消除系统误差的软件算法的研究
摘要：一般而言，由于测量步骤的不尽完善会引起测量结果的误差，其中有的来自系统误差，有的来自随机误差。随机误差被假设来自无法预测的影响量或影响的随机的时间和空间变异。系统误差和随机误差一样无法删除，但是通常我们可以采用适当的算法来降低系统误差对测量结果的影响。
本文探讨了几种消除系统误差的软件算法。
关键词：系统误差；零位误差；增益误差；非线性校正
Research of Software algorithms to eliminate systematic errors
Lou Benyue
(School of Information and Electrical Engineering of CUMT,Xuzhou,Jiangsu 221008) Abstract：Generally speaking, measurement errors may be caused by imperfect measurement, some of them come from systematic errors, some from random error. Random error is assumed to come from the impact can not be predicted or influence the amount of random variation in time and space. Systematic error and random error all can not be deleted, but usually we can use appropriate algorithms to reduce system errors on the measurement results.
Several software algorithms which can eliminate systematic errors was discussed in this article.
Keywords:Systematic error; zero error; gain error; non-linear correction
0引言
系统误差（Systematic error）又叫做规律误差。它是在一定的测量条件下，对同一个被测尺寸进行多次重复测量时，误差值的大小和符号（正值或负值）保持不变；或者在条件变化时，按一定规律变化的误差。
认识系统误差产生原因，重点是系统非线性校正，关键是建立误差模型。我们往往无法预先知道误差模型，只能通过测量获得一组反映被测值的离散数据，利用这些离散数据建立起一个反应被测量值变化的近似数学模型(即校正模型)。
有时即使有了数学模型，例如n次多项式，但其次数过高，计算太复杂、太费时，常常要从系统的实际精度要求出发，用逼近法来降低一个已知非线性特性函数的次数，以简化数学模型，便于计算和处理。因此，误差校正模型的建立，包括了由离散数据建立模型和由复杂模型建立简化模型这两层含义。
1系统误差分析（几个概念的介绍）
系统误差:是指在相同条件下，多次测量同一量时其大小和符号保持不变或按一定规律变化的误差。
恒定系统误差:校验仪表时标准表存在的固有误差、仪表的基准误差等；
变化系统误差:仪表的零点和放大倍数的漂移、温度变化而引入的误差等；
非线性系统误差:传感器及检测电路（如电桥）被测量与输出量之间的非线性关系。
这些方法是较为常用的有效的测量校准方法，可消除或消弱系统误差对测量结果的影响。
2仪器零位误差和增益误差的校正方法
由于传感器、测量电路、放大器等不可避免地存在温度漂移和时间漂移，所以会给仪器引入零位误差和增益误差。需要输入增加一个多路开关电路。开关的状态由计算机控制。
图1 自动校正电路
零位误差的校正方法
在每一个测量周期或中断正常的测量过程中，把输入接地(即使输入为零)，此时整个测量输入通道的输出即为零位输出(一般其值不为零)N0；再把输入接基准电压Vr 测得数据Nr ，并将N0和Nr 存于内存；然后输入接Vx ，测得Nx ，则
)(00
N N N N v v x r r
x --=
测量结果可用上式计算出来。
增益误差的自动校正方法
其基本思想是测量基准参数，建立误差校正模型，确定并存储校正模型参数。在正式测量时，根据测量结果和校正模型求取校正值，从而消除误差。
需要校正时，先将开关接地，所测数据为X0，然后把开关接到Vr ，所测数据为X1，存储X0和X1，得到校正方程：
Y=A1X+A0 A1=Vr/（X1-X0） A0=Vr X0/（X0-X1）
这种校正方法测得信号与放大器的漂移和增益变化无关，降低了对电路器件的要求，达到与Vr 等同的测量精度。但增加了测量时间。
3 系统非线性校正
图2 系统非线性校正原理图
3.1 校正函数法
如果确切知道传感器或检测电路的非线性特性的解析式y=f(x)，则就有可能利用基于此解析式的校正函数（反函数）来进行非线性校正。
例：某测温热敏电阻的阻值与温度之间的关系为:
?=?=?)(/25T e R R T C T βα
()[])()/(ln /T T T R F R R T =?=αβ
()[])/(ln //25C R k N k N F T z ???===αβ
T C T R R /)ln(ln 25βα??=
RT 为热敏电阻在温度为T 的阻值；α和β为常数，当温度在0～50℃之间分别约为1.44×6
10-K 和4016K 。
3.2 代数插值法建模
代数插值：设有n+1组离散点：(x0,y0)，(x1,y1)，…，(xn,yn)，x ∈[a ，b]和未知函数f(x)，就是用n 次多项式去逼近f(x)，使Pn(x)在节点xi 处满足0111)(a x a x a x a x P n n
n n n ++???++=--系数an ，…，
a1，a0应满足方程组
i i i n y x f x P ==)()( i =0,1,…,n
??
????
?=++???++=++???++=++???++----???--n
n n n n n n y a x a x a x a y a x a x a x a y a x a x a x a n n n n n
n n
n n 0111
0110011111
111110100 用已知的（xi, yi ） (i = 0, 1, …, n)去求解方程组，即可求得ai(i = 0, 1, …, n)，从而得到Pn(x)。即为求出插值多项式的最基本的方法。对于每一个信号的测量数值xi 就可近似地实时计算出被测量。
yi = f(xi)≈Pn(xi)
最常用的多项式插值有：线性插值和抛物线（二次）插值。提高插值多项式的次数可以提高校正准确度可采用提高校正精度的另一种方法—分段插值法：等距节点分段插值和不等距节点分段插值两类。 3.3 曲线拟合法建模
曲线拟合，就是通过实验获得有限对测试数据（xi, yi ）,利用这些数据来求取近似函数y=f(x)。式中x 为输出量，y 为被测物理量。与插值不同的是，曲线拟合并不要求y=f(x)的曲线通过所有离散点（xi,yi ），只要求y=f(x)反映这些离散点的一般趋势，不出现局部波动。
最小二乘法连续函数拟合自变量x 与因变量y 之间的单值非线性关系可以用自变量x 的高次多项式来逼近
m x a x a a y m +???++=10
对于n 个实验数据对（xi ，yi ）（i =1，2，…，n ），则可得如下n 个方程
1
101
21021
1101)()()(21V x a x a a y V x a x a a y V x a x a a y m n m
m m n n m m =+???++-=+???++-=+???++-?
??
min ][),,,(2
10
12
1
→-==???∑∑∑===n i m
j j
i n
i i x a y V a a a j
i
m
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022
11=???
????????? ??--=??∑∑==n
i j i n j j
i x x a y a j i k ? ???
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?????????=????????????????????????????
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i i
y x y x y a a a x x x x
x
x x x
n
m i m i m i m
i m i
i
m
i 1
021
12 拟合多项式的次数越高，拟合结果的精度也就越高，但计算量相应地也增加。若取m = 1，则被拟合的曲线为直线方程 y = a0 + a1x ，n 个实验数据对（xi ，yi ）（i = 1，2，…，n ）
??
? ??-?=∑∑∑∑====n i n
i n i n
i i i i i i y x x y x a 1111210
??
? ??-?=∑∑∑==-n
i n i n
i i i i i y x y x n a 11111
2
112
?
?
? ??-=?∑∑==n i n
i i
i x x n
4
系统误差的标准数据查表校正法
当难以进行恰当的理论分析时，未必能建立合适的误差校正模型。但此时可以通过实验，获得校正数
据，然后把校正数据以表格形式存入内存。实时测量中，通过查表来求得修正的测量结果。实测值介于两个校正点之间时，若仅是直接查表，则只能按其最接近查找，这显然会引入一定的误差。可进行如下误差估计，设两校正点间的校正曲线为一直线段，其斜率S=△X ／△Y (注意，校正时Y 是自变量，X 是函数值)，并设最大斜率为Sm ，可能的最大误差为△Xm=Sm △Y ，设Y 的量程为Ym ，校正时取等间隔的N 个校正点，则△Xm=SmY/N 点数越多，字长越长，则精度越高，但是点数增多和字节变长都将增加存储器容量。
5
传感器温度误差的校正方法
在高精度仪器仪表中，传感器的温度误差已成为提高仪器性能的严重障碍，对于环境温度变化较大的
应用场合更是如此。仅依靠传感器本身附加的一些简单的电路或其他装置来实现完善的传感器温度误差校正是困难且不便的。但只要能建立起较精确的温度误差模型，就可能实现完善的校正。
温度本身就是一个需要检测的量，或在传感器内靠近敏感元件处附加一个测温元件(PN 二极管、热敏电阻)等。它们的某些特性随温度而变化，经测温电路、ADC 后可转换为与温度有关的数字量，设为θ。温度误差数学模型的建立，可采用前面已介绍的代数插值法或曲线拟合法等。可采用如下较简单的温度误差校正模型：
θ
θ?+?+=10)1(a a y y c
y 为未经温度校正的测量值；
c y 为经温度校正的测量值；Δθ
为实际工作环境与标准温度之差；a0和a1
为温度变化系数（a1用于校正由于温度变化引起的传感器零位漂移，a0用于校正由于温度变化引起的传感器标度的变化）。
6 结论
系统误差和随机误差一样无法删除，但是如果采用了合适的算法，通常可以降低它对被测量的影
响。本文给出了多种消除系统误差的算法，具有较好的减少系统误差的效果。
[参考文献]（References ）
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[4] 童敏明，唐守峰. 检测与转换技术[M].徐州：中国矿业大学出版社.2008 [5] 陈润泰，许琨. 检测技术与智能仪表[M].长沙：中南大学出版社.2008 [6] 刘传玺，冯文旭. 自动检测技术[M].徐州：中国矿业大学出版社.2001
测量误差的分类，表示方法及检测仪表的品质指标 测量误差： 定义：由仪表读得的被测参数的真实值之间，总是存在一定的差距，这种差距称为测量误差。 分类：（1）系统误差 这种误差的大小和方向不随时间测量过程而改变，这种误差是可以避免的。 （2）疏忽误差 测量者在测量过程中疏忽大意所致，这种误差也可以避免。 （3）偶然误差 这种误差是由一些随机的偶然原因引起的，亦称随机误差。它不易被发觉和修正。 偶然误差的大小反映了测量过程的精度。 表示方法： 式中△ —— 绝对误差 X ——被校表的读数值 X 0——标准表的读数值 Λ——仪表在X 0相对误差 检测仪表的品质指标： 常见的指标简介如下： （1）检测仪表的准确度（精确度） б=｛△max/(标尺上限值－标尺下限值)｝×100% б——相对百分误差 △max ——绝对误差 允许误差是指在规定的正常情况下允许的相对百分误差的最大值，即 б允=±｛仪表允许的最大绝对误差值/(标尺上限值-标尺下限值) ｝×100% б允越大，准确度越低，б允 越小，仪表的准确度越高。
一般数值越小，仪表的准确度等级越高。 （2）检测仪表的恒定度 恒定度常用变差（回差）来表示 变差=｛最大绝对差值/(标尺上限值－标尺下限值) ｝×100% (3)灵敏度与灵敏限 S=Δα/Δx 式中S——仪表灵敏度 Δα——指针的线位移或角位移 Δx——引起Δα所需的被测参数变化量 （4）反应时间 仪表反应时间的长短，实际上反映了仪表动态特征的好坏。 （5）线性度 线性度用来说明输出量与输入量的实际关系曲线偏离直线的程度。 线性度常用实际测得的输入-输出特征曲线（称为标定曲线）与理论拟合直线之间的最大偏差与检测仪表满量程输出范围之比的百分数来表示，即 б?=（△?max /仪表量程）×100% 式中б?——线性度（非线性误差） Δ?max——标定曲线对理论拟合直线的最大偏差 （6）重复性 重复性表示检测仪表在被测参数按同一方向作全程连续多次变动时所得标定特性曲线不一致的程度。 бz =（Δz max/仪表量程）×100% 式中бz——重复性误差 Δz max—同方向多次测量时仪表表示值得最大偏差值
谈谈系统误差的产生原因及其消除或减少的方法 在讨论随机误差时，总是有意忽略系统误差,认为它等于零。若系统误差不存在，期望值就是真值。但是，在实际工作中系统误差是不能忽略的。所以要研究系统误差，发现和消除系统误差。 一、系统误差产生的原因 在长期的测量实践中人们发现，系统误差的产生一般的与测量仪器或装置本身的准确程度有关；与测量者本身的状况及测量时的外界条件有关。 1、在检定或测试中，标准仪器或设备的本身存在一定的误差。在进行计量检定，向下一级标准量值传递时，标准值的误差是固定不变的，属于系统误差。又称为工具误差或仪器误差。如：标称值为100g的砝码，经检定实际值为99.997g，即误差为+0.003g。用此砝码去秤量其他物体的质量，按标称值使用，则始终把被测量秤大，产生+0.003g的恒定系统误差。 某些仪器或设备，在测量前须先进行调零位，若因测量前未调零位或存在调零偏差，使得标准仪器在测量前即具有某一初始值，该初始值必然直接影响测量结果，给测量结果带来误差。这种误差，一般称零位误差，或简称零差。 某些仪器或设备，如未按要求放置，特别是某些电磁测量和无线电测量仪器或设备，未正确接地或屏蔽，或未用专用连接导线，也会给测量结果带来误差。这种误差称为装置误差。 2、测量时的客观环境条件（如温度、湿度、恒定磁场等），也会给测量结果带来误差。如，重力加速度因地点不同而异，若与重力加速度有关的某些测量，未按测量地点的不同加以适当的修正，也会给测量结果带来误差。因这种误差是由客观环境因素引起的，一般把它称为环境误差。 3、由于某些测量方法的不完善，特别是检定与测试中所使用的某些仪器或设备，在设计制造时受某些条件的限制（如元器件，制造工艺等），不得不降低某些指标，采用一些近似公式，这也会给测量结果带来误差。这种误差称方法误差或称理论误差。 4、在测量中，测量者本身生理上的某些缺陷，如听觉、视力等缺陷，也会给测量结果带来误差。此项误差又称为人员误差。 二、消除或减少系统误差的方法 mad消除或减少系统误差有两个基本方法。一是事先研究系统误差的性质和大小，以修正量的方式，从测量结果中予以修正；二是根据系统误差的性质，在测量时选择适当的测量方法，使系统误差相互抵消而不带入测量结果。
消除系统误差的软件算法的研究 摘要：一般而言，由于测量步骤的不尽完善会引起测量结果的误差，其中有的来自系统误差，有的来自随机误差。随机误差被假设来自无法预测的影响量或影响的随机的时间和空间变异。系统误差和随机误差一样无法删除，但是通常我们可以采用适当的算法来降低系统误差对测量结果的影响。 本文探讨了几种消除系统误差的软件算法。 关键词：系统误差；零位误差；增益误差；非线性校正 Research of Software algorithms to eliminate systematic errors Lou Benyue (School of Information and Electrical Engineering of CUMT,Xuzhou,Jiangsu 221008) Abstract：Generally speaking, measurement errors may be caused by imperfect measurement, some of them come from systematic errors, some from random error. Random error is assumed to come from the impact can not be predicted or influence the amount of random variation in time and space. Systematic error and random error all can not be deleted, but usually we can use appropriate algorithms to reduce system errors on the measurement results. Several software algorithms which can eliminate systematic errors was discussed in this article. Keywords:Systematic error; zero error; gain error; non-linear correction 0引言 系统误差（Systematic error）又叫做规律误差。它是在一定的测量条件下，对同一个被测尺寸进行多次重复测量时，误差值的大小和符号（正值或负值）保持不变；或者在条件变化时，按一定规律变化的误差。 认识系统误差产生原因，重点是系统非线性校正，关键是建立误差模型。我们往往无法预先知道误差模型，只能通过测量获得一组反映被测值的离散数据，利用这些离散数据建立起一个反应被测量值变化的近似数学模型(即校正模型)。 有时即使有了数学模型，例如n次多项式，但其次数过高，计算太复杂、太费时，常常要从系统的实际精度要求出发，用逼近法来降低一个已知非线性特性函数的次数，以简化数学模型，便于计算和处理。因此，误差校正模型的建立，包括了由离散数据建立模型和由复杂模型建立简化模型这两层含义。 1系统误差分析（几个概念的介绍） 系统误差:是指在相同条件下，多次测量同一量时其大小和符号保持不变或按一定规律变化的误差。 恒定系统误差:校验仪表时标准表存在的固有误差、仪表的基准误差等； 变化系统误差:仪表的零点和放大倍数的漂移、温度变化而引入的误差等； 非线性系统误差:传感器及检测电路（如电桥）被测量与输出量之间的非线性关系。 这些方法是较为常用的有效的测量校准方法，可消除或消弱系统误差对测量结果的影响。 2仪器零位误差和增益误差的校正方法
减小测量误差的方法总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
减小测量误差的方法总结 摘要：本文通过知识回顾法、查阅资料法、总结法，介绍了测量误差的基本概念和来源，从不同角度归纳出误差的分类，并从如何弥补仪器缺陷、减小系统误差和随机误差方面做详细介绍。 关键词：测量误差误差来源减小误差 一、测量误差的概念和来源 （一）测量误差的概念 在测量时，测量结果与实际值之间的差值叫误差。真实值是客观存在的，是在一定时间下体现事物的真实数据。测量值是测量所得的结果。这两者之间总是或多或少的存在一定的差异，就是测量误差。 （二）测量误差的主要来源 1.外界条件 外界的温度、湿度、大气折射等对观测结果都会产生影响。 2.仪器条件 仪器制造产生的精度缺陷。 3.观测者自身条件 每个人都有自己的鉴别能力，一定的分辨率和技术条件，在仪器安置、照准、读数等方面可能会产生误差。 二、测量误差的分类及简单介绍 （一）按表示方法 1.绝对误差：是示值与被测量真值之间的差值。 设被测量的真值为A0，器具的示值为x，则绝对误差Δx为： Δx=x-A0 （1） ，在实际应用中，常用精度高一级的标准器具的示由于一般无法求得真值A 值A代替之。X与A之差常称为器具的示值误差。记为：
Δx=x-A （2）通常以此值代表绝对误差。 绝对误差一般适用于标准器具的校准。 2.相对误差：是相对误差Δx与被测量的约定值之比，它较绝对误差更能确切地说明测量精度。 3.容许误差：是根据技术条件的要求，规定某一类器具误差不应超过的最大范围。 （二）按误差出现的规律分类 1.系统误差 其变化规律服从某种已知函数。系统误差主要由以下几个方面引起：材料、零部件及工艺缺陷；环境温度、湿度、压力的变化以及其他外界干扰等。 系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。系统误差越小，测量就越正确。 2.随机误差 又称偶然误差，其变化规律未知。随机误差是由很多复杂因素的微小变化的总和所引起的，具有随机变量的一切特点，在一点条件下服从统计规律。因此，通过多次测量后，对其总和可以用统计规律来描述，则可从理论上估计对测量结果的影响。 随机误差表现了测量结果的分散性。在误差理论中，常用精密度一词来表征随机误差的大小。随机误差越小，精密度越高。 3.粗大误差
测量误差的分类以及解决方法 1、系统误差 能够保持恒定不变或按照一定规律变化的测量误差，称为系统误差。系统误差主要是由于测量设备、测量方法的不完善和测量条件的不稳定而引起的。由于系统误差表示了测量结果偏离其真实值的程度，即反映了测量结果的准确度，所以在误差理论中，经常用准确度来表示系统误差的大小。系统误差越小，测量结果的准确度就越高。 2、偶然误差 偶然误差又称随机误差，是一种大小和符号都不确定的误差，即在同一条件下对同一被测量重复测量时，各次测量结果服从某种统计分布；这种误差的处理依据概率统计方法。产生偶然误差的原因很多，如温度、磁场、电源频率等的偶然变化等都可能引起这种误差；另一方面观测者本身感官分辨能力的限制，也是偶然误差的一个来源。偶然误差反映了测量的精密度，偶然误差越小，精密度就越高，反之则精密度越低。 系统误差和偶然误差是两类性质完全不同的误差。系统误差反映在一定条件下误差出现的必然性；而偶然则反映在一定条件下误差出现的可能性。 3、疏失误差 疏失误差是测量过程中操作、读数、记录和计算等方面的错误所引起的误差。显然，凡是含有疏失误差的测量结果都是应该摈弃的。 解决方法： 仪表测量误差是不可能绝对消除的，但要尽可能减小误差对测量结果的影响，使其减小到允许的范围内。 消除测量误差，应根据误差的来源和性质，采取相应的措施和方法。必须指出，一个测量结果中既存在系统误差，又存在偶然误差，要截然区分两者是不容易的。所以应根据测量的要
求和两者对测量结果的影响程度，选择消除方法。一般情况下，在对精密度要求不高的工程测量中，主要考虑对系统误差的消除；而在科研、计量等对测量准确度和精密度要求较高的测量中，必须同时考虑消除上述两种误差。 1、系统误差的消除方法 (1)对测量仪表进行校正在准确度要求较高的测量结果中，引入校正值进行修正。 (2)消除产生误差的根源即正确选择测量方法和测量仪器，尽量使测量仪表在规定的使用条件下工作，消除各种外界因素造成的影响。 采用特殊的测量方法如正负误差补偿法、替代法等。例如，用电流表测量电流时，考虑到外磁场对读数的影响，可以把电流表转动180度，进行两次测量。在两次测量中，必然出现一次读数偏大，而另一次读数偏小，取两次读数的平均值作为测量结果，其正负误差抵消，可以有效地消除外磁场对测量的影响。 2、偶然误差的消除方法 消除偶然误差可采用在同一条件下，对被测量进行足够多次的重复测量，取其平均值作为测量结果的方法。根据统计学原理可知，在足够多次的重复测量中，正误差和负误差出现的可能性几乎相同，因此偶然误差的平均值几乎为零。所以，在测量仪器仪表选定以后，测量次数是保证测量精密度的前提。 . 容：
减少系统误差的方法 消除或减少系统误差有两个基本方法。一就是事先研究系统误差的性质与大小,以修正量的方式,从测量结果中予以修正;二就是根据系统误差的性质,在测量时选择适当的测量方法,使系统误差相互抵消 而不带入测量结果。 1、采用修正值方法 对于定值系统误差可以采取修正措施。一般采用加修正值的方法。对于间接测量结果的修正,可以在每个直接测量结果上修正后,根据 函数关系式计算出测量结果。修正值可以逐一求出,也可以根据拟合曲线求出。应该指出的就是,修正值本身也有误差。所以测量结果经修正后并不就是真值,只就是比未修正的测得值更接近真值。它仍就是被测量的一个估计值,所以仍需对测量结果的不确定度作出估计。 2、从产生根源消除 用排除误差源的办法来消除系统误差就是比较好的办法。这就要求测量者对所用标准装置,测量环境条件,测量方法等进行仔细分析、研究,尽可能找出产生系统误差的根源,进而采取措施。 采用专门的方法 （1）交换法:在测量中将某些条件,如被测物的位置相互交换,使产生系统误差的原因对测量结果起相反作用,从而达到抵消系统 误差的目的。如用电桥测电阻,电桥平衡时,R X=R0(R1/R2),保持 R1、R2不变,把Rx、R0的位置互换,电桥再次平衡时,R0变成R’,
此时Rx=R0’(R2/R1)。于就是有Rx=R0`(R2/R1),由此算出的 Rx就可以消除由R1、R2带来的系统误差。 (2)替代法:替代法要求进行两次测量,第一次对被测量进行测量,达 到平衡后,在不改变测量条件情况下,立即用一个已知标准值替代被 测量,如果测量装置还能达到平衡,则被测量就等于已知标准值。如果不能达到平衡,修整使之平衡。替代法就是指直截了当地测定物理量的方法。如:利用精密天平的称重。设待测重量为x ,当天平达到平衡时所加砝码重量为Q ,天平的两臂长度各为l1 与l2 ,平衡时有x = Q ·l2/ ll 。再用已知标准砝码P 代替x , 平衡时有P = Q ·l2/ l1 ,得到x = P。若用标准砝码置换未知重量后,天平失去平衡,需加一差值△P , 才出现平衡, 这时有P + △P = Q ·l2/ l1 ,所以x = P + △P( △P 可正可负) 。这样就可消除由于天平两臂不等而带来的系统误差。 (3)补偿法:补偿法要求进行两次测量,改变测量中某些条件,使两次 测量结果中,得到误差值大小相等、符号相反,取这两次测量的算术平均值作为测量结果,从而抵消系统误差。如读数显微镜、千分尺等都存在空行程,这就是系统误差,设其为l,为消除这一误差,可从两个方向分别读数,第一次顺时针旋转,读得数据为L1,则被测量长度D 为:D=L1+l:第二次逆时针旋转读得数据为L2,则被测量长度为 D=L2-l,于就是D=(L1+L2)/2,这样系统误差l被消除,某些不等位电势、温度引起的温差电势、磁场对磁电系仪表的影响等也可以用这种办法来消除。
CORDIC算法的优化及硬件实现 【摘要】本文介绍了CORDIC算法的基本原理并分析了其优化的方法，在QUARTUS9.0平台上基本实现了其功能，有效的降低了资源的消耗并提升了工作频率。 【关键词】CORDIC优化；FPGA；仿真 CORDIC算法全称为坐标旋转数字计算机，它是由J.V older于1959年提出，cordic的运用大大降低了常用函数如sin，cos，sinh，cosh等在硬件上实现的难度，它主要是将复杂的函数在硬件上通过加减和移位运算递归计算出函数值，由于以上特性使得这一算法特变适合在FPGA上实现。 1.CORDIC算法基本原理 CORDIC算法主要是在一个平面上某一向量（x1，y1）经过旋转角后得到新的向量（x2，y2），如图1所示。 根据变换规则二者有如下关系： 2.传统CORDIC算法的局限性及优化 CORDIC算法在FPGA中主要通过流水线来实现，通常要将提前算出作为的输入预先存储到ROM中，随着流水线级数的增加ROM表的容量成指数增长增加了系统的资源消耗，CORDIC每次运算都要经过多次迭代随着迭代次数的增加计算速度受到很大的影响，一个结果往往要经过多个时钟周期才能得到，此外传统的CORDIC算法的角度范围受到很大的约束，旋转的最大的角度范围为-99.88≤≤99.88无法达到0≤≤360必须对输入的角度预先进行处理才能使其达到收敛针对以上情况采取优化反正切函数表来减少迭代次数，简化校正因子等可以解决资源和速度的缺陷，对于角度的收敛问题采用分象限法如表1。 对于一个15级流水线可以通过以上的方法减少到12次迭代减少了3级流水线，并且减少了ROM的使用量提高了运行效率。 3.CORDIC算法硬件的实现 由于CORDIC算法主要通过加减以及移位来实现，说以特别适合在FPGA 上实现，在这里我采用Altera公司的Cyclon2器件组中的EP2C5Q208C8整个实现过程都是在Quartus9.0中完成图2为系统的整体架构。 当接收完六个字节数据后开始进行优化CORDIC算法迭代运算流程图如图3所示。
.1、坐标旋转数字计算机CORDIC 坐标旋转数字计算机CORDIC(COordinate Rotation DIgital Computer)算法，通过移位和加减运算，能递归计算常用函数值，如Sin，Cos，Sinh，Cosh等函数，由J. Volder于1959年提出，首先用于导航系统，使得矢量的旋转和定向运算不需要做查三角函数表、乘法、开方及反三角函数等复杂运算。J. Walther 在1974年用它研究了一种能计算出多种超越函数的统一算法。 1.2、CORDIC原理 如图所示，初始向量（X(0)，Y(0)）旋转θ角度之后得到向量（X1，Y1），此向量有如下关系： CORDIC算法 X1=X0*cos(θ)-Y0*sin(θ)=cos(θ)(X0-Y0*tan(θ)) Y1=Y0*cos(θ)+X0*sin(θ)=cos(θ)(Y0+X0*tan(θ)) 注：θ为待求角 假设初始向量经过N次旋转之后得到新向量，且每次旋转角度δ正切值都为2的倍数，则第i次旋转角度为δ=arctan(2^(-i))，即cosδ=（1/（1+2^(-2i)））^0.5。 容易得到角度θ≈∑S(i)●δ(i)，其中S(i)=1或－1，表示旋转角度的方向，第i步旋转可以表示为： X(i+1)=(（1/（1+2^(-2i)））^0.5)●(X(i)-S(i)Y(i)2^(-i)) Y(i+1)=(（1/（1+2^(-2i)））^0.5)●(Y(i)+S(i)X(i)2^(-i)) 其中（1/（1+2^(-2i)））^0.5)称为校模因子，当旋转次数一定时，趋于一个常数，Π（1/（1+2^(-2i)））^0.5)≈0.6073 这样，算法每一步就可以简化为： X(i+1)=0.6073●(X(i)-S(i)Y(i)2^(-i)) Y(i+1)=0.6073●(Y(i)+S(i)X(i)2^(-i)) 从而可以看出，对于移动的角度θ，现在只需要硬件加减法器和移位器就可以算出结果。引入Z，表示i次旋转后相位累加的部分和，则： Z(i+1)=Z(i)-S(i)arctan(2^(-i)) 经过n次旋转之后，Z→0，即与目标角重合，即： X(n)=X1=X0*cos(θ)-Y0*sin(θ) Y(n)=Y1=Y0*cos(θ)+X0*sin(θ)
专题二测量方法与误差分析 观察和测量是科学实验中，经常运用的科学方法。人类在进行定性实验中，主要用到的科学方法是观察。上一专题中，我们主要研究了科学观察。在本专题中，我们将简单了解测量的有关知识，以及在中小学教学中测量这一方法的教学要求及其实现途径。在科学上，测量这一方法用的领域也非常广，几乎所有的定量实验都需要用到测量法。 实验四一般测量 [理论探究] 一、测量 1．测量的含义 测量就是用仪器确定空间、时间、温度、速度、功能等有关数值。在科学实验中，有时需要知道研究对象所含的化学成分及其具体含量，这就需要通过仪器进行分行，不仅进行定性分析，还要进行定量测定。 2．测量的方法 测量物体，无论是固体、液体还是气体，根据测量内容的不多，方法很多。有些测量，我们可以直接使用测量仪器获得所需的结果，这种测量我们叫它直接测量；但在科学实验中，有很多情况需要测量后经过数学公式（如计算面积和体积的公式等）的运算，才能得出所需的数值。测量的内容和方法简介于下表。 从上面的测量简表中，我们可以看出对于物体的测量包括很多方面，而对物体长度的测
量是这些测量中最基本的一种测量，也是研究和分析物体的一种方法。在中小学中涉及的长度测量，主要是让学生掌握测量的方法、科学记录数据和误差分析等方法，从而提高能力。 1.米尺 米尺的最小刻度值为1mm ，用米尺测量物体的长度时，可以估测到十分之一毫米，但是最后一位是估计的。如用米尺测量一张书桌的长度和宽度的数值分别为55.25cm 和48.43cm ，其中55.2和48.4是准确的，而最后一位数字5和3是估计值，也就是含有误差的测量值，根据有效数字的书写方法可知，用米尺做长度测量时，当用厘米做单位时，数值应读到小数点后第二位为止。 2.游标卡尺 游标卡尺简称卡尺，是一种比较精确的常用测量长度的量具，其准确度可达 0.1~0.01mm ，它的外形和结构如图1-1所示。游标卡尺主要由主尺和可以沿主尺滑动的游标尺（副尺）组成。钳口A 、B 用来测量物体的外部尺寸，刀口B A ''、可用来测量管的内径或槽宽；尾尺C 可用来测量槽或小孔的深度。 主尺的最小分度为1mm ，游标尺上刻有游标E ，利用游标可以把主尺上的估读数值准确地测量出来，从而提高了测量的精确度。 以10分度游标为例，图1-2为测量精确到 1 10 分格的游标(称作10分游标)的原理图。游标尺上只有10个分格，是将主尺上的9个分格10等分而成，由此有标尺上的一个分 格的间隔等于主尺一个分格的 110 。图1-3是使用10分游标测量的示意图。测量时将物体ab 的a 端和主尺的零线对齐，另一端b 在主尺的第7和第8格分格之间，即物体的长度稍大于7个主尺格。设物体的长度比7个主尺格长l ?，使用10分游标可将l ?测准到主尺一分格的 1 10 。如图1-3示，将有标的零线和物体的b 端相接，查出与主尺刻线对齐的是由标尺上的第6条线，则
第五章 测量误差及其处理的基本知识 1、测量误差的来源有哪些？什么是等精度测量？ 答：测量误差的来源有三个方面：测量仪器的精度，观测者技术水平，外界条件的影响。该三个方面条件相同的观测称为等精度观测。 2、什么是系统误差？什么是偶然误差？它们的影响是否可以消除？ 答：系统误差是指在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，其数值和符号均相同，或按一定规律变化的误差。偶然误差是指在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，其数值和符号均不固定，或看上去没有一定规律的误差。系统误差的影响采取恰当的方法可以消除；偶然误差是必然发生的，不能消除，只能削弱偶然误差的影响。 3、举出水准测量、角度测量及距离测量中哪些属于系统误差？ 答：水准仪的i 角误差，距离测量时钢尺的尺长误差，经纬仪的视准轴误差、横轴误差和竖盘指标差等都属于系统误差。 4、评定测量精度的指标是什么？何种情况下用相对误差评定测量精度？ 答：测量中最常用的评定精度的指标是中误差，其绝对值越大精度越低。当误差大小与被量测量的大小之间存在比例关系时，采用相对误差作为衡量观测值精度的标准。例如距离丈量，采用往返丈量的相对误差作为评定精度的指标。 所谓相对中误差(简称相对误差)就是中误差之绝对值（设为|m|）与观测值（设为D ）之比，并将分子化为1表示K =| |/1||m D D m = 。 5、观测值中误差如何计算？ 答：设在相同条件下对某量进行了n 次观测，得一组观测值L 1、L 2、……Ln ，x 为观测值的算术平均值， i v 表示观测值改正数，即 11L x v -= 22L x v -= ．．．．．． n n L x v -= 则中误差 [] 1-±=n vv m 6、算术平均值及其中误差如何计算？
5.5.1 测量误差与精度 1. 测量误差的含义及表示方法 测量误差是测量结果与被测量的真值之差。由于测量误差的存在，被测量的真值是不能准确得到的。实用中，一般是以约定真值或以无系统误差的多次重复测量值的平均值代替真值。 测量误差有绝对误差和相对误差之分。 上述定义的误差称为绝对误差。即 = - （5-3） 绝对误差可能是正值或负值。被测尺寸相同的情况下，绝对误差大小能够反映测量精度。被测尺寸不同时，绝对误差不能反映测量精度。这时，应用相对误差的概念。 相对误差是指绝对误差的绝对值与被测量真值之比，即 （5-4） 2. 测量的精确度 测量的精确度是测量的精密度和正确度的综合结果。测量的精密度是指相同条件下多次测量值的分布集中程度，测量的正确度是指测量值与真值一致的程度。下面用打靶来说明测量的精确度： 把相同条件下多次重复测量值看作是同一个人连续发射了若干发子弹，其结果可能是每次的击中点都偏离靶心且不集中，这相当于测量值与被测量真值相差较大且分散，即测量的精密度和正确度都低；也可能是每次的击中点虽然偏离靶心但比较集中，这相当于测量值与被测量真值虽然相差较大，但分布的范围小，即测量的正确度低但精密度高；还可能是每次的击中点虽然接近靶心但分散，这相当于测量值与被测量真值虽然相差不大但不集中，即测量的正确度高但精密度低；最后一种可能是每次的击中点都十分接近靶心且集中，这相当于测量值与被测量真值相差不大且集中，测量的正确度和精密度都高，即测量的精确度高。 5.5.2 测量误差的来源及减小测量误差的措施 测量误差直接影响测量精度，测量误差对于任何测量过程都是不可避免的。正确认识测量误差的来源和性质，采取适当的措施减小测量误差的影响，是提高测量精度的根本途径。测量误差主要来源于以下几个方面：
减小测量误差的方法总结 摘要：本文通过知识回顾法、查阅资料法、总结法，介绍了测量误差的基本概念和来源，从不同角度归纳出误差的分类，并从如何弥补仪器缺陷、减小系统误差和随机误差方面做详细介绍。 关键词：测量误差误差来源减小误差 一、测量误差的概念和来源 （一）测量误差的概念 在测量时，测量结果与实际值之间的差值叫误差。真实值是客观存在的，是在一定时间下体现事物的真实数据。测量值是测量所得的结果。这两者之间总是或多或少的存在一定的差异，就是测量误差。 （二）测量误差的主要来源 1.外界条件 外界的温度、湿度、大气折射等对观测结果都会产生影响。 2.仪器条件 仪器制造产生的精度缺陷。 3.观测者自身条件 每个人都有自己的鉴别能力，一定的分辨率和技术条件，在仪器安置、照准、读数等方面可能会产生误差。 二、测量误差的分类及简单介绍 （一）按表示方法 1.绝对误差：是示值与被测量真值之间的差值。 ，器具的示值为x，则绝对误差Δx为： 设被测量的真值为A （1） Δx=x-A ，在实际应用中，常用精度高一级的标准器具的示值A代由于一般无法求得真值A 替之。X与A之差常称为器具的示值误差。记为： Δx=x-A （2）通常以此值代表绝对误差。 绝对误差一般适用于标准器具的校准。 2.相对误差：是相对误差Δx与被测量的约定值之比，它较绝对误差更能确切地说明测量精度。 3.容许误差：是根据技术条件的要求，规定某一类器具误差不应超过的最大范围。
（二）按误差出现的规律分类 1.系统误差 其变化规律服从某种已知函数。系统误差主要由以下几个方面引起：材料、零部件及工艺缺陷；环境温度、湿度、压力的变化以及其他外界干扰等。 系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。系统误差越小，测量就越正确。 2.随机误差 又称偶然误差，其变化规律未知。随机误差是由很多复杂因素的微小变化的总和所引起的，具有随机变量的一切特点，在一点条件下服从统计规律。因此，通过多次测量后，对其总和可以用统计规律来描述，则可从理论上估计对测量结果的影响。 随机误差表现了测量结果的分散性。在误差理论中，常用精密度一词来表征随机误差的大小。随机误差越小，精密度越高。 3.粗大误差 是指在一定条件下测量结果显著地偏离其实际值所对应的误差。在测量及数据处理中，如发现某次测量结果所对应的误差特别大或小时，应认真判断误差是否属于粗大误差，如是，该值应舍去不用。 三、测量误差的减小 下面将从测量误差的三个主要来源：仪器条件、外界条件、观测者自身条件，进行分析如何减小测量误差。 （一）弥补仪器缺陷 由于仪器本身的缺陷带来测量误差，如零点偏离，为了减小测量误差，首先就得考虑弥补仪器的缺陷。可以由以下的方法： 1.替代法 替代法是指在测量装置上对某一带测量进行测量后，立即将带测量与标准量进行交换，再次进行测量，利用函数关系，从而得出测量的值。即在测量装置上对某一带测量进行测量后，再次进行测量，并调到同样的情况，从而得出带测量等于标准量。例如，用电桥测量电阻时，调平衡后，把被测电阻用可变标准电阻替换，调标准电阻值使电桥再次达到平衡，则标准电阻的示值即为被测电阻的阻值。这样可消除用此电桥自身可能存在的误差。 2.对称观测法
4 大学物理实验 1.3 系统误差的发现和消除 1.3.1 系统误差的发现 系统误差产生的原因往往是已知的，它的出现一般也是有规律的，人们通过长期的实践和理论研究总结出一些发现系统误差的方法。下面简述两种常用的方法。 1．理论分析法 所谓理论分析法就是观测者凭借所掌握的实验理论、实验方法和实验经验等，对实验所依据的理论公式的近似性、所采用的实验方法的完善性进行研究与分析，从中找出产生系统误差的某些主要根源，从而找出系统误差的方法。例如，气垫导轨实验中，经理论分析知道，由于滑块与导轨之间存在一定的摩擦阻力，如果实验中作为无摩擦的理想情况来处理，就会产生与摩擦阻力有关的系统误差。理论分析法是发现、确定系统误差的最基本的方法。 2．对比法 对比法就是改变实验的部分条件、甚至全部条件进行测量，分析改变前后所得的测量值是否有显著的不同，从中分析有无系统误差和探索系统误差来源的方法。对比的方法有多种，其中包括不同实验方法的对比，使用不同测量仪器的对比，改变测量条件的对比，以及采用不同人员测量的对比等。例如，将物体分别放在天平的左盘和右盘上进行称衡，可以发现天平不等臂引入的误差；精确地测量同一单摆在不同摆角时的周期值，可以发现周期与摆角有关。 以上介绍了两种发现系统误差的方法。除此之外，还有一些发现系统误差的方法，在具体的实验中，我们应该注意学习。 1.3.2 系统误差的处理 我们在处理系统误差时，常将它分为两类来考虑，即已定系统误差和未定系统误差。已定系统误差是指误差的绝对值和符号已经确定的系统误差，如电表、螺旋测微计的零位误差，测电压、电流时由于忽略表内阻引起的误差。处理数据时，必须将已定系统误差从测量值中减去，得到修正后的测量值。未定系统误差是指误差的绝对值和符号未确定的系统误差，如螺旋测微计制造时的螺纹公差等。处理数据时，对这类误差一般要估计出其分布范围（大致对应于不确定度估计中的△B）。实验中可以通过方案选择、参数设计、计量器具校准、环境条件控制等环节来减小未定系统误差的限值。下面介绍几个具体的原则。 1．消除产生系统误差的因素 这要求我们对整个测量过程及测量装置进行必要的分析与研究，找出可能产生系统误差的原因。例如，是否有近似公式或近似计算，测量仪器结构是否合理，测量环境方面是否有由于温度、湿度、气压、振动、电磁场等所引起的影响，观测者是否有估读刻度偏高或偏低的习惯等。经过分析与研究，如果确认实验中有系统误差，则针对具体原因，采取相应措施使系统误差得以减小或消除。
LIBRARY ieee; USE ieee.std_logic_1164.all; USE ieee.std_logic_arith.all; USE ieee.STD_LOGIC_UNSIGNED.all; ENTITY cordicCOS_SIN IS PORT ( clk :IN std_logic; deg_in :IN std_logic_vector (13 downto 0); cos :OUT std_logic_vector(15 downto 0); sin :OUT std_logic_vector(15 downto 0) ); END cordicCOS_SIN; architecture rlt_cordicCOS_SIN of cordicCOS_SIN is constant c1:std_logic_vector(13 downto 0):=CONV_STD_LOGIC_VECTOR(4096,14); constant c2:std_logic_vector(13 downto 0):=CONV_STD_LOGIC_VECTOR(2048,14); constant c3:std_logic_vector(13 downto 0):=CONV_STD_LOGIC_VECTOR(1209,14); --arctan(1/2) constant c4:std_logic_vector(13 downto 0):=CONV_STD_LOGIC_VECTOR(639,14); --arctan(1/4) --constant x0:std_logic_vector(15 downto 0):=CONV_STD_LOGIC_VECTOR(19895,16); signal x0 :std_logic_vector(15 downto 0); signal y1,x1 :std_logic_vector(15 downto 0); signal y2,x2 :std_logic_vector(15 downto 0); signal y3,x3 :std_logic_vector(17 downto 0); signal y4,x4 :std_logic_vector(19 downto 0); signal p1,p2,p3,p4 :std_logic_vector(13 downto 0); begin x0 <= conv_std_logic_vector(26980,16); ---------------------------------step 1------------------------------------ process(clk) begin if rising_edge(clk) then if deg_in(13) ='1' then y1 <= x"0000" -x0; else y1 <= x0; end if;
如何减小物理实验中系统误差和偶然误差 一：减小系统误差 1.系统误差的来源：系统误差总是偏大或总偏小，来自以下几方面 （1）仪器误差 如温度计的刻度不准确 天平砝码不准等。 (2)环境误差 如受环境的温度、电源电压、频率、波形、外界电磁场等发生变化的影响。 (3)方法误差这种测量误差是由于测量方法不完善及所依据的理论不严密所产生的 例如 测量设备的绝缘漏电等。 (4)个人误差这是由实验者的分辨能力、感觉器官的不完善和生理变化、反应速度和固有习惯等引起的误差。例如：记录读数始终偏大或偏小，记录信号时超前或滞后。 2.减少系统误差的方法： (1):减少产生系统误差的根源。在测量之前要求测量者对可能产生系统误差的环节作仔细的分析，从产生根源上加以消除。 例如：若系统误差来自仪器不准确或使用不当， 则应该把仪器校准并按规定的使用条件去使用。 若理论公式只是近似的， 则应在计算时加以修正。 若测量方法上存在着某种因素会带来系统误差， 则应估计其影响的大小或改变测量方法以消除其影响。若外界环境条件急剧变化、或存在着某种干扰，则应设法稳定实验条件，排除有关干扰。若测量人员操作不善、或者读数有不良偏向，则应该加强训练以改进操作技术以及克服不良偏向等。总之,从产生系统误差的根源上加以消除无疑是一种最根本的方法。 (2)减少系统误差还可用下列方法: I.抵消法。有些定值的系统误差无法从根源上消除,也难以确定其大小而修正 ,但可以进行两次不同的测量,使两次读数时出现的系统误差大小相等而符号相反,然后取两次测量的平均值便可消除系统误差。例如: 用电表测量电流时,因受地磁的作用而使测量值存在系统误差,可以用异号法完全消除。 II.代替法。在某些装置上对未知量测量后,马上用一标准量代替未知量再进行测量.若仪器示值不变,便可肯定被测的未知量即等于标准量的值从而消除了测量结果中的仪器误差。例如用天平秤物体质量时,由于天平的称量是利用“杠杆平衡时作用在等力臂上的力相等”的原理制成的。天平在制造或使用中会出现两臂的长度不完全相等,从而引起测量的系统误差.测量物体的质量m时,设天平两臂分别为L1和L2,先使m与砝码G平衡,则有m=21GLL再以标准砝码P取代质量为m的物体.若调节P和G达到平衡,则有P=21GLL从而得到m=P.消除了天平不等臂引起的系统误差。 二：减小偶然误差 1.偶然误差来源：偶然误差是由各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的。偶然误差总是有时偏大，有时偏小，并且偏大偏小的概率相同。 2.消除偶然误差的方法： 在测量时，即使精心排除产生系统误差的因素之后，由于人的感觉灵敏程度、仪器的精度所限和周围环境的干扰等一些难以控制的偶然因素的影响，也还会产生偶然误差。减小偶然误差的方法主要有累积法、平均值法、逐差法和图像法。 (1)、累积法。实验中常采用累积法，这种方法的优点在于将测量宽度展延了若干倍，增加了待测量的有效数字位数，降低了测量值的相对误差。如测单摆振动周期，由于人的大脑反应速度和观察到摆球运动位置之间的差异，每次揿表的偶然误差为±0.1秒，设单摆振动周期为2.0秒，若只测一个周期，则相对误差为：T/T=10% 若测50个周期，则相对误差为：T/50T=0.2% 这样就使测量的准确度大大提高。还有测一滴油酸的体积、纸的厚度、细铜丝的直径等均采用了累积法。
测量误差的基本概念测量误差的基本概念 使用任何仪器进行测量时，都存在测量误差。测量结果与测量的真值之间的差异，称为测量误差。真值就是一个量所具有的真实数值。真值是一个理想概念，实际应用中通常用实际值来替代真值。实际值是根据测量误差的要求，用更高一级的标准器具测量所得之值。 一、测量误差的表示方法 测量误差的表示方法 测量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。 1、绝对误差是指被测量的测量值与其真值之差。与绝对误差的大小相等，但符号相反的量值称为修正值。绝对误差只能说明测量结果偏离实际值的情况，不能确切反映测量的准确程度。 2、相对误差是指绝对误差与被测量的真值之比。相对误差是两个相同量纲的量的比值，只有大小和符号。 测量中常用绝对误差与仪器的满刻度值之比来表示相对误差，称为引用相对误差。测量仪器使用最大测量仪器使用最大引用相对误差表示它的准确度引用相对误差表示它的准确度，，它反应了仪器综合误差的大小它反应了仪器综合误差的大小。。 电工仪表一般分为7级：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0。当仪表的准确度等级确定以后，示值越接近量程，示值相对误差越小。所以测量时要注意选择量程，尽量使仪表指示在满度值的2/3以上区域。 二、测量误差的来源 测量误差的来源 1、仪器误差，是测量仪器本身及其附件引入的误差。例如仪器的零点漂移、刻度不准确等引起的误差。 2、影响误差，是指由于温度、湿度、振动、电源电压、电磁场等环境因素和仪表要求条件不一致而引起的误差。 3、方法误差，是指由于测量方法不合理而造成的误差。 4、人身误差，是指测量人员由于分辨力、视力疲劳、不良习惯或缺乏责任心，如读错数字、操作不当等引起的误差。 5、测量对象变化误差，是指由于测量过程中测量对象的变化使得测量值不准确而引起的误差。 三、测量误差的分类 测量误差的分类 按性质可分为三类：系统误差、随机误差、过失误差。 1、系统误差是指在确定的测试条件下，误差的数值（大小和符号）保持恒定或在条件改变时按一定规律变化的误差，也叫确定性误差。系统误差常用来表示测量的正确度系统误差常用来表示测量的正确度系统误差常用来表示测量的正确度。。系统误差越小系统误差越小，，则正确度越高则正确度越高。。
误差及其表示方法 误差——分析结果与真实值之间的差值( > 真实值为正，< 真实值为负) 一. 误差的分类 1. 系统误差（systermaticerror ）——可定误差（determinateerror） （1）方法误差：拟定的分析方法本身不十分完善所造成； 如：反应不能定量完成；有副反应发生；滴定终点与化学计量点不一致；干扰组分存在等。 （2）仪器误差：主要是仪器本身不够准确或未经校准引起的； 如：量器（容量平、滴定管等）和仪表刻度不准。 （3）试剂误差：由于世纪不纯和蒸馏水中含有微量杂质所引起； （4）操作误差：主要指在正常操作情况下，由于分析工作者掌握操作规程与控制条件不当所引起的。如滴定管读数总是偏高或偏低。 特性：重复出现、恒定不变（一定条件下）、单向性、大小可测出并校正，故有称为可定误差。可以用对照试验、空白试验、校正仪器等办法加以校正。 2. 随机误差(randomerror)——不可定误差（indeterminateerror） 产生原因与系统误差不同，它是由于某些偶然的因素所引起的。 如：测定时环境的温度、湿度和气压的微小波动，以其性能的微小变化等。 特性：有时正、有时负，有时大、有时小，难控制（方向大小不固定，似无规律） 但在消除系统误差后，在同样条件下进行多次测定，则可发现其分布也是服从一定规律（统计学正态分布），可用统计学方法来处理 系统误差——可检定和校正 偶然误差——可控制
只有校正了系统误差和控制了偶然误差，测定结果才可靠。 二. 准确度与精密度 （一）准确度与误差（accuracy and error） 准确度：测量值（x）与公认真值（m）之间的符合程度。 它说明测定结果的可靠性，用误差值来量度： 绝对误差 = 个别测得值 - 真实值 (1) 但绝对误差不能完全地说明测定的准确度，即它没有与被测物质的质量联系起来。如果被称量物质的质量分别为1g和0.1g，称量的绝对误差同样是0.0001g，则其含义就不同了，故分析结果的准确度常用相对误差（RE%）表示： (2) （RE%）反映了误差在真实值中所占的比例，用来比较在各种情况下测定结果的准确度比较合理。 （二）精密度与偏差（precision and deviation） 精密度：是在受控条件下多次测定结果的相互符合程度，表达了测定结果的重复性和再现性。用偏差表示： 1. 偏差 绝对偏差：(3) 相对偏差：(4) 2. 平均偏差 当测定为无限多次，实际上〉30次时：