E D C A 垂直平分线的判定专题练习
学习目标：（1）掌握垂直平分线的证明方法；（2）加深对逆定理的理解
学习重点：垂直平分线的证明 学习难点：垂直平分线的证明
线段垂直平分线的证明：
方法一：根据定义，证既垂直又相等；
方法二：根据判定定理，证明两点到线段两端点距离相等
线段垂直平分线判定定理的用法：
1.要证“点在垂直平分线上”，只需证明一点到线段两端点距离相等
2.要证“XX 线为线段垂直平分线”，需证两点到线段两端点距离相等
1、如图，已知：在ABC 中，AB 、BC 边上的垂直平分线相交于点P .
求证：点P 在AC 的垂直平分线上.
2、如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ．
求证：AD 垂直平分EF ．
3、如图，已知∠C=∠D=90°，AC 与BD 交于O ，AC=BD ．
（1）求证：BC=AD ；
（2）求证：点O 在线段AB 的垂直平分线上．
4、如图，△ABC 中∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，求证：直线AD 是CE 的垂直平分线．
线段的垂直平分线与角的平分线专题 一、选择题： 1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30? ，∠CAD=65? ，则∠ACD 等于 （ ） A ．50? B ．65? C ．80? D ．95? 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ??= （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定 3．如图3，在△ABC 中，∠C=90? ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。其中正确的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90? ，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是 （ ） A ．PD>PC B ．PD
线段的垂直平分线的性质与判定 教学目标： 1、掌握线段垂直平分线的性质和判定。 2、理解线段垂直平分线的性质的推导过程。 3、培养学生逆向思维能力和严谨的学习品质。 重点与难点： 重点：线段垂直平分线的性质与判定。 难点：理解线段垂直平分线的性质的推导过程。 教学过程： ＜一＞创设情境 线段AB的垂直平分线与线段AB的对称轴有什么关系？ ＜二＞探究新知 1.直线l是线段AB的垂直平分线，P是l上一点，试观察PA.PB的长度有什么关系？ 2.不论P点在直线l上怎样移动，上述结论还成立吗？你能说一说理由吗？ 说明：1、因为l是线段AB的直平分线，从而点A与点B关于直线l对称，于是沿l折叠时A与B重合，又P对称在对称轴l上，所以PA=PB. 2、在探究新知问题2的过程要培养学生用运动的、变化观点来分析事物，让P点在L上移动，在这个过程中采用让学生量一量，测一测，运用由“特殊”到“一般”的思维方法来实现这一教学目标。
3、通过上述分析，你能得出什么结论？ 由此得出：线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的端点的距离相等。 阅读与分析 反过来，和两点A，B的距离相等的点是否在线段的直平分线上？设P点和A，B两点的距离相等，作∠APB的平分线PC（由折叠得到）。在关于直线PC的轴反射下，射线PB与PA重合，又由于PA ＝PB。因此B点与A重合。从而A，B两点关于直线PC对称，因此PC是线段AB的垂直平分线。 （1）你能根据上述短文画出几何图形？ （2）通过上述的阅读与分析你得到什么结论？ 由此得出：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 <三>应用新知 1.尺规作图是把限定用直尺和圆规来画图。下面是用尺规作图的方法作线段AB的垂直平分线的步骤。 (1)分别以点A和B为圆心，以大于1/2AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C和D。 (2)作直线CD。直线CD就是线段AB的垂直平分线。 问题＜一＞：请根据上述步骤作出AB的垂直平分线。 问题＜二＞：你能说出上述作图的根据吗？ 理由： 因为两点确定一条直线，所以要作出线段AB的垂直平分线，只要找
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案 一、选择题（本大题共7小题，共21.0分） 1.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪 三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪() A. 三条角平分线的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条高的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 2.下列说法错误的是() A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴 B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴 C. 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴 D. 等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴 3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE 垂直平分BC，AD=3，则AC的长为() A. 9 B. 5 C. 4 D. 3√3 4.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D， AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE 的度数为() A. 68° B. 62° C. 66° D. 56° 5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点 E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为() A. 2m2?18 B. 2m2+12m+18 C. m2+9 D. m2+6m+9 6.如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论： ①PM=PN；②AM=AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM=90°． 其中正确结论的个数是()
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，E，F是AD的三等分 点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为() A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、解答题（本大题共10小题，共80.0分） 8.直线OA，OB表示两条相互交叉的公路，点M，N表示两个 蔬菜种植基地．现要建一个蔬菜批发市场P，要求它到两条 公路的距离相等，且到两个蔬菜基地的距离也相等，请用尺 规作图说明市场的位置． 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC， 交BC于点D，DE⊥AB于点E.已知AB=10cm，求△DEB 的周长．
: 垂直平分线的性质·练习 1、如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 2、如图，在Rt ABC △中，90ACB D E ∠=，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，．下列结论中不一定正确的是 （ ） A ．ED BC ∥ B ．ED AC ⊥ C ．ACE BCE ∠=∠ D ．AE CE = 3、△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC =°，则∠B 等于 （ ） 或° D.无法确定 . 4、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。 4题 5题 5、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B =15°，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交BC 于E ，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ 。 6、在△ABC 中，∠C ＝90°，用直尺和圆规在AC 上作点P ，使P 到A 、B 的距离相等（保留作图痕迹，不写作法和证明）． 7、如右图，在△ABC 中，AB=AC ， BC=12，∠BAC =120°，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ， AC 的垂直平分线交BC 边于点N 。 ？ (1) 求△AEN 的周长。 (2) 求∠EAN 的度数。 (3) 判断△AEN 的形状。 ) A B C D E M N
专题训练(四) 有关线段的垂直平分线和角的平分线的四种解题方法 ?方法一直接根据相关性质定理解题 1．如图4－ZT－1所示，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝BC＝CD＝DA.求证：AC与BD互相垂直平分． 图4－ZT－1 ?方法二连线构造全等三角形 2．如图4－ZT－2，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF. 图4－ZT－2 3．如图4－ZT－3，在△ABC中，AB＝2AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝DB.求证：CD⊥CA. 图4－ZT－3 ?方法三作垂线段得距离 4．如图4－ZT－4，在△ABC中，∠BAC的平分线AD平分底边BC.求证：AB＝AC. 图4－ZT－4 5．如图4－ZT－5，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，OE⊥BC于点E，△ABC的周长为12，面积为6，求OE的长． 图4－ZT－5 6.如图4－ZT－6所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是AB，AC上的点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°，DG⊥AB于点G. (1)试判断DE和DF的数量关系，并说明理由； (2)若△ADF和△AED的面积分别为50和39，求△EDG的面积． 图4－ZT－6 7．如图4－ZT－7，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，P为AB边上一点，且DP平分∠ADC，CP平分∠DCB. 求证：(1)P为AB的中点； (2)DC＝AD＋BC. 图4－ZT－7
8．如图4－ZT －8，D 是△ABC 的边BC 的延长线上一点，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD. 求证：(1)∠BAC＝2∠BEC； (2)∠CAE＋∠BEC＝90°. 图4－ZT －8 ? 方法四 作线段的延长线构造全等三角形 9．如图4－ZT －9，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，CD 垂直于∠ABC 的平分线BD 于点D ，BD 交AC 于点E.求证：BE ＝2CD. 图4－ZT －9 详解详析 1．证明：∵AB ＝DA ，BC ＝CD ， ∴点A ，C 在线段BD 的垂直平分线上， 即AC 垂直平分BD ， 同理可证得BD 垂直平分AC. ∴AC 与BD 互相垂直平分． 2．证明：连接AD. 在△ABD 与△ACD 中， ∵???AB ＝AC ， BD ＝CD ，AD ＝AD ， ∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF. 3．[解析] 要证明CD ⊥CA ，只要使∠ACD ＝90°即可．由于AD ＝DB ，可在AB 边上取中点E ，连接DE ，由AB ＝2AC 及∠BAD ＝∠CAD ，得△ADE ≌△ADC ，从而得∠ACD ＝∠AED.由AD ＝DB 知DE 是AB 的垂直平分线，可得∠AED ＝90°. 证明：在AB 边上取中点E ，连接DE. 因为AD ＝DB ，E 为AB 的中点，所以ED ⊥AB. 因为AB ＝2AC ，
授课学科 数 学 授课班级 授课时间 课题 《线段垂直平分线的判定》 课型 新授课 学习目标：1、理解并掌握线段的垂直平分线的判定 2、能灵活应用判定进行有关的计算和证明 学习重难点：掌握线段垂直平分线判定并会正确应用 【学习流程】 一、复习引入 1、垂直平分线的性质： 。 几何语言：∵ ∴ 2、将性质的题设和结论互换得到的命题是： 到 的距离相等的点在 。 想一想：以上的命题是 命题（“真”或“假” ） 二、自主学习 尝试证明上面的命题： 已知：QA=QB 求证：点Q 在线段AB 的垂直平分线上。 （友情提示：证明点Q 在线段AB 的垂直平分线上，分两种情况：（1）已知垂线证明它也是中线；（2）已知中线证明它也是垂线；尝试完成下面证明过程） 证明方法一： 证明：过点Q 作QC ⊥AB 于C ∵QC ⊥AB 于C ∴∠ =∠ = ° 在Rt △ 和Rt △ 中 ? ?? ∴Rt △ ≌Rt △ （ ） ∴ = 备 注
∴点Q在线段AB的垂直平分线上 仿照上面思路，你会试着用另一种方法证明吗？ 归纳：线段垂直平分线的判定定理：与一条线段相等的点，在这条线段的 几何语言： ∵QA=QB ∴在的垂直平分线上 性质与判定的区别： ( ) 点在线段的垂直平分线上到线段两端点的距离相等 ( ) 三、基础应用 1.下列说法错误的是（） A. D.E是线段AB垂直平分线上的两点，则AD=BD,AE=BE B. 若PA=PB，则点P在AB的垂直平分线上 C. 若PA=PB, 则过点P的直线是AB的垂直平分线 D. 若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线 2.如图，在锐角三角形内的一点P满足PA=PB=PC, 则点P是△ABC的的交点 3.如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ A M C B
专题训练(四)线段垂直平分线和角平分线的辅助线作法 类型之一线段垂直平分线的辅助线作法 1．如图4－ZT－1，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB ＋BC＝BE，则∠B的度数是() A．45°B．60°C．50°D．55° 图4－ZT－1 2．如图4－ZT－2，AB＋AC＝7，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD的周长为________． 图4－ZT－2 3．如图4－ZT－3，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，连接OB，OC，若∠BAC等于84°，求∠OBC的度数． 图4－ZT－3 4．如图4－ZT－4，已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC交于点F，求∠A的度数．
图4－ZT－4 类型之二角平分线的辅助线作法 5．如图4－ZT－5，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且DC＝8 cm，则点D到AB的距离是() A．16 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm 图4－ZT－5 6．如图4－ZT－6，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于() A．10 B．7 C．5 D．4 图4－ZT－6 类型之三线段垂直平分线和角平分线综合运用的辅助线作法 7．如图4－ZT－7所示，在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OB 和OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，试说明：BE＝EF＝FC(提示：三个内角相等的三角
考点06 线段垂直平分线的性质和判定 一．选择题（共10小题） 1．（2020·重庆南开中学）如图，在ABC ?中，DE 垂直平分BC ， 分别交BC AB 、于D E 、，连接CE BF ，平分ABC ∠，交CE 于F ，若,12BE AC ACE ? =∠=，则F E B ∠的度数为（ ） A ．58? B ．63? C ．67? D ．70? 2．（2020·四川彭州期末）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC ，AB 于点D 、E ，7BE =，则CE 的长是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 3．（2020·四川开江期末）如图，AD 是BAC ∠的平分线，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于点F ，若55FAC ∠=?，则B 的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°4．（2020·四川郫都期末）如图，在△ABC中，△C＝31°，△ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么△A的度数为（） A．31°B．62°C．87°D．93°5．（2020·江苏宿豫期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（） A．12B．10C．8D．6 6．（2020·江苏如皋期中）如图，DE△BC，BE=EC，且AB=5，AC=8，则△ABD的周长为（）
A ．21 B ．18 C ．13 D ．9 7．（2020·山东金乡期中）如图，在Rt△ABC 中，△B=90°，△C=20°，分别以点A 、C 为圆心，大于12 AC 长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，连接MN ，与AC 、BC 分别交于点D 、E ，连接AE ．则△BAE=（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．60° 8．（2020·尚志市田家炳中学期中）如图，点K 在AOB ∠的内部，点K 关于OA 、OB 的对称点分别为P 、R ，连接PR 交OA 、OB 于点C 、D ，若70POR ∠=，则下列结论错误的是( ) A ．35AO B ∠= B ．110CKD ∠= C ．PK RK = D ．OA 垂直平分PK 9．（2020山东滨州期中）如图，AD 是ABC 的角平分线，,DE AB DF AC ⊥⊥,垂足分别为点,E F ，连接EF 与AD 相交于点O ．下列结论不一定成立的是( )
13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第1课时线段的垂直平分线的性质和判定 一、选择题（共8小题） 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5， CD 边垂直平分线的交点 ，连接EC；则∠AEC等于（） F， ： 第1题图第2题图第5题图 第6题图第7题图第8题图 B
二、填空题（共10小题） 9．到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是_________ ． 10．如图，有A、B、C三个居民小区是位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个休闲广场，使广场到三个小区的距离相等，则广场应建在_________ ． 11.在阿拉伯数字中，有且仅有一条对称轴的数字是____________. 12、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= _________ 度． 13、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________ cm． 14．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，若△BDC的周长为16，则BC= _________ ． 15．如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为_________ ．16．已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________ ． 17．如图，AB=AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC=6，△CDB的周长为15，则AC= _________ ． 18．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．则∠BCD=_________ 度． 第10题图第12题图第13题图第14题图 第15题图第16题图第17题图第18题图 三、解答题（共5小题） 19．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O． （1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来； （2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明． 20．如图，在△AB C中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长． 21.如图，已知：在ABC 中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.
垂直平分线和角平分线分线专题训练 垂直平分线性质定理 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理： 三角形三边的垂直平分线相交于一点（三角形外接圆圆心），并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 角平分线性质定理 1、角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. . 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 2、关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点（三角形内切圆圆心），并且这一点到三边的距离相等. 图1
题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 专题训练 一、选择题 1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30?，∠CAD=65?，则∠ACD 等于 （ ） A ．50? B ．65? C ．80? D ．95? 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ??=（ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定 3．如图3，在△ABC 中，∠C=90?，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。其中正确的有 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90?，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是（ ） A ．PD>PC B ．PD
线段的垂直平分线的性质和判定 教学目标 知识与技能：掌握线段垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题。 方法与过程：通过折叠，观察让学生动手操作探索规律，并用所学理论证明规律，并在实际解题过程中运用它。 情感态度与价值观：经历探究线段垂直平分线的性质和判定的过程，发展学生的空间观察的能力进而培养学生的探究意识和学习数学的兴趣。 重点： 线段垂直平分线的性质和判定 难点： 线段垂直平分线的性质和判定的推理及应用 教学过程 一、问题导入 1.什么是线段的垂直平分线？ 2.线段是轴对称图形吗？如果是它的对称轴是什么？ 二、探究新知 （一）线段垂直平分线的性质和判定 将线段AB折叠，并在折痕上任取一点P，连接PA，PB并再次折叠，你会发现什么？ 由于P点的任意性，你又会得出什么结论？
结论： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 性质的证明： 求证：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．” 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点 P 在l 上．求证：PA =PB． 思路分析：图中只有两个直角三角形而证明的又是线段相等，所以联想证明这两个三角形全等。 证明过程： 证明：∵l⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90° 又∵AC=CB，PC=PC, 又∵AC=CB，PC=PC, ∴PA=PB 证后反思：线段垂直平分线的性质在做题过程中可以直接使用，省去其中证全等的过程，使解题过程更加简洁明了。 例1：如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的垂直平分线交BC 于D，AC 的垂直平分线交BC 与E，则△ADE 的周 长等于______． 例2：如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上 点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？
12.1.2轴对称—垂直平分线的性质与判定 一、知识回顾： 1．垂直平分线的定义： 经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 二、探究新知： 2、已知：如下图，直线l垂直平分线段AB，垂足为c，点p是直线l任一点 求证：PA＝PB 证明： 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离3．思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？ 已知：如图，PA＝PB 求证：点P在线段AB的垂直平分线上（提示：做辅助线，构造全等三角形）证明：线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。练习 三、例题评析： 例1 如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求ΔABD的周长？ A E 若AB=AC,则点A 在线段的 若直线ED是线段BC 的垂直平分线,则图
例2、三角形中，分别画出边AB ,BC的垂直平分线，若这两条垂直平分线交于点O，则点O是否在AC的垂直平分线上。说明理由。 四、课堂练习： 1、△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。 2、如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ 五、课后作业： 1、如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修 建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A.在AC、BC两边高线的交点处 B.在AC、BC两边中线的交点处 C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处 D.在A、B两内角平分线的交点处 C B A
2．下列语句正确的有（）句 ①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③两个图形关于某条直线对称，对称点一定在直线的两侧；④两个轴对称图形对应点连线的垂直平分线就是它的对称轴。 A、1句 B、2句 C、3句 D、4句 3．设A，B关于直线MN对称，则垂直平分。 4．如果O是线段AB的垂直平分线与AB的交点，那么= 。 5．设MN是线段AB的垂直平分线，当点P在MN上运动时，PA，PB的长度都随之变 化，但总保持。 6、如右图所示，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6，求△BCE的周长。 7．如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？六、应用与拓展： 1、如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D 点，求：△BCD的周长。
24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 课前预习 1.线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 2.线段垂直平分线定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上。 当堂训练 知识点1：线段垂直平分线的性质 1.如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要 使钢索AB 与AC 的长度相等，?需加_ _______条件，理由是___ _____． 2.（09钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与C D 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACB 3.如图所示，CD 是AB 的垂直平分线，若AC=1.6cm ，BD=2.3cm ，则四边 形ABCD 的周长是（ ）． A ．3.9cm B ．7.8cm C ．4cm D ． 4.6cm 4.如图所示，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC 于 D ，连接 AD ， 若∠CAD=20°，则∠B=（ ）． A ．20° B ．30° C ．35° D ．40° 知识点2：线段垂直平分线定理的逆定理 5.AB =AD ，BC =CD ，AC 、BD 相交于点E ．则AB 是线段CD 的___ _____． 课后作业 6.给出以下两个定理： ①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 应用上述定理进行如下推理，如图，直线l 是线段MN 的垂直平分线． ∵点A 在直线l 上， ∴AM=AN （ ）． ∵BM=BN ， ∴点B 在直线l 上（ ）． ∵CM≠CN，∴点C 不在直线l 上． 这是因为如果点C 在直线l 上， 那么CM ＝CN （ ）． 这与条件CM≠CN 矛盾． 以上推理中各括号内应注明的理由依次是（ ） A ．②①① B ．②①② C ．①②② D ．①②① 证明某一条直线是另一条线段
知识要点 线段的垂直平分线： 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等精讲精练 ★例1、直线MN⊥AB，垂足为D，且AD=BD,P是MN上任意一点，求证：PA=PB
★例2、△ABC中，AB=AC,O是△ABC内一点，且OB=OC,求证：直线AO垂直平分线段BC ★★变式1、如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F,连接AF,求∠AFC的度数。 ★★★变式2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N。求 证：CM=2BM. ★★★变式3、以线段AB为底边的所有等腰三角形中，它们另一个顶点的位置有什么共同特征
★★变式4、已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。 ★★例3、如右图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF. 求证：OP垂直平分EF. ★★★例4、已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD. 求证：D在∠BAC的平分线上. ★★★变式5、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
★★★变式6、已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，AC=24，求BD 的长。 当堂检测 一：填空选择 1.如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10 cm，则BD=__________cm；若PA=10 cm，则PB=__________cm；此时，PD=__________cm. 2.已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上. 3..如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在______上. 第1题第3题 4.如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，
D A B C 角平分线专题 1、 轴对称性: 内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。 思路和方法:边角等 造全等,也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图, 2、 角平分线的性质定理：注意两点(1)距离相等 （2）一对全等三角形 3、 定义：带来角相等。 4、 补充性质：如图，在△AB Ｃ中,AD 平分∠BAC ，则有ＡB:ＡC=BD:DC 针对性例题: 例题1：如图，AB=2ＡC ,∠ＢＡＤ＝∠ＤAC ，DA ＝ＤB 求证：DC ⊥AC
B 例题2：如图,在△ＡB Ｃ中，∠Ａ等于60°,BE 平分∠ＡBC,C Ｄ平分∠ACB 求证:ＤH=E Ｈ 例题3:如图1，B Ｃ>A Ｂ,BD 平分∠A ＢC,且∠A+∠Ｃ=18０0， 求证:AD=D Ｃ．: 思路一:利用“角平分线的对称性”来构造 因为角是轴对称图形,角平分线是其对称轴，因此,题中若有 角平分线,一般可以利用其对称性来构成全等三角形. 证法1:如图１，在ＢC 上取B Ｅ=ＡB,连结DE ，∵BD 平分 ∠A ＢＣ，∴∠A ＢＤ=∠D ＢE ，又BD=BD,∴△ABD ≌△EBD （S ＡＳ), ∴∠A ＝∠DB Ｅ,ＡＤ＝D Ｅ,又∠A+∠C=1８00，∠D ＥＢ+∠DE Ｃ=1８０0,∴∠Ｃ=∠D ＥC,D Ｅ=ＤC ， 则AD ＝DC ． 证法2：如图2，过A 作BD 的垂线分别交BC 、B Ｄ于E 、F ， 连结DE,由BD 平分∠ABC ，易得△ABF ≌△ＥBF,则ＡB=B Ｅ, ＢD 平分∠A ＢC,BD ＝ＢD ，∴△ＡBD ≌△E ＢＤ(SA Ｓ）, ∴AD ＝ED ，∠ＢAD ＝∠DEB,又∠BA Ｄ+∠Ｃ=1８０0, ∠BED+∠CE Ｄ=180０ ,∴∠C=∠DEC ，则ＤE=DC,∴AD=DC ． 说明:证法１,2，都可以看作将△ＡB Ｄ沿角平分线BD 折向B Ｃ而构成 全等三角形的． 证法3:如图３，延长BA 至E ，使BE=B Ｃ，连结D Ｅ, ∵BD 平分∠A ＢＣ，∴∠CBD ＝∠DBE ，又BD=BD ，∴△CB Ｄ≌△EBD （SAS)， ∴∠C=∠E ，ＣD=ＤＥ，又∠BA Ｄ+∠C=１８00,∠DA Ｂ+∠D ＡＥ=１800, ∴∠E=∠D ＡＥ，DE ＝ＤA ，则AD=ＤC ． 说明：证法3是△CBD 沿角平分线B Ｄ折向B Ａ而构成全等三角形的． B A C D E 图1 B A C D E F 图2 B A C D E 图3
《线段的垂直平分线的性质与判定》案例 教学目标： 1、掌握线段垂直平分线的性质和判定。 2、理解线段垂直平分线的性质的推导过程。 3、培养学生逆向思维能力和严谨的学习品质。 重点与难点： 重点：线段垂直平分线的性质与判定。 难点：理解线段垂直平分线的性质的推导过程。 教学过程： ＜一＞创设情境 线段AB的垂直平分线与线段AB的对称轴有什么关系？ ＜二＞探究新知 1.直线l是线段AB的垂直平分线，P是l上一点，试观察PA.PB的长度有什么关系？ 2.不论P点在直线l上怎样移动，上述结论还成立吗？你能说一说理由吗？ -1-
说明：1、因为l是线段AB的直平分线，从而点A与点B关于直线l对称，于是沿l折叠时A与B重合，又P对称在对称轴l上，所以PA=PB. 2、在探究新知问题2的过程要培养学生用运动的、变化观点来分析事物，让P 点在L上移动，在这个过程中采用让学生量一量，测一测，运用由“特殊”到“一般”的思维方法来实现这一教学目标。 3、通过上述分析，你能得出什么结论？ 由此得出：线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的端点的距离相等。 阅读与分析 反过来，和两点A，B的距离相等的点是否在线段的直平分线上？ 设P点和A，B两点的距离相等，作∠APB的平分线PC（由折叠得到）。在关于直线PC的轴反射下，射线PB与PA重合，又由于PA＝PB。因此B点与A重合。从而A，B两点关于直线PC对称，因此PC是线段AB的垂直平分线。 （1）你能根据上述短文画出几何图形？ （2）通过上述的阅读与分析你得到什么结论？ 由此得出：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 <三>应用新知 -2-
证明线段的垂直平分线的性质的逆定理 线段的垂直平分线 一、学生知识状况分析 学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。 二、教学任务分析 本节课的教学目标是： 1．知识目标： ①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理． ②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2．能力目标： ①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． ②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． ③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 3．情感与价值观要求
①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．4．教学重点、难点 重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探究新课；第三环节：想一想；第四环节：做一做；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。 第一环节：创设情境，引入新课 教师用多媒体演示： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用． 在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点
1 / 2 垂直平分线的性质·练习 1、如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 2、如图，在Rt ABC △中，90ACB D E ∠=o ，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，．下列结论中不一定正确的是 （ ） A ．ED BC ∥ B ．ED AC ⊥ C ．ACE BCE ∠=∠ D ．A E CE = 3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于 （ ） A.37.5° B.67.5° C.37.5°或67.5° D.无法确定 4、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。 4题 5题 5、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，DE 是AB 的垂直平分线， 垂足为D ，交BC 于E ，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ 。 6、在△ABC 中，∠C ＝90°，用直尺和圆规在AC 上作点P ，使P 到A 、B 的距离相等（保留作图痕迹，不写作法和证明）． 7、如右图，在△ABC 中，AB=AC ， BC=12，∠BAC =120°，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ， AC 的垂直平分线交BC 边于点N 。 (1) 求△AEN 的周长。 (2) 求∠EAN 的度数。 (3) 判断△AEN 的形状。 8、如图，已知AOB ∠和AOB ∠内两点M 、N 画一点P 使它到AOB ∠的两边距离相等，且到点M 和N 的距离相等。 A B C D E M N
备战中考数学专题练习（2019人教版）-线段的垂直平分线（含解析） 一、单选题 1.如下图，CD是AB的垂直平分线，AC＝1. 6cm，BD＝ 2.3cm，则四边形ACBD的周长为( ) A. 3.9cm B. 8.8cm C. 7.8cm D. 无法计算 2.如图，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（ ） A. 20° B. 30° C. 35° D. 40° 3.与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（） A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三边的垂直平分线的交点 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，若 AD=3，则AC等于（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 5.到三角形三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三角形三条角平分线的交点 B. 三角形的三条中线的交点 C. 三角形三边垂直平分线的交点 D. 三角形三条高线的交点 6.如图，已知△ABC，AB=10，BC边的垂直平分线交AB、BC于点E、D，AC=6，则△ACE的周长是（ ）
A. 13 B. 16 C. 11 D. 无法确定 7.如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若AB=10厘米，AC=9厘米，BC=8厘米，则△EBC的周长等于（ ） A. 17厘米 B. 18厘米 C. 19厘米 D. 13.5厘米 8.如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则∠EBC的度数是（ ） A. 30° B. 40° C. 70° D. 80° 9.如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，则下列结论错误的是（）