
精品 实验和仿真结果 1．根据表格中所给数据分别进行实验箱、EWB或Simulink实验，并进行实验曲线对比，分析实验箱的实验曲线与仿真曲线差异的原因。 对比： 实验曲线中R3取实验值时更接近等幅振荡，而MATLAB仿真时R3取理论值更接近等幅振荡。 原因： MATLAB仿真没有误差，而实验时存在误差。 2．通过实验箱测定系统临界稳定增益，并与理论值及其仿真结果进行比较（1）当C=1uf，R3=200K(理论值)时，临界稳态增益K=2， 当C=1uf，R3=220K(实验值)时，临界稳态增益K=2.2，与理论值相近（2）当C=0.1uf，R3=1100K(理论值)时，临界稳态增益K=11 当C=0.1uf，R3=1110K(实验值)时，临界稳态增益K=11.1，与理论值相近 四、实验总结与思考 1．实验中出现的问题及解决办法 问题：系统传递函数曲线出现截止失真。 解决方法：调节R3。 2．本次实验的不足与改进 遇到问题时，没有冷静分析。考虑问题不够全面，只想到是实验箱线路的问题，而只是分模块连接电路。 改进：在实验老师的指导下，我们发现是R3的取值出现了问题，并及时解决，后续问题能够做到举一反三。 3．本次实验的体会 遇到问题时应该冷静下来，全面地分析问题。遇到无法独立解决的问题，要及时请教老师，
第三章 控制系统的能控性和能观测性 3-1能控性及其判据 一：能控性概念 定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。 可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。 二：线性定常系统能控性判据 设系统动态方程为： x 2不能控 y 2则系统不能控 ，若2121,C C R R ==?? ?+=+=Du Cx y Bu Ax x
设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有： 根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得： 即： 由凯莱-哈密尔顿定理： 令 上式变为： 对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。 判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是： ?-+=f t f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ??---=--=-f f t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 0 1)()()()()()()0(τ ττφφτττφφ?--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1 )()(n k k k A A e τατφτ ∑??∑-=-=-=-=1 01 )()()()()0(n k t k k t n k k k f f d u B A d Bu A x τ τταττταk t k u d u f =? )()(ττταU Q u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k k k -=???? ? ?? ?????????-=-=--=∑ 321121 ],,,[)0(
实验五 自动控制系统的稳定性和稳态误差分析 一、实验目的 1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性； 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响； 3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。 二、实验任务 1、稳定性分析 欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。 （1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 0.2( 2.5) ()(0.5)(0.7)(3) s G s s s s s += +++，用MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性， 并绘制闭环系统的零极点图。 在MATLAB 命令窗口写入程序代码如下： z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) dc=Gctf.den dens=poly2str(dc{1},'s') 运行结果如下： dens= s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5 dens 是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB 程序代码： den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5]
p=roots(den) 运行结果如下： p = -3.0058 -1.0000 -0.0971 + 0.3961i -0.0971 - 0.3961i p为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点都是负的实部，因此闭环系统是稳定的。 下面绘制系统的零极点图，MATLAB程序代码如下： z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) [z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v') pzmap(Gctf) grid 运行结果如下： z = -2.5000 p = -3.0058 -1.0000 -0.0971 + 0.3961i -0.0971 - 0.3961i k = 0.2000
实 验 报 告 课程 自动控制原理 实验日期 12 月26 日 专业班级 姓名 学号 实验名称 系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置 评分 批阅教师签字 一、实验目的 加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念，掌握状态反馈极点配置方法，掌握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。 1、系统的能观测性、能控性分析； 2、系统的最小实现； 3、进行状态反馈系统的极点配置； 4、研究不同配置对系统动态特性的影响。 二、实验内容 1.能控性、能观测性及系统实现 （a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。 gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, mineral ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，18 2710)(23++++= s s s a s s G ， 当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；
（c ）已知系统矩阵为??????????--=2101013333.06667.10666.6A ，?? ??? ?????=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性； （d ）求系统18 27101 )(23++++=s s s s s G 的最小实现。 2.实验内容 原系统如图1-2所示。图中，X 1和X 2是可以测量的状态变量。 图1-2 系统结构图 试设计状态反馈矩阵,使系统加入状态反馈后其 动态性能指标满足给定的要求: (1) 已知：K=10，T=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为： σ%≤20%，ts≤1秒。 (2) 已知：K=1，T=0.05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为： σ%≤5%，ts≤0.5秒。 状态反馈后的系统，如图1-3所示：
现代控制理论试题 一、 名词解释（15分） 1、 能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、 简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性质？ 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 3、传递函数矩阵 的最小实现A 、B 、C 和D 的充要条件是什么？ 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？ 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？ 三、 计算题（70分） 1、RC 无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，为系统的输入，选两端的电压为状态变量 , 两端的电压为状态变量 ,电压 为为系统的输出 y 。 2、计算下列状态空间描述的传递函数 g(s) 3、 求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、 求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解 和 图1：RC 无源网络
5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即是否为大范围渐近 稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为,和。 现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性？ 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。 2、何为系统的最小实现？ 答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。 3、何为系统的渐近稳定性？
8.4线性系统的可控性和可观测性 8.4.1可控性和可观测性的概念 第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。现 代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系 统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而 外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是 状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。 可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。 下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。 (a) (b) (c) 图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别 对图8-20所示的结构图，其中图（a）显见洛受U的控制，但X2与U无关，故系统不可控。系统输出量丫=捲，但X!是受X2影响的，y能间接获得X2的信息，故系统是可观测的。图（b）中的，X2均受u的控制，故系统可控，但y与X2无关，故系统不可观测。图 （c）中的X i、X2均受u的控制，且在y中均能观测到X i、X2，故系统是可控可观测的。 只有少数简单的系统可以从结构图或信号流图直接判别系统的可控性与可观测性，如果系统结构复杂，就只能借助于数学方法进行分析与研究，才能得到正确的结论。
第三章 线性系统的稳定性分析 3.1 概述 如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够 的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则，系统不稳定。一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。 应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系 统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。 本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫 稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。 虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地 位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。 3.2 外部稳定性与内部稳定性 3.2.1 外部稳定： 考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件： 1()u t k ≤<∞ 的输入u （t ），所产生的输出y （t ）也是有界的，即使得下式成立： 2()y t k ≤<∞ 则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定。 注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。 系统外部稳定的判定准则 系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。
系统的相对稳定性分析 已知某系统的开环传递函数为200 153.0005.060023)()(+++= S S S H G S S ,试用Nyquistw 稳定判据判断闭环系统的稳定性，并用阶跃响应曲线验证。 （1）计算系统开环特征方程的根。 p=[0.0005 0.3 15 200]; roots(p) 程序运行结果 ans= 1.0e+002 * -5.4644 -0.2678 + 0.0385i -0.2678 - 0.0385i 即三个根均有负实部，都为稳定根。故开环特征方程的不稳定根的个数p=0。 (2)绘制系统的开环Nyquist 图，并用来判断闭环系统的稳定性。 n=600;d=[0.0005 0.3 15 200]; GH=tf(n,d); nyquist(GH) 程序运行后，绘制出系统的开环Nyquist 曲线如图1所示，由图1可以看出系统的Nyquist 曲线不包围（-1，j0)点。而p=0，根据Nyquist 稳定判据，其闭环系统是稳定的。这还可以用系统的阶跃响应曲线来验证。 图1系统的开环Nyquist 图
（3）用阶跃响应曲线来验证。 syms s GH sys; GH=600/(0.0005*s^3+0.3*s^2+15*s+200)； sys=factor(GH/(1+GH)) 程序运行结果 sys = 1200000/(s^3 + 600*s^2 + 30000*s + 1600000) 即1600000 300006001200000s 23+++=Φs s s ）（ 下面为使用matlab 绘制系统单位阶跃响应曲线的程序代码： n=1200000;d=[1 600 30000 1600000]; sys=tf(n,d); step(sys) 程序运行后，绘制系统单位阶跃响应曲线如图2所示。由图2可知，曲线略微超调后迅速衰减到响应终了值，对应的系统闭环不仅稳定，而且具有优良的性能指标，这就证明了Nyquist 稳定判据的正确性。 图2 系统的单位阶跃响应曲线
自动控制理论实验报告 实验题目控制系统的稳定性分析 一、实验目的 1．观察系统的不稳定现象。 2．研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响。 二、实验仪器 1．EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台 2．计算机一台 三、系统模拟电路图 系统模拟电路图如图3-1 图3-1 系统模拟电路图R3=0～500K； C=1μf或C=0.1μf两种情况。 四、实验报告 1．根据所示模拟电路图，求出系统的传递函数表达式。 G(S)= K=R3/100K,T=CuF/10
自动控制理论实验报告 2．绘制EWB 图和Simulink 仿真图。 3．根据表中数据绘制响应曲线。 4．计算系统的临界放大系数，确定此时R3的值，并记录响应曲线。
自动控制理论实验报告
自动控制理论实验报告
自动控制理论实验报告 实验和仿真结果 1．根据表格中所给数据分别进行实验箱、EWB或Simulink实验，并进行实验曲线对比，分析实验箱的实验曲线与仿真曲线差异的原因。 对比： 实验曲线中R3取实验值时更接近等幅振荡，而MATLAB仿真时R3取理论值更接近等幅振荡。 原因： MATLAB仿真没有误差，而实验时存在误差。 2．通过实验箱测定系统临界稳定增益，并与理论值及其仿真结果进行比较 （1）当C=1uf，R3=200K(理论值)时，临界稳态增益K=2， 当C=1uf，R3=220K(实验值)时，临界稳态增益K=2.2，与理论值相近（2）当C=0.1uf，R3=1100K(理论值)时，临界稳态增益K=11 当C=0.1uf，R3=1110K(实验值)时，临界稳态增益K=11.1，与理论值相近 四、实验总结与思考 1．实验中出现的问题及解决办法 问题：系统传递函数曲线出现截止失真。 解决方法：调节R3。 2．本次实验的不足与改进 遇到问题时，没有冷静分析。考虑问题不够全面，只想到是实验箱线路的问题，而只是分模块连接电路。 改进：在实验老师的指导下，我们发现是R3的取值出现了问题，并及时解决，后续问题能够做到举一反三。 3．本次实验的体会 遇到问题时应该冷静下来，全面地分析问题。遇到无法独立解决的问题，要及时请教老师，
第四章 线性控制系统的能控性和能观性 在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。 能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能力。 能控性严格上说有两种，一种是系统控制输入u(t)对系统内部状态x(t)的控制能力，另一种是控制输入u(t)对系统输出y(t)的控制能力。但是一般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。 所以，系统的能控性和能观性研究一般都是基于系统的状态空间表达式的。 4-1 线性连续定常系统的能控性 定义 对于单输入n 阶线性定常连续系统 bu Ax x += 若存在一个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 [] f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每一个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。反之，只要有一个状态不可控，我们就称系统不可控。 对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别 4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1． 单输入系统 具有约旦标准型系统 bu x x +Λ= ????? ?? ?????????=Λn λλλλ 0000000 00 00003 2 1 n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根 或bu Jx x += ??????? ????? ???????? ??????=++n m m J λλλλλλ 0000000000000 0010000 00000121 1 11 m 个重根1λ n-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性 （1）u b x x ??????+??????=221 00 0λλ []x c c y 21 = 解：?=111x x λ 1x 与u 无关，即不受u 控制
线性系统的可控性和可观测性 可控性和可观测性的概念 第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。现代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。 可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。 下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。 （a ） (b) (c) 图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别 对图8-20所示的结构图，其中图（a ）显见1x 受u 的控制，但2x 与u 无关，故系统不可控。系统输出量y =1x ，但1x 是受2x 影响的，y 能间接获得2x 的信息，故系统是可观测的。图（b ）中的1x 、,2x 均受u 的控制，故系统可控，但y 与2x 无关，故系统不可观测。图（c ）中的1x 、2x 均受u 的控制，且在y 中均能观测到1x 、2x ，故系统是可控可观测的。 只有少数简单的系统可以从结构图或信号流图直接判别系统的可控性与可观测性，如果系统结构复杂，就只能借助于数学方法进行分析与研究，才能得到正确的结论。
第三章 线性控制系统的能控性和能观性 注明：*为选做题 3-1 判别下列系统的能控性与能观性。系统中a,b,c,d 的取值对能控性与能观性是否有关，若有关其取值条件如何？ （1）系统如图所示。 题3-1（1）图 系统模拟结构图 （2）系统如图所示。 题3-1（2）图 系统模拟结构图 （3）系统如下式： 1122331122311021010000200000x x x a u x x b x x y c d x y x ?????-?????? ? ??? ? ?=-+ ??? ? ? ??? ? ?-?????? ??? ?????? ?= ? ? ????? ??? 3-2* 时不变系统：
311113111111x x u y x ? -????=+ ? ?-??????= ?-?? 试用两种方法判别其能控性与能观性。 3-3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数,i i αβ。 （1）0∑()1201,,1101A b C αα????===- ? ????? （2） ()230021103,,001014A b C ββ???? ? ?=-== ? ? ? ?-???? 3-4* 线形系统的传递函数为： ()()32102718 y s s a u s s s s +=+++ （1）试确定a 的取值，使系统为不能控或不能观的。 （2）在上述a 的取值下，求使系统为能控状态空间表达式。 （3）在上述a 的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。 3-5* 试证明对于单输入的离散时间定常系统(,)T G h =∑，只要它是完全能控 的，那么对于任意给定的非零初始状态0x ，都可以在不超过n 个采样周期的时间内，转移到状态空间的原点。 3-6 已知系统的微分方程为： 61166y y y y u ?????? +++= 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 3-7 已知能控系统的状态方程A,b 阵为： 121,341A b -????== ? ????? 试将该状态方程变换为能控标准型。 3-8已知能观系统的状态方程A,b ，C 阵为： ()112,,11111A b C -????===- ? ????? 试将该状态空间表达式变换为能观标准型。 3-9 已知系统的传递函数为： 2268()43 s s W s s s ++=++
线性系统稳定性分析 1.系统的稳定性： （1） 外部稳定：又称输出稳定，就是系统在干扰取消后，在一定时间内其输出会恢复到 原来的稳定输出。输出稳定有时描述为系统的BIBO 稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。 （2） 内部稳定：主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响情况。 当干扰信号取消后，若系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。 经典控制论中，研究对象都是高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO ）系统，反映的仅仅是输入与输出的关系，不涉及系统的内部状态，因此经典控制论只讨论系统的输出稳定问题。对于系统内部状态稳定问题，经典控制论中的方法就不好发挥作用了，需要用到Lyapunov 稳定性理论。 2.平衡状态：设控制系统齐次状态方程为：0.0(,)()|t t X f X t X t X ===，其中，()X t 为系统的n 维状态向量，f 是有关状态向量X 以及时间t 的n 维矢量函数，f 不一定是线性定常的。如果对所有的t ，状态e X 总满足：(,)0e f X t =，则称e X 为系统的平衡状态。对于一般控制系统，可能没有，也可能有一个或多个平衡状态。系统的状态稳定性是针对系统的平衡状态的，当系统有多个平衡状态时，需要对每个平衡状态分别进行讨论。 3. Lyapunov 稳定性分析 （1）Lyapunov 稳定性定义 设一般控制系统的解为：00()(;,)X t t X t =Φ，它是与初始时间0t 及初始状态0X 有关的，体现系统状态从00(,)t X 出发的一条状态轨迹。设e X 为系统的一个平衡点，如果给定一个以e X 为球心，0(,)t δε为半径的n 维球域()S δ，使得从()S δ球域出发的任意一条系统状态轨迹00(;,)t X t Φ在0t t ≥的所有时间内都不会跑出()S ε球域，则称系统的平衡状态e X 是Lyapunov 稳定的。 一般来说，δ的大小不但与ε有关，而且与系统的初始时间0t 有关，当δ仅与ε有关时，称e X 是一致稳定的平衡状态。 进一步地，如果e X 不仅是Lyapunov 稳定的平衡状态，而且当时间t 无限增加时，从()S δ出发的任一条状态轨迹00(;,)t X t Φ都最终收敛于球心平衡点e X ，那么称e X 是渐进稳定的。 更近一步地，如果从()S ∞即整个系统状态空间的任意一点出发的任意一条状态轨迹00(;,)t X t Φ，当t →∞时都收敛于平衡点e X ，那么称e X 是大范围渐进稳定的。显然此时的e X 是系统唯一的平衡点。 反之，对于给定的()S ε，不论0δ>取得多么小，若从()S δ出发的状态轨迹 00(;,)t X t Φ至少有一条跑出()S ε球域，那么平衡点e X 是不稳定的。
实验五线性系统的稳定性和稳态误差分析
实验五 自动控制系统的稳定性和稳态误差分析 一、实验目的 1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性； 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响； 3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。 二、实验任务 1、稳定性分析 欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB 中的tf2zp 函数求出系统的零极点，或者利用root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。 （1）已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 0.2( 2.5)()(0.5)(0.7)(3) s G s s s s s +=+++，用MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。 在MATLAB 命令窗口写入程序代码如下： z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) dc=Gctf.den dens=poly2str(dc{1},'s') 运行结果如下：
dens= s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5 dens是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB程序代码：den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5] p=roots(den) 运行结果如下： p = -3.0058 -1.0000 -0.0971 + 0.3961i -0.0971 - 0.3961i p为特征多项式dens的根，即为系统的闭环极点，所有闭环极点都是负的实部，因此闭环系统是稳定的。 下面绘制系统的零极点图，MATLAB程序代码如下： z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=0.2 Go=zpk(z,p,k) Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) [z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v') pzmap(Gctf) grid 运行结果如下： z = -2.5000 p = -3.0058