§7.1不等关系与不等式
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a ,b 之间,有且只有a >b ,a =b ,a
b
>1,则a >b .( × )
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( × ) (4)a >b >0,c >d >0?a d >b
c .( √ )
(5)若ab >0,则a >b ?1a <1
b .( √ )
题组二 教材改编
2.若0 2,2ab ,a 2+b 2从小到大排列为________________. 答案 a <2ab <1 2 解析 ∵0 2 1且2a <1, ∴a <2b ·a =2a (1-a )=-2a 2+2a =-2????a -122+12<12. 即a <2ab <1 2 , 又a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab >1-12=1 2 , 即a 2+b 2>1 2 , a 2+ b 2-b =(1-b )2+b 2-b =(2b -1)(b -1), 又2b -1>0,b -1<0,∴a 2+b 2-b <0, ∴a 2+b 2 综上,a <2ab <1 2 题组三 易错自纠 4.若a >b >0,c 解析 ∵c . 5.若-π2<α<β<π 2,则α-β的取值范围是__________. 答案 (-π,0) 解析 由-π2<α<π2,-π2<-β<π 2,α<β, 得-π<α-β<0. 题型一 比较两个数(式)的大小 1.已知实数a ,b ,c 满足b +c =6-4a +3a 2,c -b =4-4a +a 2,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .c ≥b >a B .a >c ≥b C .c >b >a D .a >c >b 答案 A 解析 ∵c -b =4-4a +a 2=(a -2)2≥0,∴c ≥b . 又b +c =6-4a +3a 2,∴2b =2+2a 2,∴b =a 2+1, ∴b -a =a 2-a +1=????a -122+3 4>0, ∴b >a ,∴c ≥b >a . 2.若a =ln 33,b =ln 44,c =ln 5 5,则( ) A .a B .c C .c D .b 解析 方法一 易知a ,b ,c 都是正数, b a =3ln 4 4ln 3=log 8164<1, 所以a >b ; b c =5ln 44ln 5 =log 6251 024>1, 所以b >c .即c 方法二 对于函数y =f (x )=ln x x ,y ′=1-ln x x 2, 易知当x >e 时,函数f (x )单调递减. 因为e<3<4<5,所以f (3)>f (4)>f (5), 即c 思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法 一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差. (2)作商法 一般步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④结论. (3)函数的单调性法:将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数的单调性得出大小关系. 题型二 不等式的性质 典例 (1)已知a ,b ,c 满足c ac B .c (b -a )<0 C .cb 2 解析 由c 0. 由b >c ,得ab >ac 一定成立. (2)设a >b >1,c <0,给出下列三个结论:①c a >c b ;②a c log a (b -c ). 其中所有正确结论的序号是( ) A .① B .①② C .②③ D .①②③ 答案 D 解析 由不等式性质及a >b >1,知1a <1 b , 又c <0,∴c a >c b ,①正确; 构造函数y =x c , ∵c <0,∴y =x c 在(0,+∞)上是单调递减的, 又a >b >1,∴a c b >1,c <0,∴a -c >b -c >1, ∴log b (a -c )>log a (a -c )>log a (b -c ),③正确. 思维升华 解决此类问题常用两种方法:一是直接使用不等式的性质逐个验证;二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件. 跟踪训练 若1a <1b <0,给出下列不等式:①1a +b <1ab ;②|a |+b >0;③a -1a >b -1b ;④ln a 2>ln b 2. 其中正确的不等式是( ) A .①④ B .②③ C .①③ D .②④ 答案 C 解析 方法一 因为1a <1 b <0,故可取a =-1,b =-2. 显然|a |+b =1-2=-1<0,所以②错误; 因为ln a 2=ln(-1)2=0,ln b 2=ln(-2)2=ln 4>0, 所以④错误. 综上所述,可排除A ,B ,D. 方法二 由1a <1 b <0,可知b ①中,因为a +b <0,ab >0,所以1a +b <0,1 ab >0. 故有1a +b <1 ab ,即①正确; ②中,因为b -a >0.故-b >|a |, 即|a |+b <0,故②错误; ③中,因为b -1 b >0, 所以a -1a >b -1 b ,故③正确; ④中,因为b a 2>0,而y =ln x 在定义域(0,+∞)上为增函数,所以ln b 2>ln a 2,故④错误.由以上分析,知①③正确. 题型三 不等式性质的应用 命题点1 应用性质判断不等式是否成立 典例 已知a >b >0,给出下列四个不等式:①a 2>b 2;②2a >2b - 1;③a -b >a -b ; ④a 3+b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( ) A .①②③ B .①②④ C .①③④ D .②③④ 答案 A 解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2,①成立; 由a >b >0可得a >b -1,而函数f (x )=2x 在R 上是增函数, ∴f (a )>f (b -1),即2a >2b - 1,②成立; ∵a >b >0,∴a >b , ∴(a -b )2-(a -b )2=2ab -2b =2b (a -b )>0, ∴a -b >a -b ,③成立; 若a =3,b =2,则a 3+b 3=35,2a 2b =36, a 3+b 3<2a 2b ,④不成立. 故选A. 方法二 令a =3,b =2, 可以得到①a 2>b 2,②2a >2b -1,③a -b >a -b 均成立,而④a 3+b 3>2a 2b 不成立,故选A. 命题点2 求代数式的取值范围 典例 已知-1 解析 ∵-1 由-1 思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法 ①判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明. ②在判断一个关于不等式的命题的真假时,可结合不等式的性质,对数函数、指数函数的性质进行判断. (2)求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围,是避免错误的有效途径. 跟踪训练 (1)若a 1b B .a 2 答案 C 解析 (特值法)取a =-2,b =-1,逐个检验,可知A ,B ,D 项均不正确; C 项,|b ||a |<|b |+1 |a |+1 ?|b |(|a |+1)<|a |(|b |+1)?|a ||b |+|b |<|a ||b |+|a |?|b |<|a |, ∵a (2)已知-1 解析 ∵-1 利用不等式变形求范围 典例 设f (x )=ax 2+bx ,若1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,则f (-2)的取值范围是________. 错解展示: 由????? 1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4, 得? ???? 1≤a -b ≤2,①2≤a +b ≤4. ② ①+②得32≤a ≤3,②-①得1 2≤b ≤1. 由此得4≤f (-2)=4a -2b ≤11. 所以f (-2)的取值范围是[4,11]. 错误答案 [4,11] 现场纠错 解析 方法一 设f (-2)=mf (-1)+nf (1)(m ,n 为待定系数),则4a -2b =m (a -b )+n (a +b ), 即4a -2b =(m +n )a +(n -m )b . 于是得????? m +n =4,n -m =-2,解得????? m =3,n =1. ∴f (-2)=3f (-1)+f (1). 又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (-1)+f (1)≤10, 故5≤f (-2)≤10. 方法二 由? ???? f (-1)=a -b ,f (1)=a +b , 得??? a =1 2[f (-1)+f (1)], b =1 2[f (1)-f (-1)], ∴f (-2)=4a -2b =3f (-1)+f (1). 又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4, ∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,故5≤f (-2)≤10. 方法三 由? ???? 1≤a -b ≤2,2≤a +b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示, 当f (-2)=4a -2b 过点A ???? 32,12时, 取得最小值4×32-2×1 2=5, 当f (-2)=4a -2b 过点B (3,1)时, 取得最大值4×3-2×1=10, ∴5≤f (-2)≤10. 答案 [5,10] 纠错心得在求式子的范围时,如果多次使用不等式的可加性,式子中的等号不能同时取到,会导致范围扩大. 1.(2018·济宁模拟)若a<0,ay>0,且x+y>0,则x与y之间的不等关系是() A.x=y B.x>y C.x 答案B 解析由a<0,ay>0,可知y<0,又由x+y>0, 可知x>0,所以x>y. 2.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x),g(x)的大小关系是() A.f(x)=g(x) B.f(x)>g(x) C.f(x) 答案B 解析f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0, 则f(x)>g(x). 3.若a ,b ∈R ,且a +|b |<0,则下列不等式中正确的是( ) A .a -b >0 B .a 3+b 3>0 C .a 2-b 2<0 D .a +b <0 答案 D 解析 由a +|b |<0知,a <0,且|a |>|b |, 当b ≥0时,a +b <0成立, 当b <0时,a +b <0成立,∴a +b <0成立.故选D. 4.(2018·乐山调研)若6 2≤b ≤2a ,c =a +b ,那么c 的取值范围是( ) A .9≤c ≤18 B .15 C .9≤c ≤30 D .9 解析 ∵c =a +b ≤3a 且c =a +b ≥3a 2, ∴9<3a 2 ≤a +b ≤3a <30. 5.设α∈????0,π2,β∈????0,π2,那么2α-β 3的取值范围是( ) A.????0,5π6 B.????-π6,5π6 C .(0,π) D.????-π 6,π 答案 D 解析 由题设得0<2α<π,0≤β3≤π6, ∴-π6≤-β3≤0,∴-π6<2α-β3 <π. 6.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m 2)分别为x ,y ,z ,且x <y <z ,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m 2)分别为a ,b ,c ,且a <b <c .在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( ) A .ax +by +cz B .az +by +cx C .ay +bz +cx D .ay +bx +cz 答案 B 解析 令x =1,y =2,z =3,a =1,b =2,c =3. A 项:ax +by +cz =1+4+9=14; B 项:az +by +cx =3+4+3=10; C 项:ay +bz +cx =2+6+3=11; D 项:ay +bx +cz =2+2+9=13.故选B. 7.(2018·济南调研)若a >b >0,则下列不等式中一定成立的是( ) A .a +1b >b +1a B.b a >b +1a +1 C .a -1b >b -1a D.2a +b a +2b >a b 答案 A 解析 取a =2,b =1,排除B 与D ;另外,函数f (x )=x -1 x 是(0,+∞)上的增函数,但函数 g (x )=x +1 x 在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以,当a >b >0时,f (a )>f (b )必定成 立,即a -1a >b -1b ?a +1b >b +1 a ,但g (a )>g (b )未必成立,故选A. 8.已知a 1≤a 2,b 1≥b 2,则a 1b 1+a 2b 2与a 1b 2+a 2b 1的大小关系是__________________. 答案 a 1b 1+a 2b 2≤a 1b 2+a 2b 1 解析 a 1b 1+a 2b 2-(a 1b 2+a 2b 1)=(a 1-a 2)(b 1-b 2),因为a 1≤a 2,b 1≥b 2,所以a 1-a 2≤0,b 1-b 2≥0,于是(a 1-a 2)(b 1-b 2)≤0,故a 1b 1+a 2b 2≤a 1b 2+a 2b 1. 9.已知a ,b ,c ,d 均为实数,有下列命题:①若ab >0,bc -ad >0,则c a -d b >0; ②若ab >0,c a -d b >0,则bc -ad >0;③若bc -ad >0,c a -d b >0,则ab >0. 其中正确的命题是________.(填序号) 答案 ①②③ 解析 ∵ab >0,bc -ad >0, ∴c a -d b =bc -ad ab >0,∴①正确; ∵ab >0,又c a -d b >0,即b c -a d ab >0, ∴bc -ad >0,∴②正确; ∵bc -ad >0,又c a -d b >0,即b c -a d ab >0, ∴ab >0,∴③正确.故①②③都正确. 10.(2018·青岛调研)设a >b >c >0,x =a 2+(b +c )2,y =b 2+(c +a )2,z =c 2+(a +b )2,则x ,y ,z 的大小关系是________.(用“>”连接) 答案 z >y >x 解析 方法一 y 2-x 2=2c (a -b )>0,∴y >x . 同理,z >y ,∴z >y >x . 方法二 令a =3,b =2,c =1,则x =18,y =20, z =26,故z >y >x . 11.已知-1 ?-32,23 2 解析 设3x +2y =m (x +y )+n (x -y ), 则? ???? m +n =3,m -n =2,∴??? m =52 , n =12. 即3x +2y =52(x +y )+1 2(x -y ), 又∵-1 2, ∴-32<52(x +y )+12(x -y )<232, 即-32<3x +2y <232 , ∴3x +2y 的取值范围为??? ?-32,23 2. 12.设实数x ,y 满足0 解析 由题意得????? xy >0,x +y >0,则????? x >0, y >0, 由2x +2y -4-xy =(x -2)·(2-y )<0, 得????? x >2, y >2或????? 0 又xy <4,可得? ???? 0 13.若x >y ,a >b ,则在①a -x >b -y ;②a +x >b +y ;③ax >by ;④x -b >y -a ;⑤a y >b x 这五个 式子中,恒成立的不等式的序号是________. 答案 ②④ 解析 令x =-2,y =-3,a =3,b =2. 符合题设条件x >y ,a >b . ∵a -x =3-(-2)=5,b -y =2-(-3)=5. ∴a -x =b -y ,因此①不成立. ∵ax =-6,by =-6,∴ax =by ,因此③不成立. ∵a y =3-3=-1,b x =2 -2=-1, ∴a y =b x ,因此⑤不成立. 由不等式的性质可推出②④成立. 14.(2018·江门模拟)设a ,b ∈R ,定义运算“?”和“ ”如下:a ?b =? ???? a ,a ≤ b , b ,a >b ,a b = ? ???? b ,a ≤b ,a ,a >b .若m ?n ≥2,p q ≤2,则( ) A .mn ≥4且p +q ≤4 B .m +n ≥4且pq ≤4 C .mn ≤4且p +q ≥4 D .m +n ≤4且pq ≤4 答案 A 解析 结合定义及m ?n ≥2可得????? m ≥2,m ≤n 或????? n ≥2, m >n , 即n ≥m ≥2或m >n ≥2,所以mn ≥4;结合定义及p q ≤2,可得????? p ≤2, p >q 或????? q ≤2,p ≤q , 即q 15.(2017·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,且满足b +c ≤3a ,则c a 的取值范 围为( ) A .(1,+∞) B .(0,2) C .(1,3) D .(0,3) 答案 B 解析 由已知及三角形三边关系得???? ? a < b + c ≤3a ,a +b >c , a +c > b , ∴????? 1 a ≤3,1+b a >c a , 1+c a >b a ,∴??? 1 a ≤3,-1 a <1, 两式相加,得0<2×c a <4, ∴c a 的取值范围为(0,2). 16.(2018·天一测试)已知实数a ∈(1,3),b ∈? ?? ?? 18,14,则a b 的取值范围是________. 解析:依题意可得4<1b <8,又1 b <24. 17.已知00 B.2a -b <12 C.log 2a +log 2b <-2 D.2a b +b a <1 2 解析 由题意知0 2<2a -b <1,B 错误;因为02 a b ·b a =2,所以2a b +b a >22=4,D 错误;由a +b =1>2ab ,得ab <14, 因此log 2a +log 2b =log 2(ab ) 4=-2,C 正确. 答案 C 18.(2019·保定调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足:当x ≥0时,f (x )=x 3,若 不等式f (-4t )>f (2m +mt 2)对任意实数t 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A.(-∞,-2) B.(-2,0) C.(-∞,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 解析 因为f (x )在R 上为奇函数,且在[0,+∞)上为增函数,所以f (x )在R 上是增函数,结合题意得-4t >2m +mt 2对任意实数t 恒成立?mt 2+4t +2m <0对任意实数t 恒成立????m <0,Δ=16-8m 2 <0?m ∈(-∞,-2). 答案 A 19.(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时,f (x )=e x .若对任意x ∈[a ,a +1],恒有f (x +a )≥f (2x )成立,求实数a 的取值范围. 解析: 因为函数f (x )是偶函数, 故函数图象关于y 轴对称,且在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. 所以由f (x +a )≥f (2x )可得|x +a |≥2|x |在[a ,a +1]上恒成立, 从而(x +a )2≥4x 2在[a ,a +1]上恒成立, 化简得3x 2-2ax -a 2≤0在[a ,a +1]上恒成立, 设h (x )=3x 2-2ax -a 2, 则有???h (a )=0≤0,h (a +1)=4a +3≤0,解得a ≤-3 4. 故实数a 的取值范围是? ? ? ??-∞,-34. 课题: §3.1不等式与不等关系 第2课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:掌握不等式的基本性质,会用不等式的性质证明简单的不等式;2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情态与价值:通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【教学重点】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式; 【教学难点】 利用不等式的性质证明简单的不等式。 【教学过程】 1.课题导入 在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方向不改变; >?±>± 即若a b a c b c (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不改变; 即若,0 a b c ac bc >>?> (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变。 即若,0 a b c ac bc >< 2.讲授新课 1、不等式的基本性质: 师:同学们能证明以上的不等式的基本性质吗? 证明: 1)∵(a+c)-(b+c) =a-b>0, ∴a +c >b +c 2)()()0a c b c a b +-+=->Q , ∴a c b c +>+. 实际上,我们还有,a b b c a c >>?>,(证明:∵a >b ,b >c , ∴a -b >0,b -c >0. 根据两个正数的和仍是正数,得 (a -b)+(b -c)>0, 即a -c >0, ∴a >c . 于是,我们就得到了不等式的基本性质: (1),a b b c a c >>?> (2)a b a c b c >?+>+ (3),0a b c ac bc >>?> (4),0a b c ac bc >< 2、探索研究 思考,利用上述不等式的性质,证明不等式的下列性质: (1),a b c d a c b d >>?+>+; (2)0,0a b c d ac bd >>>>?>; (3)0,,1n n a b n N n a b >>∈>?>> 证明: 1)∵a >b , ∴a +c >b +c . ① ∵c >d , ∴b +c >b +d . ② 由①、②得 a +c >b +d . 2)bd ac bd bc b d c bc ac c b a >?? ??>?>>>?>>0,0, 不等关系与基本不等式同步练习题(一) (时间:120分钟 满分:150分) A.基础卷 一、选择题(5×8=40分) 1.函数)2(2 1 >-+ =x x x y 的最小值为( ) A. 2 B . 3 C . 4 D .23 2.不等式0)31(>-x x 的解集是( ) A .)31,(-∞ B . )31,0()0,( -∞ C . ),31(+∞ D .)3 1,0( 3.已知,R b a ∈、且0>ab ,则下列不等式不正确的是( ) A .b a b a ->+ B .b a b a +<+ C .b a ab +≤2 D . 2≥+b a a b 4.已知无穷数列{}n a 是各项均为正数的等差数列,则有( ) A. 8 6 64a a a a ≤ B. 8664a a a a < C.8664a a a a > D.8664a a a a ≥ 5.已知01,0<<-> B.a ab ab >>2 C.2 ab a ab >> D.a ab ab >>2 6.已知,1117,32-≤<-<≤-y x 则1 2 -y x 的取值范围是( ) A.??? ??-- 92,43 B.??? ??-0,43 C.??? ??-0,21 D.??? ??-0,43 7.若 ,11 <++b a a b 则b a 与中必( ) A.一个大于1,一个小于1 B.两个都大于1 C.两个都小于1 D.两个的积小于1 8.已知,,d c b a >>则( ) A. d b c a ->- B. c b d a > C.a d b c ->- D.bd ac > 第三章不等式 必修5 3.1 不等关系与不等式 一、教学目标 1.通过具体问题情境,让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系; 2.通过了解一些不等式(组)产生的实际背景的前提下,学习不等式的相关内容; 3.理解比较两个实数(代数式)大小的数学思维过程. 二、教学重点: 用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题.理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值. 三、教学难点: 使用不等式(组)正确表示出不等关系. 四、教学过程: (一)导入课题 现实世界和生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系我们知道,两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,等等.人们还经常用长与短,高与矮,轻与重,大与小,不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系. 在数学中,我们用不等式来表示这样的不等关系. 提问: 1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系?(大于、等于、小于). 2.现实生活中,人们是如何描述“不等关系”的呢?(用不等式描述) 引入知识点: 1.不等式的定义:用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式. 2.不等式a b ≥的含义. 不等式a b ≥应读作“a 大于或者等于b ”,其含义是指“或者a >b ,或者a =b ”,等价于“a 不小于b ,即若a >b 或a =b 之中有一个正确,则a b ≥正确. 3.实数比较大小的依据与方法. (1)如果a b -是正数,那么a b >;如果a b -等于零,那么a b =;如果a b -是负数,那么a b <.反之也成立,就是(a b ->0?a >b ;a b -=0?a =b ;a b -<0?a §3.1不等式与不等关系 【教学目标】 1.知识与技能:通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情态与价值:通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式(组)正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1)用不等式表示不等关系 引例1:限速40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40km/h ,写成不等式就是: 40v ≤ 引例2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1:设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点,则||d AB ≤。 问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元,销售 不等关系与不等式 【学习目标】 1.了解不等式(组)的实际背景. 2.掌握比较两个实数大小的方法. 3.掌握不等式的八条性质. 【学法指导】 1.不等关系广泛存在于现实生活中,应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言” 转化成“数学语言”,是用不等式知识解决实际问题的第一步.只需根据题意建立相应模型,把模型中的量具体化即可. 2.作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一,可简单概括为“三步一结论”,其中关键步骤“变形”要彻底,当不能“定号”时注意分类讨论. 3.不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据,应用时每步都要做到等价变形. 一、知识温故 a-b>0?; a-b=0?; a-b<0?. 3.常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性); (2)a>b,b>c?a c(传递性); (3)a>b?a+c b+c(可加性); (4)a>b,c>0?ac bc;a>b,c<0?ac bc; (5)a>b,c>d?a+c b+d; (6)a>b>0,c>d>0?ac bd; (7)a>b>0,n∈N,n≥2?a n b n; (8)a>b>0,n∈N,n≥2?n b. 二、经典范例 问题探究一实数比较大小 问题1(实数比较大小的依据) 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b,右边的点表示的数比左 边的点表示的数大,从实数减法在数轴上的表示可以看出a,b之间具有以下性质: 如果a-b是正数,那么; 如果a-b是负数,那么; 如果a-b等于零,那么. 以上结论反过来也成立,即a-b>0?a>b;a-b<0?a<b;a-b=0?a=b. 问题2(作差法比较实数的大小) 向一杯a克糖水中加入m克糖,糖水变得更甜了.你能把这一现象用一个不等式表示出来吗?并证明你的结论. 问题探究二不等式的基本性质 问题3在实数大小比较的基础上,可以给出不等式八条基本性质的严格证明.证明时,可以利用前面的性质推证后续的性质. 请同学们借助前面的性质证明性质6: 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. §7.1不等关系与不等式 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a ,b 之间,有且只有a >b ,a =b ,a 1,则a >b .( × ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( × ) (4)a >b >0,c >d >0?a d >b c .( √ ) (5)若ab >0,则a >b ?1a <1 b .( √ ) 题组二 教材改编 2.若01且2a <1, ∴a <2b ·a =2a (1-a )=-2a 2+2a =-2????a -122+12<12. 即a <2ab <1 2 , 又a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab >1-12=1 2 , 即a 2+b 2>1 2 , a 2+ b 2-b =(1-b )2+b 2-b =(2b -1)(b -1), 又2b -1>0,b -1<0,∴a 2+b 2-b <0, ∴a 2+b 2b >0,c 高一数学必修5不等式与不等关系主要知识点 1.不等关系 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一:a>b;a-?>b a b a ;0<-?, a b b a >?< (2)传递性:,a b b c >>?,a c > (3)可加性:a b >?. a c b c +>+ 移项法则:a b c a c b +>?>- 推论:同向不等式可加. ,a b c d >>? a c b d +>+ (4)可乘性:bc ac c b a >?>>0,,,0a b c >>>>?ac bd > 推论2:可乘方(正):0a b >>? n n a b >` (,2)n N n *∈≥ (5) 可开方(正):0a b >>? >(,2)n N n *∈≥ 2. 一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2 之间的关系: 3.一元二次不等式恒成立情况小结: 2 0ax bx c ++>(0a ≠)恒成立?00a >???. 20ax bx c ++<(0a ≠)恒成立?00 a ??. 4. 一般地,直线y kx b =+把平面分成两个区域(如图): y kx b >+表示直线上方的平面区域;y kx b <+表示直线下方的平面区域. 说明:(1)y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域; y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域. (2)对于不含边界的区域,要将边界画成虚线. 5.基本不等式: (1).如果R b a ∈,,那么ab b a 22 2≥+. (2). ≤2 a b +(0,0)a b >>. (当且仅当b a =时取“=”) 不等关系与不等式(第一课时) 一、教学任务分析 1、感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境,使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、利用不等式(组)表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境,让学生学习如何利用不等式(组)研究及表示不等关系,进一步理解不等式(组)刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题,理解不等式(组)刻画不等关系的意义和价值。 难点:用不等式(组)正确表示出不等关系。 三、教学基本流程 四、教学情景设计 1、引入:章头图及古诗《题西林壁》引入,介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系,它们在现实世界和日常生活中大量存在,在数学研究和数学应用中也起着重要的作用,也正是实际问题的需要我们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图:使学生体会不等关系的普遍存在,了解学习不等式的意义。 2、创设情境,让学生感受生活中的不等关系。 师:多媒体出示情景:(1)交通标志(限速、限高、限宽);(2)商家打折海报(一折起、低至几折);(3)产品含量指标。问:表示什么含义?怎么表示其中的不等关系? 生:分析各种不等关系,口答并尝试用不等式(组)表示。 师:引导学生准确表述,给出不等式定义,板书学生口答的各问题中不等式(组)。 设计意图:进一步让学生感受生活中的不等关系,知道用不等式(组)表示这种不等关系。 3、知识探究一:具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师:多媒体出示问题1(销售收入问题)、2(实际安排生产问题)。 学生:独立思考后,与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示,小组代表板书结果,并说明式子的含义。 师:点评学生结果,找有不同结果的小组讲解不同方法或补充,引导学生分析比较。 设计意图:问题方式给出,强化学生的问题意识,使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究,使学生交流对于问题的认识。展示不同结果,使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决,是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望,体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二:比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生:结合学案上知识探究二中所填结果,与同组学生交流结论。 师:提问引导学生表述:要比较两数或代数式大小,可以让两数或两式相减,比较结果和0的大小。若结果大于0,则前者大于后者;若……。 设计意图:让学生分析作差法具体做法,明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习:作差法比较代数式的大小。 生:可独立完成,也可与同组同学交流,在规定时间完成。 师:巡视,指导学生疑难处,找完成好的两生板演结果,并让板演学生讲解。点评学生思路,进一步总结作差法中变形结果的形式: 不等式与不等关系 考纲要求 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 考情分析 1.从高考内容上来看,不等关系、不等式的性质及应用 是命题的热点. 2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用,有时与充要性的判断交汇命题,体现了化归转化思想,难度中、 低档. 3.考查题型多为选择、填空题. 教学过程 基础梳理 一、实数大小顺序与运算性质之间的关系 a - b >0? ;a -b =0? ; a -b <0? . 二、不等式的基本性质 1.对称性a >b ? 2.传递性a >b ,b >c ? 3.可加性a >b ? 4.可乘性 a >b c >0? , ? ?? a > b c <0? 5.同向可加性 ? ?? a > b c > d ? 6.同向同正可乘性 ? ?? a > b >0 c > d >0? 7.可乘方性a >b >0? (n ∈N ,n ≥2) 8.可开方性a >b >0? (n ∈N ,n ≥2) 两条常用性质 ① a >b ,ab >0?1a <1 b ② 若a >b >0,m >0,则b a <b +m a +m ; 双基自测 1.若x +y >0,a <0,ay >0,x -y 的值为 ( ) A .大于0 B .等于0 C .小于0 D .不确定 2.(教材习题改编)已知a ,b ,c 满足c ac B .c (b -a )<0 C .cb 2 a 6 B. C. D. 6.已知 - 2 ≤ x < 3,-17 < y ≤ -11, 则 的取值范围是( ) A. -? 3 2 ? ? 3 ? ? 1 ? ?3,- ? B. - ,0 C. - ,0 D. - ,0 ? ??A. a - c > b - d B. a 不等关系与基本不等式同步练习题(一) (时间:120 分钟 满分:150 分) A.基础卷 一、选择题(5×8=40 分) 1.函数 y = x + 1 ( x > 2) 的最小值为( x - 2 ) A. 2 B . 3 C . 4 D . 3 2 2.不等式 x (1 - 3x) > 0 的解集是( ) 1 1 1 1 A . (-∞, ) B . (-∞,0) (0, ) C . ( ,+∞) D . (0, ) 3 3 3 3 3.已知 a 、b ∈ R, 且 ab > 0 ,则下列不等式不正确的是( ) A . a + b > a - b B . a + b < a + b C . 2 ab ≤ a + b D . b a + ≥ 2 a b 4.已知无穷数列 { n }是各项均为正数的等差数列,则有( ) A. a 4 ≤ a 6 a a 5.已知 a < 0,-1 < b < 0 ,则 a, ab, ab 2 的大小关系是( ) A. a > ab > ab 2 B. ab 2 > ab > a C. ab > a > ab 2 D. ab > ab 2 > a x 2 y - 1 ? ? 4 9 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 4 ? 7.若 ab + 1 a + b < 1, 则 a 与 b 中必( ) A.一个大于1,一个小于1 B.两个都大于1 C.两个都小于1 D.两个的积小于1 8.已知 a > b , c > d , 则( ) b > C. c - b > d - a D. ac > bd d c 第一课时:不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40 km /h ,用不等式如何表示? 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系: (1)a 大于b a >b (2)a 小于ba b ?a -b >0;a =b ?a -b =0; a b ?b b ,b >c ?a >c (传递性); 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式 (3)a >b ?a +c >b +c (可加性); (4)a >b ,c >0?ac >bc ;a >b ,c <0?ac 第二章数列 第三章不等式 不等式与不等关系 第1课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情态与价值:通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式(组)正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之 间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1)用不等式表示不等关系 引例1:限速40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40km/h ,写成不等式就是: 40v ≤ 引例2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1:设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点,则||d AB ≤。 问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢? 解:设杂志社的定价为x 元,则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1 x x --? 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1 x x --?≥ 问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。按照生产的要求,600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足所 不等关系与不等式 课题:不等关系与不等式(二) 课型:新授课 1.知识与技能 (1)使学生掌握常用不等式的基本性质; (2)会将一些基本性质结合起来应用. (3)学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系; 教学目标 2.过程与方法 以问题方式代替例题,学习如何利用不等式研究及表示不等式,利用不等 式的有关基本性质研究不等关系; 3.情感、态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度,注重问题情 境、实际背景的的设置,通过学生对问题的探究思考,广泛参与,改变学 生学习方式,提高学习质量。 教学重点理解不等式的性质及其证明 教学难点利用不等式的基本性质证明不等式 批注教学过程: 一、复习提问 1.比较两实数大小的理论依据是什么? 2.“作差法”比较两实数的大小的一般步骤. 3.初中我们学过的不等式的基本性质是什么? 基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的 方向不变. 基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 其数学含义: (1)若a>b,则a+c>b+c,a-c>b-c; (2)若a >b ,c >0,则ac >bc , c a >c b ;(3)若a >b , c <0,则ac <bc ,c a <c b ..二、新授 常用的不等式的基本性质 (1)a b b a >, (对称性) (2)c a c b b a >?>>, (传递性) (3)c b c a b a +>+?>, (可加性) (4),0a b c ac bc >>?>;,0a b c ac bc >< (可乘性) (5)bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向不等式的可乘性) (6)n n n n b a b a n N n b a >>?>∈>>,1,,0 (可乘方性、可开方性)例1:已知0,0,a b c >><求证:c c a b >例2:如果30<x <42,16<y <24,求x +y ,x -2y 及 y x 的取值范围.∵30<x <42,16<y <24 ∴-48<-2y <-32, ∴30+16<x +y <42+24 即46<x +y <66; ∴30-48<x -2y <42-32 即-18<x -2y <10; .8 2145,16 422430<<< 《不等关系与不等式》教案 【教学目标】 1.掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法,理解不等关系的传递性,能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小 2.通过对具体问题的分析,培养学生的分析归纳能力,培养学生代数变形的能力,提高学生解决实际问题的能力 3.通过问题情境,激发学生的学习动机和好奇心理,使其主动参与交流活动。通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度 【重点难点】 重点:比较实数大小的方法. 难点:1.比较实数大小方法中的代数变形; 2.比较实数大小方法的实际应用 【教学方法】体验法、合作讨论法 【教学过程】 (一)创设情境 泰山旺季门票原价为180元,现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选择以下任一种方案) 优惠方案A:买全票一张,则其余票可享受八折优惠; 优惠方案B:按团体购票,一概优惠30元. 为了使门票花费最少,请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案? 教师:5-7人,由学生先对多种情况进行讨论。 合作交流:同桌讨论合作完成下列表格(作业纸) (学生思考演算并请学生回答结果) 由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题,这就是我们这节课所要学习的1.2节比较大小(板书课题同时幻灯片出示课题)继续就上述情境提问:对于人数确定的情况,两个具体的实数我们很容易比较大小,如果人数不确定呢,又该如何比较大小? 若设人数为n,记采用方案A的费用为) f,采用方案B的费用 (n 为) n g150 (= n ) f,n g,则36 =n 144 (n ) (+ 接着我们要比较就是这两个代数式子的大小,我们该怎么办呢?(学生思考) 对于这两个式子来说,它们有以下的三种大小关系: g n n >n ? n - f g n f ) ( ) > 6 ( ? ) ) (< ( n g n =n ? g - f n n f ( ( ) = ) 6 ) (= ? ( ) g n 不等关系与不等式(第一课时) 、教学任务分析1感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境,使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、禾U用不等式(组)表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境,让学生学习如何利用不等式(组)研究及表示不等关系,进一步理解不等式(组)刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题,理解不等式(组)刻画不等关系的意义和价值。 难点:用不等式(组)正确表示出不等关系。 三、教学基本流程 四、教学情景设计 1、引入:章头图及古诗《题西林壁》引入,介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系,它们在现实世界和日常生活中大量存在,在数学研究和数学应用中也起着重要的作用,也正是实际问题的需要我 们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图:使学生体会不等关系的普遍存在,了解学习不等式的意义。 2、创设情境,让学生感受生活中的不等关系。 低至几折);(3)产品含量指标。问:表示什么含义?怎么表示其中的不等关系? 生:分析各种不等关系,口答并尝试用不等式(组)表示。 师:引导学生准确表述,给出不等式定义,板书学生口答的各问题中不等式(组)。设计意图:进一步让学生感受生活中的不等关系,知道用不等式(组)表示这种不等关 系。 3、知识探究一:具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师:多媒体出示问题1(销售收入问题)、2(实际安排生产问题)。学生:独立思考后,与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示,小组代表板书结果,并说明式子的含义。 师:点评学生结果,找有不同结果的小组讲解不同方法或补充,引导学生分析比较。设计意图:问题方式给出,强化学生的问题意识,使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究,使学生交流对于问题的认识。展示不同结果,使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决,是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望,体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二:比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生:结合学案上知识探究二中所填结果,与同组学生交流结论。师:提问引导学生表述:要比较两数或代数式大小,可以让两数或两式相减,比较结果和0的大小。若结果大于0,则前者大于后者;若。 设计意图:让学生分析作差法具体做法,明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习:作差法比较代数式的大小。 生:可独立完成,也可与同组同学交流,在规定时间完成。师:巡视,指导学生疑难处,找完成好的两生板演结果,并让板演学生讲解。点评学生 思路,进一步总结作差法中变形结果的形式:①化成非负或非正式子的和②因式相乘(除), 强调变形中配方法、因式分解的方法。并引导学生总结作差法步骤并板书。 设计意图:让学生动手练习具体题目,掌握作差法比较代数式大小的方法和步骤,特别 注意变形的结果及用到的方法。 6、课堂小结:学生反思学到了什么知识、方法? 教学设计 课题: 教师:长沟中学柴生艳 教学目标1.通过具体情境,了解不等式(组)的实际背景,借助数轴,能从“数”和“形”两方面来认识不等式,掌握比较两个代数式(实数)的大小的基本方法--作差比较法; 2.通过较典型的问题,教师引导,学生自主探究,学生与教师进行交流,分析,抽象出数学模型,激发学生学习兴趣和积极性; 3.通过具体情景,培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力,进一步体会数形结合的重要方法,学生体会到学好数学对日常生活的重要作用。 教学重点比较实数(代数式)大小的基本方法:作差比较法 教学难点判断差的符号 教学方法启发引导式 教学过程 教学步骤教师行为学生行为 设计意 图 新课引入现实世界中存在着等量关系,也存在着大量的不等关系, 例如:(1)天气预报说:今天最低温度为22℃, 最高温度为30℃,若用t表示今天气温, 那么怎么用数学表达式表示t? (2)上一章学习的等比数列中公比q什学生在纸上写出并 回答: (1)22℃≤t≤30℃ (2) q≠0 (3)a≥0 (4)根据实际情况回 通过具体 情境,了解 不等式的 概念。 么范围 (3)根号a中,a的取值范围是什么? (4)提问两同学的身高问题,让全体同 学比较其大小关系。如A>B 又如:课本P61 速度与手机话费问题,这些问题即是我们今天要研究的问题(板书 课题)——不等关系与不等式。 答 小组合作探究请学生思考并回答以下问题: 问题一:不等式的定义 (强调“≥、≤”的读法中的“或”引 出问题二) 问题二:2≥2,这样写正确吗?(“≥“的 含义是什么?) 这样写是对的,因为“>”和“=”只要 一个满足就可以了,即a≥b表示a>b或 a=b ,同样a≤b即为a<b或a=b。 问题三:实数与数轴上的点有怎样的对应 关系?右边的点表示的实数与左边的点表示 的实数谁大? 问题四:数轴上两点A、B有怎样的位置 关系?两实数有怎样的大小关系? 点的关系: 点A在点B右侧 学生思考并回 答:用不等号连接两 个解析式(以表示它 们之间的不等关系) 所得的式子,叫做不 等式. 不等号的种类: >、<、≥、≤、 ≠. 学生回答 学生回答 与数轴上的点是一 一对应的,右边的点 表示的实数比左边 的点表示的实数大 通过具体 情境,了解 不等式 (组)的实 际背景,借 助数轴,能 从“数”和 “形”两方 面来认识 不等式,掌 握比较两 个代数式 (实数)的 大小的基 本方法-- 作差比较 A a B b §3.1 不等关系与不等式(二) 命题人 申占宝 王柏青 学习目标 1.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质进行逻辑推理。 2.会用不等式的性质证明简单的不等式。 ※ 学习重点、难点: 教学重点:掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单不等式。 教学难点:利用不等式的性质证明简单的不等式。 (1),(2)(3),0(4),0a b b c a c a b a c b c a b c ac bc a b c ac bc >>?>>?+>+>>?>>< 二、新课导学 ※ 探索新知 探究:不等关系 问题:(1)如果0>>b a ,0>>d c ,试证明bd ac > 新知: 1. 性质6:如果0>>b a 且0>>d c ,那么bd ac >(相乘法则) 0>>b a ,0>>d c ?bd ac > 2.性质7 如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且 0>>b a ?n n b a > 3.性质8:如果0>>b a ,那么n n b a > )1(>∈n N n 且 0>>b a ?n n b a > ※ 知识检测 2 23322.,..,..1bc ac b a D b a b a C b a b a B b a b a A >>>>>>>>则若 则若则若则 若 ) 下列命题正确的是 ( 2.下面命题中,假命题的序号是____________ ①bd ac d c b a >>>则若,, ②n n b a N k k n b a >∈+=>*则若),(12, ③c b d a d c b a >>>>>则 若,0,0 ④n n n n b a b a n N n b a >>≥∈>且则且若,2, .2110.3x x x +<+>,求证已知 .,0,0.4c b d a d c b a >>>>>求证已知 5.火车站有某公司待运的甲种货物1530t ,乙种货物1150t 。现计划用A,B 两种型号的车厢共50节运送这批货物。已知35t 甲种货物和15t 乙种货物可装满一节A 型货厢;25t 甲种货物和35t 乙种货物可装满一节B 型货厢,据此安排A,B 两种货厢的节数,共有几种方案?若每节A 型货厢的运费是0.5万元,每节 课题: §3.1不等式与不等关系 第1课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情态与价值:通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式(组)正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1)用不等式表示不等关系 引例1:限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40km/h,写成不等式就是: v 40 引例2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1:设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点,则||d AB ≤。 问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢? 解:设杂志社的定价为x 元,则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1 x x --?万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1 x x --?≥ 问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。按照生产的要求,600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢? 解:假设截得500 mm 的钢管 x 根,截得600mm 的钢管y 根。根据题意,应有如下的不等关系: (1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm ; (2)截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示: 5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤??≥??≥??≥? 3.随堂练习 1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。 2、课本练习1、2 4.课时小结 用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。 5.评价设计《不等关系与不等式》第二课时参考教案2
不等关系与基本不等式同步练习题
高中数学必修五-不等关系与不等式-教案
必修五 3.1不等式与不等关系(第一课时)教案
不等关系与不等式经典教案
不等关系与不等式(解析版)
高二数学必修5不等式与不等关系主要知识点
不等关系与不等式-教学设计
导学案不等式与不等关系
不等关系与基本不等式同步练习题
5第五讲 不等关系与基本不等式(教师版) - 副本 - 副本
不等式与不等关系
不等关系与不等式 优秀教学设计
不等关系与不等式教学设计
不等关系与不等式——教学设计
不等关系与不等式》教学设计
不等关系与不等式(二)
《不等关系与不等式》第一课时参考教案