2.3 多柔体系统动力学建模
2.3.1 柔性体上点的位置向量、速度和加速度 1．柔性体系统中的坐标系
图2.5 柔性体上节点P 的位置
柔性体系统中的坐标系如图 2.5所示，包括惯性坐标系（r
e ）和动坐标系（b
e ）。前者不随时间而变化，后者是建立在柔性体上，用于描述柔性体的运动。动坐标系可以相对惯性坐标系进行有限的移动和转动。动坐标系在惯性坐标系中的坐标（移动、转动）称为参考坐标。
与刚体不同，柔性体是变形体，体内各点的相对位置时时刻刻都在变化，只靠动坐标系不能准确描述该柔性体在惯性坐标系中的位置，因此，引入弹性坐标来描述柔性体上各点相对动坐标系统的变形。这样柔性体上任一点的运动就是动坐标系的“刚性”运动与弹性变形的合成运动。由于柔体上各点之间有相对运动，所以动坐标系的选择不是采用连体坐标系，而需要采用随着柔性体形变而变化的坐标系，即“浮动坐标系”。
在研究多柔体系统时，合适的坐标系是非常重要的。在确定浮动坐标系时有两点准则：1、便于方程建立求解；2、柔性体刚体运动与变形运动的耦合尽量小。目前常见的浮动坐标系大致有如下5种，局部附着框架、中心惯性主轴框架、蒂斯拉德框架、巴克凯恩斯框架以及刚体模态框架。采用何种需因实际情况而定。 2．柔性体上任意点的位置向量、速度和加速度
在分析刚体平面运动的时候，把复杂的刚体平面运动分解为几种简单的运动。在对柔性体的运动，尤其是在小变形的情况下，也可以采用类似的方法。如某柔性体从位置L1运动到位置L2，其间运动可以分解为：刚性移动－>刚性转动－>变形运动。对于柔性体上任意一点P ，其位置向量为：
r
e b
e P
i
B i
C i
r P
i r P
i s 0
P i s P
i u
0()p p r r A s u =++
（2-158） r 为P 点在惯性坐标系中的向量；0r 为浮动坐标系原点在惯性坐标系中的向量；根据式2.2- 14，A 为方向余弦矩阵；p s 为柔性体未变形时P 点在浮动坐标系中的向量;p u 为相对变形向量，p u 可以用不同的方法离散化，与讨论平面问题相同，对于点P ，该单元的变形采用模态坐标来描述，有：
p p f u q =Φ （2-159） 式（2-159）中，p Φ为点P 满足里兹基向量要求的假设变形模态矩阵，q 为变形的广义坐标。
柔性体上任一点的速度向量及加速度向量可以对式求对时间一阶导数和二阶导数得到：
0()P p p p f A s u A q =+++Φ r r （2-160） 0()2p p p p f p f r r A s u A q A q =+++Φ+Φ （2-161） 2．多柔体系统的能量
（1）动能和质量矩阵
考虑节点P 变形前后的位置、方向和模态，柔性体的广义坐标可以表示为：
[(1,,)][]T T i x y z q i M ψθφ===ξr ψq （2-176） 速度表达式（2-160）在系统广义坐标式（2-176）的时间导数ξ 中表示为：
[()]P p p P v I A s u B A ξ=-+Φ （2-177） 柔性体的动能为：
G
()
r e B r B
()
b e P
s P
P
u P '
图2.6 柔性体变形模型
1122T T GBT GB
P P P P P P V P
T v vdV m v v I ρωω=
≈+∑⎰ （2-178） 其中，P m 和P I 分别为节点P 的节点质量和节点惯性张量；GB
P P B ωψ
= ，为点B 相对于全局坐标基的角速度在局部坐标基中的斜方阵表示。将式（2.3-20）
和关系式P P B ωψ= 代入式（2-178），得到动能的广义表达式：
1()2
T
T M ξξξ
= （2-179） 上式中的质量矩阵()M ξ为33⨯维的方阵，表示为：
()tt
tr tm T
tr rr
rm T T tm
rm
mm M M M M M M M M M M ξ⎡⎤⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
（2-180） 其中下标,,t r m 分别表示平动、旋转和模态自由度。质量矩阵的六个独立分量分别表示为：
1233
7
8
89456
[][[]][]
tt tr j j tm T
T rr j j
j ij i
j T
rm j j mm M I
M A q B
M A M B q q q B
M B q M τττττττττττ⎧
=⎪=-+⎪⎪=⎪⎨=-+-⎪⎪=+⎪=⎪⎩
（2-181）
其中9个惯性时不变矩阵列表如下：
式(2.3-24)中可以明显看出质量矩阵与模态坐标显性相关，而且由于引入转换矩阵A 和B ，质量矩阵也与系统的方向坐标显性相关。质量矩阵中的9个惯性时不变矩阵19~ττ可通过计算有限元模型的N 个节点信息在预处理过程中一次性得到，从而简化运动微分方程的求解。节点信息包括：每个节点的质量P m ，未变形时的位置矢量P s 以及模态矩阵P Φ。
（2）势能和刚度矩阵
势能一般分为重力势能和弹性势能两部分，可用下列二次项表示：
1
()2
T g W W K ξξξ=+ （2-182）
在弹性势能中，K 是对应于模态坐标q 的结构部件的广义刚度矩阵，通常为
常量。重力势能g W
表示为：
[()]T g P B P P W
W
W r gdW r A s q gdW ρρ=⋅=++Φ⎰⎰ （2-183）
其中g 表示重力加速度矢量，重力g f 可对g W 求导得；
