高中数学第三章三角恒等变换32两角和与差的三角函数321两角差的余弦函数备课素材北师大版4.

高中数学必修4

第3章 三角恒等变换

3.1.1 两角差的余弦公式

一、教学目标

掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单使用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.

二、教学重、难点

1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；

2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不但有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，使用已学知识和方法的水平问题，等等.

三、教学设想：

（一）导入：问题1：

我们在初中时就知道 2cos452，3cos302，由此我们能否得到cos15cos4530?大家能够猜测，是不是等于cos45cos30呢？

根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜测是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos?

（二）探讨过程：

在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为1P，cos等于角与单位圆交点的横坐标，也能够用角的余弦线来表示。

思考?.1角函数线来探求公式怎样联系单位圆上的三

(1) 怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）

?)2(的余弦线和余弦线的正弦线怎样作出角，、、

思考2：怎样联系向量的数量积探求公式？

（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？

（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？

两角差的余弦公式：sinsincoscos)cos( （三）例题讲解

例1、利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值.

解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.

232162cos75cos4530cos45cos30sin45sin3022224

232162cos15cos4530cos45cos30sin45sin3022224

word

- 1 - / 4 第三章 三角恒等变换

一、课标要求：

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.

三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.

1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；

2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.

二、编写意图与特色

1. 本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；

2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；

3. 本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；

4. 本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.

三、教学内容及课时安排建议

2021

第三节 简单的三角恒等变换

课标要求 考情分析

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．

2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．

3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 1。利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点，本部分内容常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题．

2．命题形式多种多样，既有选择题、填空题，也有综合性的解答题.

知识点一 基本公式

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C（α－β）：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ.

C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ。 2021

S(α＋β）：sin(α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ.

S（α－β）:sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ。

T(α＋β)：tan（α＋β)＝错误!(α，β，α＋β≠错误!＋kπ，k∈Z）．

T(α－β）：tan（α－β）＝错误!（α,β，α－β≠错误!＋kπ，k∈Z）．

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

S2α：sin2α＝2sinαcosα.

C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。

T2α：tan2α＝2tanα1－tan2α错误!

知识点二 三角公式的变形技巧

1．降幂公式:cos2α＝错误!，sin2α＝错误!。

2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α。

3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．

4．辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin（x＋φ)错误!

知识点三 三角恒等变换

1．重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式"．

3.1.1 两角差的余弦公式

学习目标：1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点)

[自 主 预 习·探 新 知]

两角差的余弦公式

公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β

适用条件 公式中的角α，β都是任意角

公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反

[基础自测]

1．思考辨析

(1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.( )

(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．( )

(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．( )

(4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )

[解析] (1)错误．cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°.

(2)错误．当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°

－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α－β)＝cos α－cos β.

(3)正确．结论为两角差的余弦公式．

(4)正确．cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0.

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√

2．cos(－15°)的值是(

)

A.6－22

B.6＋22

C.6－24 D.6＋24

D [cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin

30°＝22×32＋22×12＝6＋24.]