第二章应力
第四章本构关系
讨论:
s
σ3
h 3
h s
ε2
时，s 44h 本构方程为:
ε
σE =时，s )
1()
(111E
E
E E s s s -+=-+=σεεεσσs
εs
σ3
h 3
h
P
三杆均处于弹3
h 3h
P
03
h 3h
P
3
h 3
h
P
在弹塑性阶段，１杆虽然进入塑性状态，但由于其余两杆仍处于弹性阶段，１杆的塑性变形受到限制，整个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶段可称为约束的塑性变形阶段．在塑性阶段，三杆都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量级．一般说来，所有的弹塑性结构在外力的作用下，都会有这样三个变形的阶段．
3
h 3
h
P
扭和内压作用，有应力分量
求：
比例从零开
多大时开始进入屈服？z ??τ3=（２）开始屈服后，继续给以应力增量，满足0
=d γMises ：
屈服准则为
21=z f σz z ??τσσ32==代入上式得到屈服后，增量本构关系为：
z
z
z z d E G d d σστσλ?898=
=
第五章 弹塑性力学问题的提法
q
z
x
例题
第六章弹塑性平面问题
试求其应力分量。
图6.7 局部受均布载荷简支粱
的增大而迅速衰减。
考试科目：弹塑性力学试题 班号 研 班 姓名 成绩 一、概念题 （1） 最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。 （2） 最小余能原理等价于 应变协调 方程和 位移 边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程 和静力边界条件。 （3） 弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以 应力为基本未知量。 二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为： ,)11(2)11(10,2,222 2=?? ????--+-+--==+-=+= θθθμμμμμτσσu Cr r A E u C r A C r A r r r 利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p 作用，试求该问题的应力和位移分量的解。 解：边界条件为： a r =时：p r -=σ；0=θτr b r =时：0=r u ；0=θu 。 将上述边界条件代入公式得： ??? ? ???=?????--+-+--=-=+=0)11(2)11(122 2μμμμb C b A E u p C a A b r r 解上述方程组得： ()()()??? ? ???+-- =+---=]21[22121222 2222a b pa C a b b pa A μμμ 则该问题的应力和位移分量的解分别为：
()()()()()()??? ???? ? ? ??? ???=?? ???????? ??---+-???? ??-+-+--==+--+--=+--+---=??011)]21([11)]21([)21(10 21121212112121222222 222 22 222222 22 22222θθθμμμμμμμμτμμμσμμμσu b a pra b a r b pa E u a b pa r a b b pa a b pa r a b b pa r r r 三、已知弹性半平面的o 点受集中力 2 2222 222 2 223 )(2)(2)(2y x y x P y x xy P y x x P xy y x +- =+-=+- =πτπσπσ 利用上述解答求在弹性半平面上作用着n 个集中力i p 构成的力系， 这些力到所设原点的距离分别为i y ,试求应力xy y x τσσ,,的一般表达式。 解：由题设条件知，第i 个力i p 在点（x ，y ）处产生的应力将为： y y
第二章 应力理论和应变理论 2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值 应作何修正。 解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定） 代入材力有关公式得： 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +2 由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。 2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所 示）。材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。 解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得： c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； c 截面上的应力：z z N A z z A A γσγ??===?； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为： z z z E E σγε==； 则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为： ()2 2z z z z z z z z y z z l d l d d zd E E E γγ γε=???=??=? = ?= o o o o V ； 显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）： ()2 222l l A l l W l l d l E EA EA γγ?????=??= = = o V ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-?? ??+-?? ??--?? 应力单位为kg ／cm 2 。 试确定外法线为n i （也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P v 、正应力σn 及剪应力τn 。 解：首先求出该斜截面上全应力n P v 在x 、y 、z 三个方向的三个分量：n ＇=n x =n y =n z 题图1-3
2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ； 试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0 代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0； OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=?? +=?………………………………（a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： ()()() 1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=???--+-=??L L L L L L L L L L L L L L L L L L 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ??????????? 试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： (()()3 1.2333 3 121010 2217.0831******* 6.082810 4.9172410 x y Pa σσσ?++?==????=?=±?=? 则显然：3 312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=?=?= σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算） ()22612sin 226 12102 cos 2xy x y tg τθθσσθ--?-++ ====+=--+ 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 则：θ=+40.2688B 40°16＇ 或（-139°44＇）
研究生弹塑性力学复习思考题 1. 简答题： （1） 什么是主平面、主应力、应力主方向？简述求一点主应力的步骤？ （2） 什么是八面体及八面体上的剪应力和正应力有何其特点 （3） 弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么？ （4） 偏应力第二不变量J 2的物理意义是什么？ （5） 什么是屈服面、屈服函数？Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件的几何 与物理意义是什么？ （6） 什么是Drucker 公设？该公设有何作用？（能得出什么推论？） （7） 什么是增量理论？什么是全量理论？ （8） 什么是单一曲线假定？ （9） 什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？在弹性范围内这两类问题之间有 和联系和区别？ (10) 论述薄板小挠度弯曲理论的基本假定？ 二、计算题 1、For the following state of stress, determine the principal stresses and directions and find the traction vector on a plane with unit normal (0,1,1)n = 3 111 021 2 0ij σ?? ??=?????? 2、In suitable units, the stress at a particular point in a solid is found to be 2 141 404 01ij σ-?? ??=????-?? Determine the traction vector on a surface with unit normal (cos ,sin ,0)θθ，where θ is a general angle in the range 0θπ≤≤。Plot the variation of the magnitude of the traction vector n T as a function of θ.
弹塑性力学课程作业 1 参考答案 一．问答题 1. 答：请参见教材第一章。 2. 答：弹塑性力学的研究对象比材料力学的研究对象更为广泛，是几何尺寸和形态都不受任何 限制的物体。导致这一结果的主要原因是两者研究问题的基本方法的不同。 3. 答：弹塑性力学与材料力学、结构力学是否同属固体力学的范畴，它们各自求解的主要问 题都是变形问题，求解主要问题的基本思路也是相同的。这一基本思路的主线是：（1）静 力平衡的受力分析；（2）几何变形协调条件的分析；（3）受力与变形间的物理关系分析； 4. 答：“假设固体材料是连续介质”是固体力学的一条最基本假设，提出这一基本假设得意 义是为利用数学中的单值连续函数描述力学量（应力、应变和位移）提供理论依据。 5. 答：请参见本章教材。 6. 答：略（参见本章教材） 7. 答：因为物体内一点某微截面上的正应力分量 σ 和剪应力分量τ 同材料的强度分析 问题直接相关，该点微截面上的全应力则不然。 8. 答：参照坐标系围绕一点截取单元体表明一点的应力状态，对单元体的几何形状并不做 特定的限制。根据单元体所受力系的平衡的原理研究一点的应力状态。研究它的目的是： 首先是了解一点的应力状态任意斜截面上的应力，进一步了解该点的主应力、主方向、 最大（最小）剪应力及其作用截面的方位，最终目的是为了分析解决材料的强度问题。 9．答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 10. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 11. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。） 这样分解的力学意义是更有利于研究材料 的塑性变形行为。 12. 答：略（请参见教材和本章重难点剖析。）纳唯叶 (Navier) 平衡微分方程的力学意 义是：只有满足该方程的应力解和体力才是客观上可能存在的。 13. 答：弹塑性力学关于应力分量和体力分量、面力分量的符号规则是不一样的。 它们的 区别请参见教材。 14、答：弹塑性力学的应力解在物体内部应满足平衡微分方程和相容方程（关于相容方程 详见第3、5、6章），在物体的边界上应满足应力边界条件。该应力解才是客观的、真 实存在的唯一的解。 二、填空题： 1、 6 ； zx yz xy z y x τττσσσ、、、、、 ； 2． 平衡微分方程 ； 0=+'i j j i F σ ； 三．选择题参考答案：
工程硕士研究生弹塑性力学试题 一、简述题（每题5分，共２0分） 1．简述弹性力学与塑性力学之间的主要差异。 固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰（荷载、温度变化等）下的力学响应的科学，按其研究对象区分为不同的科学分支。塑性力学、弹性力学正是固体力学中的两个重要分支。 弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关的原理、理论和方法；塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。 大多数材料都同时具有弹性和塑性性质，当外载较小时，材料呈现为弹性的或基本上是弹性的；当载荷渐增时，材料将进入塑性变形阶段，即材料的行为呈现为塑性的。所谓弹性和塑性，只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型；同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。因此，所谓弹性材料或弹性物体是指在—定条件下主要呈现弹性性态的材料或物体。塑性材料或塑性物体的含义与此相类。如上所述。大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质，特别是在塑性变形阶段，变形中既有可恢复的弹性变形，又有不可恢复的塑性变形，因此有时又称为弹塑性材料。本书主要介绍分析弹塑性材料和结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论和方法。以及相应的“破坏”准则或失效难则。 塑性力学和弹性力学的区别在于，塑性力学考虑物体内产生的永久变形，而弹性力学不考虑；和流变学的区别在于，塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，而流变学考虑的永久变形则与时间有关。 2．简述弹性力学中圣维南原理的基本内容。 3．简述薄板弯曲的基本假定。
---○---○--- ---○---○--- ………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 ………… 中南大学考试试卷（参考答案） 2010~2011 学年 二 学期 弹塑性力学 课程 时间110分钟 32 学时， 2学分，闭卷，总分100分，占总评成绩 90 % 一、名词解释题（每小题3分，共15分） 1、应力强度因子： 2、弹塑性共存： 3、应力集中： 4、弹塑性体 5、
二、填空题 (每小题2分，共24分) 1、主应力平面上的切应力等于零；主切应力平面上的正应力 不一定等于零。 2、全量应变是 某时刻变形之后的应变量 ； 应变增量是 变形某时刻的应变微分量 。 3、在应力分量表达式σij 中，下标i 表示 应力分量所在平面的外法线方向 ， 下标j 表示 应力分量本身的作用方向 。 4、已知主应变ε1>ε2>ε3，则最大剪应变为：γmax = ε1-ε3 。 5、表征变形体内各应力分量之间相互关系的是 应力平衡微分 方程，表征各应变分量之间相互关系的是 应变连续/协调 方程。 6、在滑开型裂纹扩展模式中，应力的作用方向与裂纹扩展方向 平行 ，裂纹面与应力作用方向 平行 。 7、如图所示，受单向均匀拉伸载荷的平板构件，其上的中心穿透小孔边缘的a 、b 及远离小孔的c 、d 点，随着外载荷增加，最先进入塑性变形状态的是 a 点，受压应力的是 b 点。 8、如图所示为变形体内某点处单元体的受力状态，已知σ=σs （屈服应力），用Tresca 屈服准则判别，该点处于 塑性变形 状态；用Mises 屈服准则判别，该点处于 弹性变形 状态。 9、圆柱体在Z 向受压缩，产生均匀塑性变形，则其塑性应变之比为：=p x p x p x εεε::。 10、 11、 12、 题二（8）图 题二（7）图 1.5σ σx
弹塑性力学试题Revised on November 25, 2020
考试科目：弹塑性力学试题 班号 研 班 姓名 成绩 一、 概念题 （1） 最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。 （2） 最小余能原理等价于 应变协调 方程和 位移 边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程 和静力边界条件。 （3） 弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以 应力为基本未知量。 二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为： 利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p 作用，试求该问题的应力和位移分量的解。 解：边界条件为： a r =时：p r -=σ；0=θτr b r =时：0=r u ；0=θu 。 将上述边界条件代入公式得： 解上述方程组得： 则该问题的应力和位移分量的解分别为： 三、已知弹性半平面的o 量为： 这些力到所设原点的距离分别为y y
解：由题设条件知，第i 个力i p 在点（x ，y ）处产生的应力将为： 故由叠加原理，n 个集中力构成的力系在点（x ，y ）处产生的应力为： 四、一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，弹簧系数为k ,承受分布荷载)(x q 作用。试用最小势能原理导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。 解：第一步：全梁总应变能为：dx dx w d EI wdv U l v 2 02221???? ? ???== 外力做功为：?=-=l l x kw qwdx T 02|2 1 总势能为：l x l l kw qwdx dx dx w d EI T U =??+-??????=-=∏|2 1 21202 022 第二步：由最小势能原理可知： 0=∏δ等价于平衡微分方程和静力边界条件。 l x l l w kw wdx q dx dx w d dx w d EI =??+-???? ????????=|0 22022δδδ （*） 其中=???? ?????????dx dx w d dx w d EI l 22022δdx dx dw dx d dx w d EI l ????????? ? ????????δ022 将其代入（*）式并整理可得： y
1 / 218 弹塑性力学2008级试题 一 简述题（60分） 1）弹性与塑性 弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。 塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变 形不能恢复残留下来的这一性质。 2）应力和应力状态 应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。 应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。 3）球张量和偏量 球张量：球形应力张量，即σ=0 00000m m m σσσ?????????? ，其 中()1 3 m x y z σσσσ=++ 偏 量 ： 偏 斜 应 力 张 量 ， 即 x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ?? -??=-????-?? ，其中
2 / 218 ()1 3 m x y z σσσσ= ++ 5）转动张量：表示刚体位移部分，即 1102211022110 22u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ? ? ?? ??????--?? ? ? ??????? ???? ? ? ?????????? =-- ? ??? ? ???????????????????????-- ? ? ????????? ?? ?? 6）应变张量：表示纯变形部分，即 112211221122u u v u w x y x z x v u v v w ij x y y z y w u w v w x z y z z ε?? ?? ???????++? ? ? ? ???????? ???? ? ? ????? ?????? =++ ? ??? ? ???????????? ?? ?? ?????????++ ? ? ?????????? ?? ?? 7）应变协调条件：物体变形后必须仍保持其整体性和连续性，因此各应变分量之间，必须要有一定得关
弹塑性力学2008、2009级试题 一、简述题 1）弹性与塑性 弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。 塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变形不能恢复残留下来的这一性质。 2）应力和应力状态 应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。 应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。 3）球张量和偏量（P25） 球张量：球形应力张量，即σ=0 00000m m m σσσ?????????? ，其中()13m x y z σσσσ=++ 偏量：偏斜应力张量，即x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ?? -?? =-????-? ?，其中()13 m x y z σσσσ=++ 4）描述连续介质运动的拉格朗日法和欧拉法 拉格朗日描述也被称为物质描述，同一物质点在运动过程中的坐标值不变，物质体变形表现为坐标轴变形、基矢量的随体变化。 采用拉格朗日描述时，在变形过程中网格节点和积分点始终与物质点一致，便于精确描述材料特性、边界条件、应力和应变率； 欧拉描述也被称为空间描述。在欧拉描述中，当前构形被离散化，初始构形(参考构形)是未知的。由于采用了物质对固定网格的相对运动，它具有以下优点： 欧拉描述便于对固定空间区域特别是包含流动、大变形和物质混合问题的建模。 5）转动张量：表示刚体位移部分，即 1102211022110 22u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ? ? ?? ??????--?? ? ? ??????? ???? ? ? ?????????? =-- ? ??? ? ??????????? ????????????-- ? ? ????????? ?? ?? 6）应变张量：表示纯变形部分，即
第一次作业 高轩 2014312070109 1.利用指标记法证明()φ???=0。 证明：()12,,...,n x x x ??= ,i i φ??=e ()(),,,,()i i i i j j ij i ij kji k j φe x ????????=??=? =?=?e e e e e e 将i,j 对换后值不变，即 ,,,ij kji k ji kij k ij kji k e e e ???==-e e e 所以()φ???=0。证毕。 2.证明im jm ij l l δ=和mi mj ij l l δ=。 证明：i m im i m im i m l δ?==?=e e e e e e ，同理可以得到：jm jm l δ= 故im jm ij l l δ=。同理可得mi mj ij l l δ=。证毕。 3.证明??垂直于123(,,)x x x ?=常量的曲面。 证明：设123(,,)r x x x 为曲面123(,,)x x x ?=常量上任一点123(,,)x x x 的矢径（从原点出发，到123(,,)x x x 的矢量）。那么对于123(,,)()i i i i dr x x x d x dx == e e ，其必然平行于此平面在123(,,)x x x 点处的切平面。对于123(,,)x x x ?=常量的平面，123(,,)0i i d x x x dx x ???==?，又i i x ????=?e ，所以123(,,)0i i j i ij i j j i dr x x x dx dx dx x x x ????σ?????=?===??? e e 。 故??垂直于123(,,)x x x ?=常量的曲面。证毕。
弹塑性力学试题 (土木院15研) 考试时间：2小时 考试形式：笔试，开卷 一﹑是非题（下列各题，你认为正确的在括号内打“√”，错误的打“×”。每小题3 分，共21分） 1． 孔边应力集中的程度与孔的形状有关，圆孔应力集中程度最高。（ ） 2． 已知物体内P 点坐标P （x, y, z ）, P '点坐标P '（x+dx, y+dy, z+dz ）, 若P 点在x, y, z 方向的位移分别为u, v, w ，则P '点在x 方向的位移为dz z w dy y v dx x u u ??+??+??+ （ ） 3． 任何边界上都可应用圣维南（St. Venant ）原理，条件是静力等效。。 （ ） 4． 塑性力学假设卸载时服从初始弹性规律。（ ） 5． 弹性力学空间问题应变状态第二不变量为2 2 2 - yz xz xy z y z x y x γγγεεεεεε--++。（ ） 6． 弹性力学问题的两类基本解法为逆解法和半逆解法。（ ） 7． 全量理论中，加载时应力—应变存在一一对应的关系。（ ） 二﹑填空及简答题（填空每小题3分，共23分） 1． 弹性力学平面问题，结构特点是（ ），受力特点是（ ）。 2．求解塑性问题，可将应力——应变曲线理想化，分为5种简单模型，它们分别是（ ）。 2． 薄板小挠度弯曲中内力弯矩和剪力的量纲分别为（ ）、（ ）。 3． 比较Tresca 屈服准则和von Mises 屈服准则的相同点与不同点。（5分） 4． 弹性力学的几何方程是根据什么假设条件推导出来的?（4分） 6．简述弹性力学量纲分析的基本思路。（5分） 三﹑计算题（共56分） 1. 写出圆形薄板轴对称弯曲的弹性曲面方程。若受均布荷载0q 作用，推导（必须有推导过程）出其挠度w 的表达式。（8分） 2. 已知应力函数)(A 2 3 xy x +＝?，A 为常数。试求图中所示形状平板的面力（以表面法向和切向应力表示）并在图中标出。(8分)
考试科目 ：弹塑性力学试题 班号 研 班 姓名 成绩 一、概念题 （1） 最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。 （2） 最小余能原理等价于 应变协调 方程和 位移 边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程 和静力边界条件。 （3） 弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以 应力为基本未知量。 二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为： ,)11(2)11(10,2,222 2=?? ????--+-+--==+-=+= θθθμμμμμτσσu Cr r A E u C r A C r A r r r 利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p 作用，试求该问题的应力和位移分量的解。 解：边界条件为： a r =时：p r -=σ；0=θτr b r =时：0=r u ；0=θu 。 将上述边界条件代入公式得： ??? ? ???=?????--+-+--=-=+=0)11(2)11(122 2μμμμb C b A E u p C a A b r r 解上述方程组得： ()()()??? ? ???+-- =+---=]21[22121222 2222a b pa C a b b pa A μμμ 则该问题的应力和位移分量的解分别为：
()()()()()()??? ???? ? ? ??? ???=?? ???????? ??---+-???? ??-+-+--==+--+--=+--+---=??011)]21([11)]21([)21(10 21121212112121222222 222 22 222222 22 22222θθθμμμμμμμμτμμμσμμμσu b a pra b a r b pa E u a b pa r a b b pa a b pa r a b b pa r r r 三、已知弹性半平面的o 点受集中力 2 2222 222 2 223 )(2)(2)(2y x y x P y x xy P y x x P xy y x +- =+- =+- =πτπσπσ 利用上述解答求在弹性半平面上作用着n 个集中力i p 构成的力系， 这些力到所设原点的距离分别为i y ,试求应力xy y x τσσ,,的一般表达式。 解：由题设条件知，第i 个力i p 在点（x ，y ）处产生的应力将为： y y
复习题 一、选择题 01．受力物体内一点处于空间应力状态（根据oxyz 坐标系），一般确定一点应力状态需（ ）独立的应力分量。 A ．18个； B ．9个； C ．6个； D ．2个； 02．一点应力状态的最大（最小）剪应力作用截面上的正应力，其大小（ ）。 A ．一般不等于零； B ．等于极大值； C ．等于极小值； D ．必定等于零 ； 03．一点应力状态主应力作用截面和主剪应力作用截面间的夹角为（ ）。 A ．π/2； B ．π/4； C ．π/6； D ．π； 04．正八面体单元微截面上的正应力σ8为：（ ）。 A ．零； B ．任意值； C ．平均应力； D ．极值； 05．从应力的基本概念上讲，应力本质上是（ ）。 A ．集中力； B ．分布力； C ．外力； D ．内力； 06．若研究物体的变形，必须分析物体内各点的（ ）。 A ．线位移； B ．角位移； C ．刚性位移； D ．变形位移； 07．若物体内有位移u 、v 、w （u 、v 、w 分别为物体内一点位置坐标的函数），则该物体（ ）。 A ．一定产生变形； B ．不一定产生变形； C ．不可能产生变形； D ．一定有平动位移； 08．弹塑性力学中的几何方程一般是指联系（ ）的关系式。 A ．应力分量与应变分量； B ．面力分量与应力分量； C ．应变分量与位移分量； D ．位移分量和体力分量； 09．当受力物体内一点的应变状态确定后，一般情况下该点必有且只有三个主应变。求解主应变的方程可得出三个根。这三个根一定是（ ）。 A ．实数根； B ．实根或虚根； C ．大于零的根； D ．小于零的根； 10．固体材料受力产生了塑性变形。此变形过程（ ）。 A ．必定要消耗能量； B ．必定是可逆的过程； C ．不一定要消耗能量； D ．材料必定会强化； 11．理想弹塑性模型, 这一力学模型抓住了（ ）的主要特征。 A ．脆性材料； B ．金属材料； C ．岩土材料； D ．韧性材料； 12．幂强化力学模型的数学表达式为σ=A εn ，当指数n=1时，该力学模型即为（ ）。 A ．理想弹塑性力学模型； B ．理想线性强化弹塑性力学模型； C ．理想弹性模型； D ．理想刚塑性力学模型； 13．固体材料的弹性模E 和波桑比ν（即横向变形系数）的取值区间分别是：（ ）。 . 0, 00.5; . 0, 11;. 0, 0.50.5; . 0, 00.5; A E B E C E D E νννν<<<>-<<<-<<><< 14．应力分量等于弹性势函数对相应的应变分量的一阶偏导数(0ij ij U σε?=?)此式是用于（ ）。 A ．刚体； B ．弹性体； C ．弹塑性体； D ．刚塑性体 ； 15．主应力空间π 平面上各点的（ ）为零。 A ．球应力状态m ij σδ； B ．偏斜应力状态ij s ； C ．应力状态ij σ； D ．应变状态ij ε；
弹塑性力学考试
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二、填空题：（每空2分，共8分） 1、在表征确定一点应力状态时，只需该点应力状态的-------个独立的应力分量，它们分别是-------。（参照oxyz直角坐标系）。 2、在弹塑性力学应力理论中，联系应力分量与体力分量间关系的表达式叫---------方程，它的缩写式为-------。 三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小题4分，共16分。） 1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器出现破裂。裂纹展布的方向是：_________。 A、沿圆柱纵向（轴向） B、沿圆柱横向（环向） C、与纵向呈45°角 D、与纵向呈30°角 2、金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形小圆孔。该板危险点的最大拉应力是无孔板最大拉应力__________倍。 A、2 B、3 C、4 D、5 3、若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为物体内一点，沿x、y、z直角坐标系三轴线方向上的位移分量。）则在该点处的应变_________。 A、一定不为零 B、一定为零 C、可能为零 D、不能确定 4、以下________表示一个二阶张量。 A、B、C、D、 四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共8分） 1、；（i ，j = 1，2，3 ）； 2、； 五、计算题（共计64分。） 1、试说明下列应变状态是否可能存在： ；（） 上式中c为已知常数，且。 2、已知一受力物体中某点的应力状态为：
《应用弹塑性力学》考试试卷 班级_____________ 姓名_____________ 学号______________ 一、简答题（每题5分，共20分） 1试述弹塑性力学中四种常用的简化力学模型及其特点。 2分析特雷斯卡（Tresca ）和米泽斯（Mises ）屈服条件的异同点。 3 简单论述一下屈服曲面为什么一定是外凸的。 4试述逆解法和半逆解法的主要思想。 二、计算题（1~5题每题10分， 6~7题每题15分，共80分） 1 如图1所示的等截面直杆，截面积为0A ，且b a >，在x a =处作用一个逐渐增加的力P 。该杆材料为理想弹塑性，拉伸和压缩时性能相同，求左端反力N F 和力P 的关系。 F N 图1 2 已知下列应力状态：5383038311ij MPa σ????=?????? ，试求八面体单元的正应力0σ与剪应力0τ。 3 已知物体某点的应力分量，试求主应力及最大剪应力的值。（单位MPa ） （1）x =10σ，y =10σ-，z =10σ，=0xy τ，=0yz τ，=10zx τ-； （2）x =10σ，y =20σ，z =30σ，=5xy τ-，=0yz τ，=0zx τ。 4 当123σσσ>>时，如令21313 2σσσσμσσ--=-，试证明 0max ττ=且该值在0.816~0.943之间。
5已知平面应变状态 1231231230 x y xy z xz yz A A x A y B B x B y C C x C y εεγεγγ=++=++=++=== （1）校核上述应变状态是否满足应变协调方程； （2）若满足应变协调方程，试求位移u 和v 的表达式； （3）已知边界条件 0x y ==，0u =，0v =； x l =，0y =，0v = 确定上述位移表达式中的待定常数。 6 物体中某点的应力状态为100000200000300-????-????-?? MPa ，该物体在单向拉伸时屈服极限为190MPa s σ=，试分别用特雷斯卡（Tresca ）和米泽斯（Mises ）屈服条件来判断该点是处于弹性状态还是塑性状态。 7已知函数axy ?=，试求：（1）?是否可以作为应力函数；（2）若以?作为应力函数，求出应力分量的表达式；（3）指出在图2所示的矩形板边界上的面力。 图2 （注：素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）
1.22弹性力学与塑性力学的任务 以弹性分析为基础的结构设计是假定材料为理想弹性的。相应地，这种设计观点便以分析结果的实际适用范围作为设计的失效准则，则认为应力到达一定限值，将进入塑性变形阶段时，材料将被“破坏”则认为结构失效，由于一般的结构都处于非均匀受力状态，当高应力点或高应力区的材料达到弹性界限时，结构的大部分材料仍处于弹性界限之内；而实际材料在应力超过弹性界限以后并不实际发生破坏，仍具有一定的继续承受应力的能力只不过刚度相对地降低。因此弹性设计方法不能充分发挥材料的潜力，导致材料的某种浪费。实际上，当结构内的局部材料进入塑性变形阶段，再继续增加外载时，结构的内力分布更趋均匀，使原来处于低应力区的材料承受更大的应力，从而更好地发挥材料的潜力，提高结构的承载能力。显然，以塑性分析为基础的设计比弹性设计更为优越。但是，塑性设计允许结构更大的变形，以及完全卸载后结构将存在残余变形，因此，对于刚度要求较高及不允许出现残余变形的场合，这种设计方法不适用。 另外，在有些问题中，需要利用全局的塑性；在有些问题中，如果不考虑材料的塑性，就从本质上得不到切合实际的结果。 材料力学、弹性力学和塑性力学在研究的基本内容及方法上有某些相同之处，例如，它们都是研究结构在外部干扰下的力学响应。具体地来说，是研究结构的强度、刚度和稳定性问题，以及结构的“破坏”准则或失效准则。在方法上是在一定的边界条件下求解三类基本方程：平衡方程、几何方程的本构方程。同时，都是以实验结果为依据，所得结果由实验来检验等。但是，由于材料力学（严格地说，是一般材料力学教材教材和课程）研究的对象主要限于细长体，即杆件，从而在三类基本方程之外，还根据实验观察引入了几何性假设，从而大大简化了计算，是的用初等方法就可获得解答。弹性与塑性力学一般不需引入这类假设，从而可以获得更为精确的结果，更重要的是扩大了研究对象的范围，它可包括各种实体机构、深梁、非圆截面杆的扭转、孔边应力集中，以及板壳等材料力学初等理论所不能解决的力学问题。当然，在弹性与塑性理论中，有时也引入某些几何性的假设，如薄板、薄壳变形的直法线假设等；又如在处理边界条件中同样要应用圣维南原理等，一边既使求解成为可能或得到一定程序的简化，又能获得足够精确的结果。 弹性力学与塑性力学在众多工程技术领域，如机械、动力、土建、采矿、水利、航空、船舱、化工、国防工程等有着广泛的应用，它们以理论力学、材料力学、高等数学、数理方程等课程为基础，系统地介绍弹性和塑性力学的基本概念、基本理论和基本方法，为进一步学习板壳理论、断裂力学、损伤力学、有限单元法或者为其他某些工程专业后续课程打下基础。1.3弹性力学和塑性力学中的基本假设 固体材料一般分为晶体材料和非晶体材料两大类，绝大部分固体都是由晶体集合而成的。从微观结构看，晶体是由许多微粒由规则地、周期性地排列成一定的结晶格子构成的。因此，晶体具有远程有序性，是各向异型材料，也就是说晶体的物理力学性质具有一定的方向性。例如，石英、金属等。但是，从宏观尺度上看，许多固体材料都是由众多晶粒方位杂乱组合起来的，这是整个固体材料的物理力学性质宏观尺度上看也具有明显各向异性。例如，钢材、铝材等。有些固体材料即便是宏观尺度上看也具有明显的各向异性，例如木材、岩石等，这时应该考虑材料物性的方向性。此外，关于固体组成材料分布的均匀性，以及固体中常存在的一些缺陷等物体，固体力学也从宏观角度加以分析和处理。因此，在弹性力学和塑性力学的研究对象中，对于固体物性的方向性、组成材料的均匀性和以及结构的连续性等问题。从宏观的角度，根据具体研究对象的性质，并联系求解问题的范围，尽量忽略那些次要的、局部的、对所研究问题影响实质不大的因素，使问题得以简化，做出若干假设，使我们所建立的方程在方便可解的范围之内。也就是弹性力学和塑性力学的研究对象是由实际工程材料抽象出来可变形的固体，建立这种理想模型将引进如下如下一些基本建设。
精品文档 弹塑性力学2008级试题一 简述题（60分） 1）弹性与塑性 弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。 塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变 形不能恢复残留下来的这一性质。 2）应力和应力状态 应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。 应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。 3）球张量和偏量 球张量：球形应力张量，即σ=0 00000m m m σσσ?????????? ，其 中()1 3 m x y z σσσσ=++ 偏 量：偏斜应力张量，即
精品文档 x m xy xz ij yx y m yz zx zy z m S σστττσστττσσ??-??=-????-??，其中 ()1 3 m x y z σσσσ=++ 5）转动张量：表示刚体位移部分，即 1102211022110 22u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ? ? ?? ??????--?? ? ? ??????? ???? ? ? ?????????? =-- ? ??? ? ??????????? ???? ????????-- ? ? ????????? ?? ?? 6）应变张量：表示纯变形部分，即 112211221122u u v u w x y x z x v u v v w ij x y y z y w u w v w x z y z z ε?? ?? ???????++? ? ? ? ???????? ???? ? ? ??????????? =++ ? ??? ? ?????????????? ?? ?????????++ ? ? ?????????? ????
2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ； 试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0 代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0； OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=?? +=?………………………………（a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： () ()() 1cos sin 0cos sin 0 y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=???--+-=?? 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ??????????? 试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： (()()22223 1.2333 3 12101210610 222217.0831011371011 6.082810 4.9172410 x y x y xy Pa σσσσστ?+-??+-???=+=±+? ? ????????=?=±?=? 则显然：3 312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=?=?= σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算） ()22612sin 226 12102 cos 2xy x y tg τθθσσθ--?-++ ====+=--+ 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+° 则：θ=+°16＇ 或（-139°44＇） O γ β B A n β γ1y