Ｕ 难点剖析
独立牲检验的麓读及例４一／ｉ＂
■朱荣杰
独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证 法——假设检验思想。先选取一个假设 条件下
的小概率事件，再由样本数据计算卡方统计量 ｚ，
查临界值表，将 的值与临界值进行大小比较，并
作出判断。根据推断的可靠程度要求，若 的值大 于临界值，表明在一次试验中该小概率事件发生了，
这是与“小概率事件不可能发生”这一概率原理相抵 触的“不合理”现象，从而作出不一定 的推断。
独立性检验的这种方法可靠吗？实际上，这种 方法仍然是用样本估计总体，由于抽样的随机性，结
果并不唯一，所以用部分推断全体可能正确，也可能
错误。但是对于科学合理的抽样，犯错的可能性就
很小了。如卡方检验中若 ≥６．６３５，则说明我们 犯错的概率仅为０．１％，这也正是统计方法的魅力
所在。 独立性检验作出的推断并不是一定成立的，只
能对推断的可靠程度作出估计。
一般地，对两个研究对象Ｉ和ＩＩ，要推断“Ｉ与ＩＩ
有关系”，其基本步骤为：
（１）列出列联表，提出假设 ：Ｉ与ＩＩ没有关系；
（２）根据列联表的数据，利用 ＝
ｔ７ ｄ ｂ —ｄ ，求出 的值； （ 十６）（ ＋ ）（０＋ｃ）（ ＋ ）’ ｕＪ，ｃ Ｌ且’
（３）利用临界值的大小关系来判断假设是否成
立。
如果观测值 ＞１０．８２８，那么有９９．９％的把握 认为“Ｉ与ＩＩ有关系”；
如果观测值 ＞６．６３５，那么有９９％的把握认
为“Ｉ与ＩＩ有关系
如果观测值 ０＞３．８４１，那么有９５％的把握认
为“ｌ与ＩＩ有关系
如果观测值 ≤３．８４１，那么就认为没有充分 的证据显示“Ｉ与 有关系”，但也不能认为“Ｉ与Ⅱ
喜欢数学课程 不喜欢数学课程 合计
男 ３７ ８５ １２２
贲 ３５ １４ ３１
合计 ７２ ２２８ ３００
间没有关系。根据列联表中的数据，可以求得ｙ ＝
３Ｏ０×（３７×１４３—８５×３５） ． 一 ４・５１４ｏ
高二独立性检验知识点总结
独立性检验是统计学中的一种重要方法，用于确定两个或多个变量之间是否存在关联性。在高二阶段的学习中，独立性检验是一个必不可少的统计学概念。本文将对高二独立性检验的知识点进行总结，旨在帮助同学们更好地理解和应用该概念。
1. 独立性检验的概念
独立性检验用于判断两个分类变量之间是否存在显著关联。其中，第一个分类变量称为自变量或行变量，第二个分类变量称为因变量或列变量。独立性检验的目标是确定两个分类变量之间的关联性程度。
2. 卡方检验
卡方检验是一种常用的独立性检验方法。它基于卡方统计量，通过比较实际观察频数与期望频数之间的差异，判断两个分类变量是否独立。卡方检验可以应用于两个或多个分类变量的关联性检验。
3. 单样本卡方检验 单样本卡方检验用于检验一个分类变量在整体上是否符合期望分布。通过计算观察频数与期望频数之间的差异，判断观察结果是否与期望分布存在显著差异。单样本卡方检验是独立性检验的基础，可以帮助我们理解和掌握更复杂的卡方检验方法。
4. 独立性卡方检验
独立性卡方检验用于判断两个分类变量之间是否存在关联。它的原假设为两个分类变量独立，备择假设为两个分类变量不独立。通过计算卡方统计量和查阅卡方分布表，我们可以得出检验结果，确定两个分类变量之间的关联性。
5. 列联表和期望频数
独立性检验的前提是我们需要有观察数据和期望数据。观察数据是指我们实际获得的数据，期望数据是指两个分类变量独立时的理论分布情况。为了进行独立性检验，我们通常会将观察数据整理成列联表形式，并计算期望频数，以便进行后续分析。
6. 自由度和显著性水平
在独立性检验中，自由度是一个重要的概念。自由度取决于列联表的行数和列数。自由度的选择会影响卡方统计量的分布。显著性水平是我们设定的接受或拒绝原假设的临界点。通常情况下，我们使用0.05的显著性水平作为判断标准。
7. 应用案例
独立性检验广泛应用于各个领域，如医学、社会科学、市场调研等。例如，在医学研究中，可以使用独立性检验来确定两种药物对病人康复的影响；在社会科学研究中，可以使用独立性检验来判断人口统计数据和社会经济因素之间的关联性。
独立性检验
例1．2019年11月5日至10日，第二届中国国际进口博览会在上海举行．某宣传媒体组织业内人士对某型号智能机器人进行评分，所得情况如图所示：
（Ⅰ）试估计业内人士评分的平均数以及方差（用每个小矩形底边中点近似替代本组数据）；
（Ⅱ）为了调查评分与性别是否具有相关性，研究人员随机抽取了60位参加评分的业内人士，其中男性与女性人数各一半，根据已知条件完成下面22列联表，据此资料，是否有90%的把握认为评分的高低与性别有关？
分数 不低于60分 低于60分 合计
男性 16 30
女性 10 30
合计 60
参考公式：（1）22()()()()()nadbcKacbdabcd，其中nabcd．
（2）2221122()()()nnDXxEXpxEXpxEXp．
参考数据：
2()PK 0.15 0.10 0.050 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
【解析】解：（Ⅰ）依题意，所求平均数为300.1500.3700.4900.2315281864，
方差为2222(3064)0.1(5064)0.3(7064)0.4(9064)0.2115.658.814.4135.2324．
（Ⅱ）由题意完善22列联表如下：
分数 不低于60分 低于60分 合计 男性
14 16 30
女性 10 20 30
合计 24 36 60
2260(14201016)102.706243630309K，
没有90%的把握认为评分的高低与性别有关．
例2．某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为)n进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60)，[90，100]的频数分别为16，4．
第八章 记数数据统计法—卡方检验法
知识引入
在各个研究领域中，有些研究问题只能划分为不同性质的类别，各类别没有量的联系。例如，性别分男女，职业分为公务员、教师、工人、……，教师职称又分为教授、副教授、……。有时虽有量的关系，因研究需要将其按一定的标准分为不同的类别，例如，学习成绩、能力水平、态度等都是连续数据，只是研究者依一定标准将其划分为优良中差，喜欢与不喜欢等少数几个等级。对这些非连续等距性数据，要判别这些分类间的差异或者多个变量间的相关性方法称为计数数据统计方法。
卡方检验是专用于解决计数数据统计分析的假设检验法。本章主要介绍卡方检验的两个应用：拟合性检验和独立性检验。拟合性检验是用于分析实际次数与理论次数是否相同，适用于单个因素分类的计数数据。独立性检验用于分析各有多项分类的两个或两个以上的因素之间是否有关联或是否独立的问题。
在计数数据进行统计分析时要特别注意取样的代表性。我们知道，统计分析就是依据样本所提供的信息，正确推论总体的情况。在这一过程中，最根本的一环是确保样本的代表性及对实验的良好控制。在心理与教育研究中，所搜集到的有些数据属于定性资料，它们常常是通过调查、访问或问卷获得，除了少数实验可以事先计划外，大部分收集数据的过程是难于控制的。例如，某研究者关于某项教育措施的问卷调查，由于有一部分教师和学生对该项措施存有意见，或对问卷本身有偏见，根本就不填写问卷。这样该研究所能收回的问卷只能代表一部分观点，所以它是一个有偏样本，若据此对总体进行推论，就会产生一定的偏差，势必不能真实地反映出教师与学生对这项教育措施的意见。因此应用计数资料进行统计推断时，要特别小心谨慎，防止样本的偏倚性，只有具有代表性的样本才能作出正确的推论。
第一节 卡方拟合性检验
一、卡方检验的一般问题
卡方检验应用于计数数据的分析，对于总体的分布不作任何假设，因此它又是非参数检验法中的一种。它由统计学家皮尔逊推导。理论证明，实际观察次数（fo）与理论次数（fe），又称期望次数）之差的平方再除以理论次数所得的统计量，近似服从卡方分布，可表示为：
