……… )(21-++-??? ??-p n p n b b l ε1-++-
+
上述各式相加得 )(2n p n b b l -??? ??-+εn p n a a -<+)(2n p n b b l -??? ??+<+ε. 由此便得 2
2εε+<--<-++l b b a a l n p n n p n . 所以
2
ε<
---++l b b a a n
p n n p n .
由恒等式
l b a n n -n
N N b lb a -=???? ??-+n N b b 1???
?
??---l b b a a N n N n 得
≤-l b a n
n
n N N b lb a -l b b a a N n N n ---+
由于+∞→n b (+∞→n ),01>?N ,当1N n ≥时,有
2
ε
<-n N N b lb a . 因此当},m ax {1N N n >时,
l b a n n -εε
ε=+<22.这证明了l b a n
n n =+∞→lim .
(2)若+∞=l ,则当n 充分大时,有n n n n b b a a ->-++11.由+∞→n b (+∞→n ), 可知+∞→n a (+∞→n ),且数列}{n a 严格递增.注意到0lim
11=--+++∞→n
n n
n n a a b b ,
由(1)的结论得0lim
=+∞→n n n a b .从而+∞=+∞→n
n n b a
lim .
(3)若-∞=l ,可用n a -代替n a 转化为(2)的情形.
定理1与定理2统一称为Stolz 定理.
例1 利用Stolz 定理.证明(§1例7)：设a a n n =+∞
→lim .证明2
2lim
2
21a n na a a n
n =
++++∞
→ . 证明 令n n na a a A +++= 212, 2n B n =,则}{n B 严格递增趋于∞+,由定理2,
n n n B A +∞
→lim
n n n n n B B A A --=+++∞→11lim ()2211)1(lim n n a n n n -++=++∞→112)1(lim ++∞→++=n n a n n 2
lim 21a
a n
n ==+∞→．
例2 求极限121lim ++∞→+++k k
k k n n
n ,其中k 为自然数. 解 令k k k n n a +++= 21, 1+=k n n b ,由定理2,
n n n b a +∞→lim n n n n n b b a a --=+++∞→11lim ()111)1(lim +++∞
→-++=k k k n n n n ()111)1(lim +=+++=+∞→k n k n k k n . 其中倒数第二式中…表示关于n 的次数为1-k 的一个多项式.
例3 求极限???? ?
?+-+++++∞→1121lim 1k n n n k k k k n ,其中k 为自然数. 解 令()1)21(1+-++++=k k k k n n n k a , ()k n n k b 1+=,由定理2,
n n n b a +∞→lim n
n n n n b b a a --=+++∞→11lim ()()()()]1[11)1(1lim 1
1k k k k k n n n k n n n k -+++-+++=+++∞→ ()()()
+++??????
+-+=--+∞→111211lim k k n kn k n k k k k 21=. 其中倒数第二式分子与分母中的…均表示关于n 的次数为2-k 的多项式.
注 例3中当k 不是自然数时,只要0>k (该条件保证()+∞=++∞
→k n n k 1lim ),利用定理2,并令
n
x 1
=
,我们有n n n b a +∞→lim n n n n n b b a a --=+++∞→11lim
()()()()]
1[11)1(1lim 1
1k k k k k n n n k n n n k -+++-+++=+++∞
→()??
?
?????-???
??++?
?? ?
?
+-+??? ??+=+∞→11111111lim k k
k n n k n n n n k ()()()()[]1111111lim
-+++-+
+=→k k
k
x x k x x x x k ()()()()[]
x
x x k x x kx k k
k x -+++-++=→11111lim 0. 再利用求函数极限的罗必塔法则,可以求出最后一式的极限为
2
1
.
例4设0)(lim 1=--+∞→n n n A A n .试证:极限n A A A n n ++++∞→ 21lim
存在时,n n A +∞→lim n
A A A n
n +++=+∞→ 21lim .
证明 因n A A A A A n n n +++-= 21n
A A A n
++++ 21
, 而极限n
A A A n
n ++++∞→ 21lim 存在,故只需证明第一项趋于零.
令11A a =,122A A a -=,…,1--=n n n A A a ,则由条件0)(lim 1=--+∞
→n n n A A n 知0lim =+∞
→n n na ,
且+-=-)(1n n n A A A +---)(21n n A A 112)(A A A +-+ 11a a a n n +++=- . 于是??
?
?
?+++-+∞
→n A A A A n n n 21lim
()()()??????+++++++-+++=+∞→n a a a a a a a a a n n n 21211
21lim ()n
a n a a n
n 12lim
32-+++=+∞→ (应用定理2)
()1)1(lim
---=+∞→n n a n n n n n a n n
n ??-=+∞→1
lim 0=.
例5 设101<→n n nx .
证明 由条件
n n
n x x x -=+11
.用数学归纳法容易证明对所有自然数n 有10<→lim 存在,
设极限值为a .在()n n n x x x -=+11中令+∞→n 得()a a a -=1,由此得0=a . 由于}1
{
n
x 严格单调递增趋于∞+,根据定理2, n n nx +∞→lim n
n x n 1lim +∞→=
()n
n n x x n
n 111lim
1
--+=++∞
→11lim
+++∞
→-=n n n n n x x x x 21lim n
x x
x n n n ++∞→=)1(lim n n x -=+∞→1=.
§1.3 利用压缩影像原理和单调有界定理求极限
压缩影像原理 设)(x f 可导且()1'<≤r x f ,r 是常数.给定0x ,令)(1-=n n x f x ),2,1( =n .证明序列}{n x 收敛.
证明 由拉格朗日中值定理，得
n n x x -+1)()(1--=n n x f x f ())('1--=n n x x f ξ1--≤n n x x r 212---≤n n x x r ≤01x x r n -≤
其中ξ介于1,-n n x x 之间.故对任意自然数p 有
n p n x x -+1-++-≤p n p n x x 21-+-+-+p n p n x x n n x x -+++1
011x x r p n -≤-+012x x r p n -+-+01x x r n -++ ()1011-+++-=p n r r x x r r r x x r p n
--?-=11010101→-?-≤r
r x x n
（+∞→n ,10<由柯西收敛准则}{n x 收敛.
注 (1)利用压缩影像原理必须保证}{n x 是否保持在()1'<≤r x f 成立的范围之内. (2) )(x f 称为压缩映射(因为10<x ()n
n n x x x ++=+3131),2,1( =n ,求极限n n x +∞→lim .
解 令()()x x x f ++=
313(0>x ),则)(1n n x f x =+),2,1( =n .
又()32
)
3(6'2
<+=x x f (0>x ),故)(x f 称为压缩映射. 由压缩影像原理,}{n x 收敛.再对递推公式()n
n n x x x ++=+3131,两边取极限即可.
例2设K 是正数,,00>x 对任意自然数n ,令???
?
??+=--1121n n n x K x x .证明K x n n =+∞→lim .
证明 令()??? ??+=
x K x x f 21(K x ≥),则)(1-=n n x f x ),2,1( =n .又()??
?
??-=2121'x K x f (K x ≥),从而有()21
'0<≤x f .故)(x f 称为压缩映射.由压缩影像原理, }{n x 收敛.再对递
推公式???
?
??+=--1121n n n x K x x ,两边取极限即可.
例3 设,0>a ,1a x =,2a a x +=…, a a a x n +++= .求n n x +∞
→lim .
解 容易证明}{n x 单调递增.现证对任意自然数n ,1+≤a x n .当1=n 时显然成立.归纳假设
1+≤a x n .则≤+=+n n x a x 11++a a 12++≤a a 1+=a .
由单调有界定理, }{n x 有极限.设x x n n =+∞
→lim .对n n x a x +=+1两边取极限得x a x +=.
解得2411a x +±=.由于0>x ,故得n n x +∞→lim 2
411a
+±=.
例4 设41=x ,当2≥n 时, 2
11
1
--+
=
n n n x x x .求n n x +∞→lim .
解 显然0≥n x .由于n
n n n n n n x x x x x x x 222222
221
-=
-+=-+与2111--+=n n n x x x 22121
1=?≥--n n x x 所以01<-+n n x x ,即}{n x 单调递减且有下界.故}{n x 极限存在,令x x n n =+∞
→lim .
由递推关系式得2
1x
x x +=.解得2=x ,即2lim =+∞→n n x .
例5 设01>x ,且对任意自然数n ,(
)a
x a x x x n n
n n ++=
+2
2133其中0>a .求n n x +∞
→lim
.
解 由于a
x a
x x x n n n n ++=+2
2
133, 11≥+n n x x a x a x n n +≥+?2233a x n ≤?2,与a x n -+21()
()
222
2
2
22)3(33a x a x a a x x n
n
n n ++-+=
()(
)[](
)(
)[]2
22
222)3(3333a x a
x a a x x a x a a x x n
n n n n n n
++-++++=
()()
2
2
3
3)
3(a x a
x
a
x n n
n
+-+=
()
2
2
32
)
3(a x a
x
n n
+-=
故a x n -2与a x n -+21同号.因此当a x ≤21时有a x n ≤2
),2,1
( =n ,此时}{n x 递增有上界a ;当a x >21时有a x n >2),2,1( =n ,此时}{n x 递减有下界a .
所以}{n x 收敛,设x x n n =+∞→lim .则()
a x a x x x ++=2233.因为0≠x ,解得a x =,即a x n n =+∞→lim .
例6 设n n
x n ln 1
31211-++++
= ,证明}{n x 收敛. 证明 由n x 的定义, n n n x x n n ln )1ln(111
++-+=-+)11ln(11n n +-+=.由于??
???????????
??++1
11n n 单
调递减趋于e ,故e n n >??
? ??+
+1
11.取对数得()1)11ln(1>++n n ,1
1
)11ln(+>
+n n .所以这证明了}{n x 单调递减.
又由于??
??????????? ??+n
n 11单调递增趋于e ,可得不等式)11ln(1n n +>.
因此n
1
31211++++
()[]n n ln 1ln )2ln 3(ln )1ln 2(ln -+++-+-> ()1ln +=n n ln >. 所以0>n x ),2,1( =n ,由单调有界定理,}{n x 收敛.设C x n n =+∞
→lim ,这里C 称为Euler 常数. 可以证明10<例7 设11=x ,212=
x , n
n x x +=+11
1.求n n x +∞→lim .
解 若极限存在,设为A ,则A A +=
11
,012=-+A A ,251±-=A ?
?-= 618.1618.0. 因0>n x ),2,1( =n , 618.0=A .若A x n <,则n n x x +=+11
1A A
=+>11; 若A x n >,则n n x x +=
+111A A
=+<11.即n x 在A 的左右来回跳动,而11=x 618.0> 知:A x x x x n >+ ,,,,,12531,A x x x x n < ,,,,,2642 (1).
若}{n x 收敛于A ,则}{2n x ,}{12+n x 也收敛于A .猜想:是否}{2n x 在A 左端单调递增到
A ,}{12+n x 在A 右端单调递减到A .下面来考n n x x -+2察的符号.
n n x x -+2n n x x -+=
+111
n n
x x -++
=1111
n
n
n x x x +--=
212
n
n n x x x +-+=
2)
618.0)(618.1( ?
?=><=<>.
618.0,0,
618.0,0A x A x n n 若若 (2).
式(1),(2)表明}{2n x 以A 为上界, }{12+n x 以A 为下界. 因此二子列收敛.记α=+∞
→n n x 2lim ,β=++∞
→12lim n n x .
在式n n x x 21211+=
+及1
2211-+=
n n x x 中令+∞→n ,有αβ+=11,βα+=11. 所以 618.0===A βα.既然n n x 2lim +∞
→A x n n ==++∞
→12lim ,故 618.0lim ==+∞
→A x n n .
例8 证明序列2,2
1
2+
, ,2
1212+
+收敛,并求其极限.
解 以序列特征可以看出,相邻两项的关系是n
n x x 1
21+=+ (1).因此,设}{n x 收敛,则极限A 满足方程A
A 1
2+=.又0>n x ,所以21+=A .令n n A x α+=n α++=21 (2).(2)代入(1), ()n
n
n αα
α++-=+21212
1 (3).则将满足(1)的序列A x n →}{的问题,转化为满足(3)的序列
0}{→n α的问题.事实上, 2111-=-=A x α,2
1
1<
α.由(3)利用数学归纳法,易证n n 2
1
<
α,即n n x +∞→lim )21(lim n n α++=+∞→21+=.
§1.4 求函数极限的几种方法
一、利用函数的连续性求极限
定理 (复合函数求极限定理) 设函数)(y f 在b y =连续,函数)(x g y =有性质b x g a
x =→)(lim ,则
)]([lim x g f a
x →b x g f a
x ==→)](lim [.
推论 设0)(lim >=→A x u a
x ,B x v a
x =→)(lim ,则()B x v a
x A x u =→)(lim .
证明 由复合函数求极限定理,
()x v a
x x u )(lim → ()()()()
B A B x u x v x u x v a
x A e e e a
x ====→→ln ln lim ln lim
例1 求极限)0.(1
lim 0>-→a x
a x x
解 令y a x =-1,则当0→x 时0→y .解得()a
y x ln 1ln +=.
故x a x x 1lim
-→()y a
y y +=→1ln ln lim 0()
y
y y a 1
1ln ln lim +=→a ln =.
注 此例中取01
→=n
x ,得数列极限, ()
)0.(01lim >=-+∞→a a n n n
例2 求极限,2lim n
n n n b a ???
?
??++∞→()0,0>>b a
解 令n n n
x b
a +=+12
,则012
→-+=
n n
n b
a x (+∞→n ). 由于???
? ??-+=+∞→+∞→12lim lim n n n n n b a n x (
)
112lim -+-=+∞→n n
n b a n
()b a ln ln 2
1
+=
ab ln =, 所以n
n n n b a ???
? ??++∞→2lim n
n n x )1(lim +=+∞→()n n
nx x n n x ??????+=+∞→11lim ab
e ln =ab =.
例3 求极限a
x a x a x -→?
??
??1sin sin lim .()πk a ≠
解 a
x a x a x -→?
?
?
??1
sin sin lim a
x a x a x -→???
??
???? ??-+=1
1sin sin 1lim a
a x a x a
x a a x a a x sin 1
sin sin sin sin sin sin sin sin 1lim ?
---→???
????
?
??? ??
-+=.
由于a a x a x a x cos sin sin lim =--→,所以a
x a x a x -→??
? ??1sin sin lim a
a
e
sin cos =a e cot =.
例4求极限x x x cos lim 0
→.
解 注意到2
1
1cos lim
0=-→x x x ,我们有
x x x cos lim 0
→()[]
a
x x 1
1
cos 1lim -+=→()[]
x
x x x x 1
cos 1
cos 1
1cos 1lim --→?
???
??
-+=e =.
练习 求极限 (1) 2
2
02cos cos lim x
x x x ??? ??→; (2) x
x x x x x 103232lim 2
2
???
?
?
?++→. 二、利用微分学方法(L ’Hospital 法则,Taylor 公式)求极限
例5 求极限()x
e
x x
x -+→1
1lim
.
解 由导数公式
()x v x u dx d )(()
x v x u )(=()()()()()??
????+=x u x u x v x u x v 'ln ' 得
x x dx d 1)1(+x
x 1)1(+=()()()
x x x x x +++-11ln 12
由L ’Hospital 法则得
()
x
e
x x
x -+→1
1lim
()()()
x x x x x e x +++-=→11ln 1lim
20
()20321ln lim
x x x e x ++-=→2e -=. 例6 求极限??
? ??-→x x x 2
20cot 1lim .
解 利用L ’Hospital 法则与等价无穷小代换得
??
? ??-→x x x 2
20cot 1lim x x x x x x 222220sin cos sin lim -=→42220cos sin lim x x x x x -=→(等价无穷小代换) ?+=→x x x x x cos sin lim 03cos sin x x x x -(化简) 203sin cos cos lim
2x x
x x x x +-=→(L ’Hospital 法则) x x x sin lim 320→=
3
2
=.
例7求极限x
x
x x x c
b a 1
03lim ???
?
?
?
++→ 解 由指数函数的连续性与L ’Hospital 法则得
x
x x x x c b a 1
03lim ???? ??++→?????
?
??????++=→x c b a x x x x 3ln lim exp 0??????++++=→x x x x x x x c b a c c b b a a ln ln ln lim exp 0 ?
?
? ??++=3ln ln ln ex p c b a 3abc =.其中
y exp 表示指数函数y e .
例8求极限()??
????-+++∞→e x x x x x x 1lim 1 解 原极限可化简为 ()
??????-+++∞→e x x x x x x 1lim 1x x
x x e x e x ?
?? ?
?
+??
????????? ??+-=+∞
→1111lim . (*)
(*)式中分母的极限为2e ,因此只要求分子的极限.
???????
???? ??+-+∞→x x x e x 11lim x
x e x
x 111lim
?
?? ??
+-=+∞→()y
y e y y 101lim +-=→(利用代换x y 1=)
y
y y 1)1(lim 0+=→()()??
????+-+y y y y 111ln 12 (L ’Hospital 法则)
因此只要求
0lim →y ()()??????+-+y y y y
111ln 12()()()y y y y y y +-++=→11ln 1lim 20()()201ln 1lim y y y y y -++=→ (利用()11lim 0
=+→y y )()y
y y 2111ln lim
0-++=→21
=.
因此(*)式中分母的极限为
2e ,最后得到()e
e x x x x x x 21lim 1=??????-+++∞→. 例9 设)(x
f 在()+∞,0上连续,且()a x f x =+∞
→lim ,求数列极限()?+∞→1
lim dx nx f n ．
解 将数列极限转化为函数极限,然后利用L ’Hospital 法则
()?
+∞→1
lim
dx nx f n ()
?
+∞→=n
n n dt
t f 0
lim
(变量代换nx t =)()y
dt t f y
y ?+∞→=0lim (将n 换成连续变量y )
()y f y +∞
→=lim (L ’Hospital 法则) a =
例10 求极限x
x
x x 3
sin tan lim
-→. 解 利用Taylor 公式 ()
33
3
tan x o x x x ++=,()x o x x +=sin
我们有
x x x x 30sin tan lim -→()
()()33303lim x o x x x o x x x +-++=→()()33
30131lim ?
?? ?
?
++=→x x o x x o x 31=.
三、利用定积分求极限
定理2 (1)若)(x f 在[]b a ,上可积,则
()?
b
a
dx x f ∑=+∞→??? ??-+-=n i n i n a b a f n a b 1lim ∑-=+∞→??
?
??-+-=10lim n i n i n a b a f n a b . (2) 若)(x f 在()1,0内单调,且积分()?10
dx x f 存在(可以是非正常积分),则
()?
1
dx x f ∑=+∞→??? ??=n i n n i f n 11lim (当0是瑕点时)
∑-=+∞→??
?
??=10
1lim n i n n i f n (当1是瑕点时). (3) 若)(x f 在[)+∞,0内单调递减,且积分()?
+∞0
dx x f 存在,则
()?
+∞
dx x f ()∑+∞
=→+=0
lim n h nh f h .
证明 (1)由定积分定义直接得.
(2)当)(x f 在[]1,0上可积时结论显然成立.
设()?10
dx x f 是非正常积分,不妨设0是瑕点并设)(x f 在()1,0内单调递减,显然有
()?
+n i n
i dx x f 1??? ??≤
n i f n
1
()?-≤n i
n
i dx x f 1 ()1,,2,1-=n i . 对i 求和得
()()11
1
1
f n
dx x f n
+?∑=??? ??≤n i n i f n 11()?≤10dx x f .
令+∞→n ,得
()?
1
dx x f ∑=+∞→???
??=n i n n i f n 11lim
.注意到()()dx x f dx x f n
??→1011 （3）由于)(x f 在[)+∞,0内单调递减,对任意正数h 有
()()?
+h
n nh
dx x f 1()nh hf ≤()()?
-≤nh
h
n dx x f 1.()k n ,,2,1 =
对n 求和得 ()()?
+h
k h dx x f 1()∑=≤k
n nh f h 1
()?≤kh
dx x f 0
.
令+∞→k 得 ()?+∞
h dx x f ()∑+∞
=≤1
n nh f h ()?+∞
≤0
dx x f .
再令0→h 得 ()?
+∞
dx x f ()∑+∞
=→+=0
lim n h nh f h .
例11 求极限121lim ++∞→+++k k
k k n n n ,其中k 是大于-1的实数. 解 利用定理2得
121lim ++∞→+++k k k k n n n k
n i n n i n ∑=+∞→??
? ??=11lim ?=10dx x k
11+=k .
例12 设()()()n
n n n n x n
n +++=
21,求极限
n n x +∞
→lim .
解 因为n x ln k
n i n i n ∑=??? ??=11,所以n n x ln lim +∞→∑=+∞→??? ??+=n i n n i n 1
1ln 1lim ()12ln 21ln 10-=+=?dx x ,故 n n x +∞
→lim e
e 412ln 2=
=-.
例13求极限n n n
n n !ln 1tan lim ?+∞→.
解 由于+∞→n 时, n
n 1
~1tan .
故原极限()ln !ln ln 1lim n n n n -?=+∞→()()()[]n n n n n
n ln ln ln 2ln ln 1ln 1
lim -++-+-=+∞→
∑=+∞→=n i n n i
n 1
ln 1lim 1ln 10-==?xdx .
练习 (1) 求极限?
?? ??+++++++∞→22222221lim n n n n n n n n . (2) 求极限()??
????--++-+-+∞→22222221211
lim n n n n n n .
例14 求极限???
?????
-++-+
-+∞
→22121
21lim n n n
n n
n n .
解 原极限可变为
∑
=+∞
→-n
k n kn kn 1
1lim
∑=+∞→-=n k n k k n n 1211lim ∑=+∞→???
?
??--=n k n k n k k n n 1211lim ∑=+∞→+n k n k n n 11lim . 由于∑=???? ??
-
-n
k k n k
k n n 12
11∑=+-=n
k k
n k k n k n 1
2
2
11
101
112→≤∑=n k k n (+∞→n ), 所以由定理2得 原式∑=+∞→=n k n k n n 1
1lim ?=10x dx 2=.
例15 证明21lim 0
12
π=-∑+∞
=→-n n t t t .
分析 对于级数 +++++=∑+∞
=16940
12
t t t t t n n ,没有现成的求和公式可用.但是我们知道,当
1→1t 时, +∞→∑+∞
=0
2
n n t .另一方面,注意到
?
∞
+-=
2
2
π
dx e x ,由定理2可得如下证明.
证明 2π?+∞-=02
dx e x ()∑+∞=-→+=020lim n nh h e h ∑+∞=→-=-
12
ln lim n n
t t t (令2
h e t -=) ∑+∞
=→-=-0
1
2
1lim n n t t
t t
t t -?-
→1ln lim 1
∑+∞
=→-=-0
1
2
1lim n n t t t
其中11ln lim 1=--
→t
t t 是容易证明的.
例16 求极限()2
!lim n n n
n +∞
→.
解 令()2!n n a n
n =,则n
n n a a
1lim ++∞→()()[]()n n n n n n n 2
21
!!11lim ?++=++∞→101111lim <=??
?
??++?=+∞→n
n n n ,所以级数∑+∞
=1
n n
a
收敛.从而由级数收敛的必要条件,0lim =+∞
→n n a ,即()
0!lim
2
=+∞
→n n n
n .
练习 求极限 (1) ()n
n n n n 2!5lim ?+∞
→,(2)
n n n n n !2lim ?+∞→,(3) !
3lim n n n n
n ?+∞→.
例17 求极限()π1sin
lim 2
++∞→n n .
解 ()π1sin lim 2
++∞
→n n ()πππn n n
n +-+=+∞
→1sin lim 2
()()
ππn n n
n -+-=+∞
→1sin 1lim 2
()01sin
1lim 2
2
=++-=+∞
→π
ππn n n
n .
练习 求极限()
n n n ++∞
→22sin lim π.
例18 求极限()()
n n n 2421231lim ???-???+∞→ . 解 令n n x n 2124321-???=
,1225432+???=n n y n ,则n n y x <且1212
+=
?21
0→+<
≤n x n (+∞→n ),即0lim =+∞
→n n x .
第一章函数与极限复习提纲
第一章函数与极限复习提纲 一、函数 知识点：1、函数的定义域、性质的判断（有界性、奇偶性、单调性、周期性） 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会！！ 4、函数关系的建立 如1、下列函数中属于偶函数的是（ D. ） A. x x y sin +=； B. x x y sin 2+=； C . x x y cos +=； D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成？ （1）x x f 2ln )(= 解：u y ln =，x u 2= （2）x y 2cos = 解：2u y = ，x u cos = （3）5)13(+=x y 解：5u y =， 13+=x u （4）3 2 1-= x y 解：3 1u y =，12-=x u （5）x y 2cos ln = 解：u y ln =，v u cos =，x v 2= 3、旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过20公斤免费；超过20公斤部分，每公斤收费0.20元；超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。 解 0, 0.2(20), 2050 0.3(50)6, 50 x y x x x x ≤≤?? =-<≤??-+>? 4、某公司生产某种产品，总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元，又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2 25x P -=,求x 为多少时公司总利润最大？ 解 成本函数C （x ）=固定成本+可变成本 所以x x C 10200)(+= 收入函数x x x x x p x R 2521 )225()(2+-=?- =?= 利润函数200152 1)10200(2521)()()(2 2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L 令015)('=+-=x x L 得15=x 因为驻点唯一，又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在，所以当15=x 时，() L x
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
第一章 函数与极限的练习解答
一、P21：1；5 1.设），（），（∞+∞=55--A ，） ，【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。 解：),5()3,(+∞-∞= B A )5,10[-=B A ),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A )5,10[)()\(\--=--=B A A B A A 5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？ （1） x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D ),0(+∞=g D 。 （2） 2 )(,)(x x g x x f == 解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。 （3） 3 3 4 )(x x x f -=， 3 1)(-?=x x x g 解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。 （4） x x x g x f 2 2tan sec )(,1)(-== 解：不同。定义域不同，R D f = },1,0,2 { ±=+ ≠=k k x x D g π π。 二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）； P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16. 4.求下列函数的自然定义域：
（1） 23+=x y ； 解：32023-≥?≥+x x 。即：),3 2 [+∞-=D 。 （3）211x x y --=； 解：???≤≤-≠????≥-≠1 10 0102 x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。 （5） x y sin =； 解：0≥x 。即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ； 解：42131≤≤?≤-≤-x x 。即：]4,2[=D 。 （9）)1ln(+=x y 解：101->?>+x x 。即：),1(+∞-=D 6.设,3 ,3,0,sin )(ππ?≥
1第一章 函数与极限答案
第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）
高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点
第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。
(完整版)大一高数第一章函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
答案高等数学第一章函数与极限试题
答案： 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为 ?+=x C dt t f x F 0 )()(，且).()(x f x F =' 当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见 f(x)为奇函数； 反过来，若f(x)为奇函数，则? x dt t f 0 )(为偶函数，从而 ?+=x C dt t f x F 0 )()(为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2 2 1x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0 x f x ，所以 x=0为第二类间断点； 0)(lim 1=+ →x f x ，1)(lim 1 -=- →x f x ，所以x=1为第一类间断点，故 应选(D).
【评注】 应特别注意：+∞=-+ →1 lim 1x x x ，.1 lim 1-∞=-- →x x x 从而 +∞=-→+ 1 1lim x x x e ，.0lim 1 1 =-→- x x x e 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C ∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = 2 1111lim )11() 11)(11(lim 0 =++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 D 10 C 解 原式 16 1821lim )2()cos 1(tan lim 32 030=?=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极 的每项作等价替换，则 原式0)2(l i m 3 =-=→x x x x .
第一章函数和极限答案
第一章 函数与极限 一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调 性、周期性和有界性）的了解。 （ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。 （ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。 （ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）有关确定函数定义域的题型 1．（4分）1 )2ln()(+-= x x x f 的定义域为 21<<-x 2．（4分）) 2ln(1 )(x x x f -+= 的定义域为 [))2,1(1,1Y - 3．（4分）)32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- （ D ） A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域： （1）（6分）)(2 x f []1,1-∈x （2）（6分）)2(x f (]0,∞-∈x （3）（7分）)31 ()31(-++x f x f ?? ????∈32,31x （ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型 5．（4分）已知： x x f cos 1)2 (sin +=，则)(x f =)1(22 x - 6．（4分）设???????>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ??? ? ???>=<-=0,10,00,1)(x x x x f 7．求下列函数的反函数 （1）（4分）31+=x y 1,13 3-=-=x y y x （2）（4分）x x y +-= 11 x x y y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x
第一章 函数与极限知识点
第一章函数与极限 区间 [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 x (D为非空实数集) 函数y=f(x)、y=F(x) D D为函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。 函数的有界性 如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. 函数的单调性 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有 ， 则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有 ， 则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。 函数的奇偶性 如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数； 如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。注意：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称,若奇函数定义
域中含有0，则F(0)=0。f(0)=-f(0),2f(0)=0,所以f(0)=0。 函数的周期性 对于函数，若存在一个不为零的数l ，使得关系式 对于定义域内任何x 值都成立，则叫做周期函数，l 是的周期。 注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。 反函数 反函数的定义： 设函数)(x f y =，其定义域为D ，值域为M. 如果对于每一个M y ∈，有惟一的一个D x ∈与之对应，并使)(x f y =成立，则得到一个以y 为自变量，x 为因变量的函数，称此函数为y=f(x)的反函数，记作 )(1y f x -= 显然，)(1 y f x -=的定义域为M ，值域为D. 由于习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示， 所以)(x f y =的反函数可表示为 )(1x f y -= 反函数的存在定理 若在(a ，b)上严格增(减)，其值域为 R ，则它的反函数必然在R 上确定，且严格增(减). 注：严格增(减)即是单调增(减) 反函数的性质 在同一坐标平面内， 与 )(1 x f y -=的图形是关于直线y=x 对称。 关于直线y=x 对称的。如右图所示： 复合函数的定义 若y 是u 的函数： ，而u 又是x 的函数： ，且 的函数值的全部或部分在 的定义域内，那末，y 通过u 的联系也是x 的函数，我们称后一个函数是由函数 及 复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u 叫做中间变量。 注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。 分段函数：？？？？
第一章 函数与极限讲解
第一章函数与极限 函数与极限——微积分中的二个重要基本概念 函数——高等数学研究的基本对象． 极限——是否采用极限的运算方法，是高等数学与初等数学的根本区别．
第一节函数 一．函数概念： １．常量与变量： 常量：某一变化过程中保持数值不变的量. 例：同一地点的ｇ=9.8米/秒2 (初等数学研究的主要对象)变量：在某一变化过程中取不同数值的量． 例：自由落体Ｓ=gt2/2中的S与t都是变量. 一个量是常量还是变量只是相对而言的．
２．函数的概念： 函数关系——变量之间的依赖关系 函数定义： ｘ与ｙ是两个变量，如果对于ｘ在数集Ｘ中所取的每一个值，通过ｘ与ｙ之间的某一对应律ｆ, 都有一个(或多个)确定的y 值与之对应, 则称f 是Ｘ上的函数. 记作：y=f(x)，x X． ｘ称为自变量，ｙ称为因变量．Ｘ称为函数的定义
３．函数的表示方法： √ 解析法(如y = f (x)) 列表法 函数的表示法 图象法 其他 解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示.例如: cosx -π≤x≤0 (分段函数) 1 0＜x＜1 1/x x ≥1 注：分段函数虽然由多个式子组成的，但它不是多个函数，而是一个函数．
幂函数：ｙ=x a 指数函数：ｙ= a x 对数函数：ｙ=log a x 三角函数：ｙ=sinx ，y =cosx , y=tgx , y=ctgx. 反三角函数：y =arcsinx , y =arccosx , y =arctgx , y =arcctgx . 二．初等函数： 1．基本初等函数：(中学学过的）
2．复合函数：形如：ｙ= f [(φ(x)] ( u =φ(x) ) 定义:设变量y 是变量u 的函数, 变量u 又是变量x 的函数即y = f (u) , u =φ(x), 如果变量x的某些值通过中间变量u 可以确定变量y 的值时, 则称y 是x 的复合函数, 记作 y = f [φ(x)] ( y—因变量, u—中间变量( 既是自变量又是因变量), x—自变量)注:①函数u=Φ(x)的值域不能超过函数y=f(u)的定义域. ②形成复合函数的中间变量可以不止一个,如: y=f｛φ[ω(x)]｝
高等数学第一章函数与极限考试
高等数学第一章函数与极限考试
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高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e
5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0 x f x f x x =_______________； 14. =→x x x x 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _________________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________________ 17. 绝对值函数 = =x x f )(?? ???<-=>.0,;0,0;0,x x x x x x
高等数学第一章函数与极限试题
高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e
5．已知9)(lim =-+∞ →x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )11(lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim -+→ =（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = . 12. lim →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0 x f x f x x =_______________； 14. =→x x x x 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _________________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________________ 17. 绝对值函数 = =x x f )(?? ???<-=>.0,;0,0;0,x x x x x x
高等数学第一章函数与极限试题
一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x =0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x =0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞ →x x a x a x ，则=a ( )。
； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )11(lim ( ) ； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ ） ； B.∞； ； ． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ ） ； B.∞； C 2 1； ． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ + →=（ ） ； B.∞； ； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） ； B.∞； C. 16 1； ． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2 +∞ →x x x x = . 12. lim →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0 x f x f x x =_______________； 14. =→x x x x 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _________________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________________ 17. 绝对值函数 = =x x f )(?? ???<-=>.0,;0,0;0,x x x x x 其定义域是 ,值域是
