江苏省无锡市2017届高三(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合{}{0}112A B ==，，，，则A B ⋃=______．2.176cos π=______．3. 若幂函数y f x =（）的图象过点42（，），则16f =（）______．4. 若向量12a =（，），3b m =（，），且a b ，则|||a b +=______．5. 函数||3f x ln x =+（）（）的单调增区间是______．6.计算：2ln33(0.125)e-++=______．7. 已知圆心角是3π的扇形的面积是223cmπ，则该圆心角所对的弧长为______cm ．8. 已知函数x （）是周期为2的奇函数，且1[]0x ∈-，时，f x x =（），则212f =（）______．9. 将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ（＜＜）个单位所得函数记为y f x =（），当23x π=时f x （）取得最大值，则ϕ=______． 10.若cos 23sin(a )4a π=+，sin cos a a =______．11. 若2(x 1)1,1(x)1,1x f x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，且23f a f a -（）＜（），则实数a 的取值范围是______． 12. 在ABC 中，已知|AB |2=，|||1AC =，点M 在边BC 上，4||BC BM =，2AM CB ⋅=，则A B A C ⋅=______． 13. 函数221,04(x)1log ,4x x f x x +≤≤⎧=⎨+<⎩，若0m n ≤<，且(m)f(n)f =，则mf(n)的取值范围是______．14. 函数2f(x)m |31|4|31|1(m 0)x x =---+>在R 上有4个零点，则实数m 的取值范围是______． 二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 设集合2{|3}2A x y log x =-（），2{}2|x B y y a x a a R ==≤≤+∈，，全集U R =．16. （1）若2a =，求U A C ⋂（B ）；17. （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．在ABC 中，已知12AB =（，），40AC m m =（，）（＞）． 18.19. 在△ABC 中，已知=（1，2）， =（4，m ）（m ＞0） （1）若90ABC ∠=︒，求m 的值； （2）若32||BC =2BD DC =，求cos ADC ∠的值．17.如图，在平面直角坐标系中，角αβ，的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若712παπ∈（，），12πβ=，且点A 的坐标为1Am -（，）．（1）若423tan α=-，求实数m 的值； （2）若34tan AOB ∠=-，若2sin α的值．20. 某公司对营销人员有如下规定：21. i （）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金；22. （ⅱ）年销售额x （万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式ay log x b =+，0a （＞，且1a ≠）发放；当年销售额x （万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元． 23. （1）求y 关于x 的函数解析式；24. （2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围．25. 已知奇函数23(x)22x b f x +=+，函数221g t sin t cost =+-（），]3[t m π∈，，m ，b R ∈． 26. （1）求b 的值；（2）判断函数f x （）在[0]1，上的单调性，并证明；（3）当]1[0x ∈，时，函数g t （）的最小值恰为f x （）的最大值，求m 的取值范围．已知向量24a sin x πω=+（（），，4b sin x πω=+（（），20cos x ωω（））（＞），函数•1x a b =-（），f x （）的最小正周期为π．（1）求f x （）的单调增区间； （2）方程210f x n -+=（）；在[0]712π，上有且只有一个解，求实数n 的取值范围；（3）是否存在实数m 满足对任意x 1∈[-1，1]，都存在x 2∈R ，使得 + +m （ - ）+1＞f （x 2）成立．若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】{012}，，【解析】 解：集合{}{0}112A B ==，，，， 则012{}A B ⋃=，，． 故答案为：{012}，，．根据交集的定义写出A B ⋃即可．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题． 2.【答案】2-【解析】解：1773)62cos 66cos cos ππππ-=-=-=（． 故答案为：直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题． 3.【答案】4【解析】解：设幂函数a y f x x ==（）， 幂函数y f x =（）的图象过点42（，）， 42a ∴=， 解得：12a =，12y f x x ∴==（）164f ∴=（），故答案为：4根据已知求出函数的解析式，将16x =代入可得答案．本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题． 4.【答案】45解：||a b ，60m ∴-=，解得6m =． |48a b ∴+=（，）． 则2|4|a b +=+=故答案为：利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】[2-+∞，） 【解析】解：根据题意，ln(x 3)x 23ln(x 33x ||),2f x ln x +≥-⎧=+=⎨-+-<<-⎩（）（）， 即当2x ≥-时，3f x ln x =+（）（）， 令3t x y lnt =+=，，在[2-+∞，）上，1t ≥，此时3t x =+为增函数，y lnt =也为增函数，则函数f x （）为增函数； 当32x --＜＜时，3f x ln x =-+（）（）， 令3t x y lnt =+=-，，在32--（，）上，01t ＜＜，此时3t x =+为增函数，y lnt =-为减函数，则函数f x （）为减函数； 故函数||3f x ln x =+（）（）的单调增区间是[2-+∞，）； 故答案为：[2-+∞，）． 根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题． 6.【答案】11【解析】解：原式233134[()]2-=++ 7411=+=．故答案为：11．利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，属于基础题． 7.【答案】23π【解析】解：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为rad α（），半径为r ，扇形的面积为S ， 则：2322234Sr ππα⨯===．解得2r =，可得：扇形的弧长为2233l r ππα==⨯=cm ．故答案为：23π．利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值． 本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 8.【答案】【解析】解：根据题意，函数x （）是周期为2的函数，则211110222f f f =+=（）（）（），又由f x （）为奇函数，则11112222f f =-=-（）（）（-）=，则21122f =（）；故答案为：12根据题意，由函数的周期性可得211110222f f f =+=（）（）（），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得11112222f f =-（）（-）=-（-）=，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题． 9.【答案】512π【解析】解：将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ（＜＜）个单位，所得函数记为22y f x sin x ϕ==-（）（）， 当23x π=时f x （）取得最大值，则42232k ππϕπ-=+，5226k Z k πϕπ∈∴=-+．，令0k =，可得512πϕ=， 故答案为：512π．利用函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换规律求得f x （）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得ϕ的值．本题主要考查函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题． 10.【答案】49【解析】解：cos 2sin )4a a π=+（，2232=，即3=，13cos sin αα∴-=，两边平方得：112sin cos 9a a -=，49sin cos αα∴=．故答案为：49．由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得1cos sin 3αα-=，两边平方得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题． 11.【答案】12-∞（，）【解析】解：2(x 1)1,11,1x f x x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩（），可得1x ＞时，f x （）递减； 1x ≤时，f x （）递减， 且11f =（），可得f x （）在R 上递减， 23f a f a -（）＜（），可得23a a -＞， 解得12a ＜，故答案为：12-∞（，）．讨论f x （）在1x ＞和1x ≤的单调性，可得f x （）在R 上递减，进而可得a 的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题． 12.【答案】32【解析】解：4BM BC ==， 11()44BM BC AC AB ∴==-， 1344AB BM AC AB+=+， 21||||AB AC ==，，()()AM BC AB BM AC AB ⋅=+⋅-，13•44AC AB AC AB =+-（）（）， 22113424AC AB AC AB =+⋅-， 13142442AB AC =-⨯+=-， 32AB AC ∴=⋅=， 故答案为：32．由向量加法及减法的三角形法则可得，()()AM BC AB BM AC AB ⋅=+⋅-，结合已知即可求解AB AC ⋅．本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础试题． 13.【答案】36]3（，【解析】 解：作出函数221,041log ,4X x f x x x +≤<⎧=⎨+<⎩（）的图象，可得12f n f m m ==+（）（），14m ≤＜，则2122mf n m m m m =+=+（）（）在14]（，递增，可得 mf n （）的范围是36]3（，． 故答案为：36]3（，．作出f x （）的图象，求得f n （），m 的范围及mf n （）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.【答案】34（，）【解析】 解：根据题意，对于函数2||31|431|1x x f x m =---+（），设|1|3x t =-，则241y mt t =-+，|1|3x t =-的图象如图：若函数23143||11||0x x f x m m =---+（）（＞）在R 上有4个零点， 则方程2410mt t -+=在区间01（，）有2个根， 则有164020130m m m ->⎧⎪⎪<<⎨⎪->⎪⎩，解可得：34m ＜＜，即m 的取值范围为34（，）； 故答案为：34（，）根据题意，设|1|3x t =-，则241y mt t =-+，作出|1|3x t =-的草图，据此分析可得方程2410mt t -+=在区间01（，）有2个根，结合一元二次函数的性质可得164020130m m m ->⎧⎪⎪<<⎨⎪->⎪⎩，解可得m 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题． 15.【答案】解：（1）集合220{|}{|}322{|32032}x A x y log x x x x x -≥⎧⎨-==-==≤>⎩（）＜，2a =时，{|2x B y y ==，{}|2416}4x y y ≤≤=≤≤，又全集U R =，{4|UC B x x ∴=＜或6}1x ＞， 2{|4U C A x x ∴⋂=≤（B ）＜，或1632}x ＜＜；（2）A B A B A ⋃=∴⊆，，又{}222|a a B y y +=≤≤，232{|}A x x =≤＜，222232aa +⎧≥⎪∴⎨<⎪⎩，解得实数a 的取值范围是13a ≤＜． 【解析】（1）求定义域得集合A ，求出2a =时集合B ，再根据集合的定义计算即可； （2）由A B A ⋃=得出B A ⊆，由此列不等式求出实数a 的取值范围．本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题． 16.【答案】解：（1）若90ABC ∠=︒，则0AB BC ⋅=，32BC AC AB m =-=-（，）， 3240m ∴+-=，12m ∴=． （2）||32BC =，9(m +-=， 0m ＞，5m ∴=，2BD DC =，1113DC BC ∴==（，），2223BD BC ==（，）， 而34ADAD AB BD =+=（，）， 34DA ∴=--（，）， 31417210||||52DA DC cos ADC DA DC ⋅-⨯-⨯∴∠===-．【解析】（1）由题意可知0AB BC ⋅=，结合向量的数量积的性质即可求解m （2）由32||BC =，结合向量数量积的性质可求m ，然后结合2BD DC =，及向量夹角公式||||DA DC cos ADC DA DC ⋅∠=可求本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用． 17.【答案】解：（1）由题意可得224213tan tan tan ααα==--，12tan α∴=-，或2tan α=． 712παπ∈（，），12tan α∴=-，即112m =--，12m ∴=． （2）sin()312124cos()12tan AOB tan tan παπαβαπα-∠=-=-==--（）（），2211()()1,[,]121212212sin cos ππππαπαα--∈-+=，34125125sin cos ππαα∴-=-=-（），（）， 24226121225sin sin cos πππααα∴-=--=-（）（）（），2722161225cos cos ππαα-=--=（）（），22226666[6]6sin sin sin cos cos sin ππππππαααα∴=-+=-+-=（）（）（）．【解析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tan α的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值． （2）利用同角三角函数的基本关系，求得12sin πα-（）和12cos πα-（）的值，再利用两角和的正弦公式求得[6]226sin sin ππαα=-+（）的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：（1）864x ≤＜，年销售额越大，奖金越多，a y log xb ∴=+在84]6（，上是增函数． log 161log 643a a b b +=⎧∴⎨+=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩．864x ∴≤＜时，23y log x =-+；又64x ≥时，y 是x 的一次函数，设0y kx m k =+≠（）， 由题意可得：643805k m k m +=⎧⎨+=⎩，解得185k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． 64x ∴≥时，158y x =-．∴y 关于x 的函数解析式为20,08log 3,86415,648x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎩；（2）当08x ≤≤时，不合题意；当864x ≤＜时，2234log x -+＜＜，解得32128x ＜＜．3264x ∴≤＜．当64x ＞时，1548x -<，解得72x ＜，6472x ∴＜＜．综上，3272x ＜＜．答：该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【解析】（1）由已知可得ay log x b =+在84]6（，上是增函数，再结合已知列关于a ，b 的方程组，求解可得函数解析式；又64x ≥时，y 是x 的一次函数，设0y kx m k =+≠（），再由已知可得关于m ，k 的方程组求解可得64x ≥时，158y x =-，则函数解析式可求； （2）当08x ≤≤时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.【答案】解：（1）奇函数23()22x b f x x +=+，可得00f =（）， 即0b =；（2）23(x)22x f x =+在[0]1，单调递增， 证明：设12x x ，是[0]1，上任意两个值，且12x x ＜，2121122122222121()(1)33(x )f(x )()2112(1)(1)x x x x x x f x x x x ---=-=⋅++++，由121]0[x x ∈，，，且12x x ＜， 可得210x x -＞，1210x x -＞，2110x +＞，2210x +＞，即有210f x f x -（）（）＞，即21f x f x （）＞（）， 可得f x （）在[0]1，递增；（3）由（2）可得f x （）在[0]1，递增，可得314max f x f ==（）（）， 可得g t （）的最小值为34， 令s cost =，所以22s s s =-+的最小值为34， 所以1322s ≤≤，即112cost ≤≤，]3[t m π∈，， 由y cost =的图象可得33m ππ-≤＜．【解析】（1）由奇函数的性质可得00f =（），解方程即可得到b ；（2）2322x f x x =+（）在[0]1，单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f x （）的最大值，即可得到g t （）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）函数2•b 12214f x a sin x x πωω=-=+--（）（）（）22sin x x ωω=（）（） 223sin x πω=-（）f x （）的最小正周期为π．0ω＞ 22ππω∴=， 1ω∴=．那么f x （）的解析式223f x sin x π=-（）（） 令222232k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈ 得：51212k x k ππππ-≤≤+ f x ∴（）的单调增区间为[k k 5]1212ππππ-+，，k Z ∈． （2）方程210f x n -+=（）；在[0]712π，上有且只有一个解， 转化为函数1y f x =+（）与函数2y n =只有一个交点． x 在[0]712π，上， 52336x πππ∴-≤-≤（） 那么函数12213y f x sin x π=+=--（）（）的值域为]，结合图象可知函数1y f x =-（）与函数2y n =只有一个交点． 那么1122n ≤<或21n =， 可得1122n -≤<或12n =．（3）由（1）可知223f x sin x π=-（）（）22min f x ∴=-（）． 实数m 满足对任意11[]1x ∈-，，都存在2x R ∈，使得11114()()?4?2?2?12x x x x m f x --++-+>成立．即1111?44?2?2?(>12x x x x m --++-+-）成立令1111?44221x x x x y m --=++-+（？）？？设1122x x t --=？？，那么111122442222x x x x t --+=-+=+？？）？？（11]1[x ∈-，，332[2]t ∴∈-，， 可得250t mt ++＞在3322[]t ∈-，上成立． 令250g t t mt =++（）＞， 其对称轴m 2t =- 332[]2t ∈-，上， ∴①当322m -≤-时，即3m ≥时，32930242min m g t g ==>--（）（），解得2936m ≤<； ②当33222m -<-<，即33m -＜＜时，2(>(t))5024m m g min g =-=-，解得33m -＜＜； ③当322m ≤-，即3m ≤-时，329300242min m g t g ==>（）（）+＞，解得2936m -≤-＜； 综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是292966（-，）． 【解析】（1）函数•1f x a b =-（），f x （）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f x （）的单调增区间．（2）根据x 在[0]712π，上求解f x （）的值域，即可求解实数n 的取值范围； （3）由题意，求解2f x （）的最小值，利用换元法求解111144221x x x x y m --=++-+（）的最小值，即可求解m 的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。

，
y
16x 4 x2
2
，且
B -2,1
，则曲线在
B
处的切线斜率为
1 2
，
∴


2

a
2

2 2 a
1 1
，∴
a

6
，


1 16
，

2
∴曲线段 AB 在图纸上对应函数的解析式为 y 1 x 62 -6 x 2 ；
16 （2）设 P 为曲线段 AC 上任意一点．
【分析】由集合 A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，结合集合交集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合 A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，
∴A∩B={x|1＜x＜3}，
故答案为：{x|1＜x＜3}
2．2．复数 z 1 i ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的虚部是__ 1 ___．
要证 x1x2
e2k ，只要证 x2

e2k x1
，即证，
∵ f x 在区间 ek , 上单调递增，
∴
f
x2

f
e2k

x1
，
又
f
x1
f
x2 ，即证
f
x1
f
e2k

x1
，
构造函数 h x
f
x
2 2
，∴
y1

y2

k
x1

x2


4k
．
即
y1

y2
k x1

，A k (xk , yk ) ，则
(x y )
k i1 i i
．
x1 22x 1 2 2 y 2 x2 ， 解析： 易知该函数在 R 上增， 值域为 0,2， 且图象关于点 0,1 x x 2 1 2 1 2 1
对称.
1
y x 1 1 1 ，易知该函数在 R 上减，且图象关于点 0,1 对称. x x
江苏省十三大市 2017 届高三期末考试 填空题压轴题解析
一、镇江市 2017 届高三年级第一次模拟考试
2 12、不等式 log 1 ,100 ) 恒成立，则实数 a a x ln x 4（ a 0且 a 1）对任意 x(
的取值范围为
．
答案：
0,1
1 e4 ,
f (x) x1(e1 )lnx，其中 e 是自然对数的底数，则满足 f (ex) 0错误 !未找到引用源。
.
的 x 的取值范围是___ 答案：
(0,1 ) f (x) 是定义在 R的奇函数，且当 x > 0时， f (x) = x2 + 2x ，则实数 a 的取值范围
．
5.已知函数 是 答案：
(- ? , 2)? (1 , ?)
14、已知不等式 (mn )2 (mlnn 围为 ．
)2 2对任意 mR，n(0, ) 恒成立，则实数 的取值范
1 答案： …
解析：联想已知中式子的结构，问题转化为两动点 (mm , ) 、 (n,lnn) 间距离的平方不小于 2. 考虑“形”，意即直线
解析：由换底公式得： lna
ln x ln2 x 4 1 t 4 在 0t ln1000 上恒成立 lna t
令 lnx t(0t ln1000) ，则问题转化为

2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B=______．2.cos=______．3.若幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则f（16）=______．4.若向量=（1，2），=（3，m），且 ∥，则|+|=______．5.函数f（x）=|ln（x+3）|的单调增区间是______．6.计算：=______．7.已知圆心角是的扇形的面积是cm2，则该圆心角所对的弧长为______cm．8.已知函数（x）是周期为2的奇函数，且x∈[-1，0]时，f（x）=x，则f（）=______．9.将函数y=sin2x向右平移φ（0＜φ＜π）个单位所得函数记为y=f（x），当x=时f（x）取得最大值，则φ=______．10.若=，sinαcosα=______．11.若f（x）=，，＞，且f（2-a）＜f（3a），则实数a的取值范围是______．12.在△ABC中，已知||=2，||=1，点M在边BC上，4=，•=2，则•=______．13.函数f（x）=，若0≤m＜n，且f（m）=f（n），则mf（n）的取值范围是______．14.函数f（x）=m|3x-1|2-4|3x-1|+1（m＞0）在R上有4个零点，则实数m的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设集合A={x|y=+log2（32-x）}，B={y|y=2x，a≤x≤a+2，a∈R}全集U=R．（1）若a=2，求（∁U B）∩A；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．16.在△ABC中，已知=（1，2），=（4，m）（m＞0）．（1）若∠ABC=90°，求m的值；（2）若||=3，且=2，求cos∠ADC的值．17.如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若α∈（，π），β=，且点A的坐标为A（-1，m）．（1）若tan2α=-，求实数m的值；（2）若tan∠AOB=-，若sin2α的值．18.某公司对营销人员有如下规定：（i）年销售额x（万元）不大于8时，没有年终奖金；（ⅱ）年销售额x（万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x（万元）不大于64时，年终奖金y（万元）按关系式y=log a x+b，（a＞0，且a≠1）发放；当年销售额x（万元）不小于64时，年终奖金y（万元）为年销售额x（万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元．（1）求y关于x的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x（万元）的取值范围．19.已知奇函数f（x）=，函数g（t）=sin2t+2cos t-1，t∈[m，]，m，b∈R．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并证明；（3）当x∈[0，1]时，函数g（t）的最小值恰为f（x）的最大值，求m的取值范围．20.已知向量=（2sin（ωx+），-），=（sin（ωx+），cos（2ωx））（ω＞0），函数（x）=•-1，f（x）的最小正周期为π．（1）求f（x）的单调增区间；（2）方程f（x）-2n+1=0；在[0，]上有且只有一个解，求实数n的取值范围；（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得4+4+m（2-2）+1＞f （x2）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】{0，1，2}【解析】解：集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．根据交集的定义写出A∪B即可．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2.【答案】【解析】解：cos=cos（3π-）=-cos=．故答案为：直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题．3.【答案】4【解析】解：设幂函数y=f（x）=x a，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴4a=2，解得：a=，∴y=f（x）=∴f（16）=4，故答案为：4根据已知求出函数的解析式，将x=16代入可得答案．本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题．4.【答案】4【解析】解：∵∥，∴m-6=0，解得m=6．∴=（4，8）．故答案为：4．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】[-2，+∞）【解析】解：根据题意，f（x）=|ln（x+3）|=，即当x≥-2时，f（x）=ln（x+3），令t=x+3，y=lnt，在[-2，+∞）上，t≥1，此时t=x+3为增函数，y=lnt也为增函数，则函数f（x）为增函数；当-3＜x＜-2时，f（x）=-ln（x+3），令t=x+3，y=-lnt，在（-3，-2）上，0＜t＜1，此时t=x+3为增函数，y=-lnt为减函数，则函数f（x）为减函数；故函数f（x）=|ln（x+3）|的单调增区间是[-2，+∞）；故答案为：[-2，+∞）．根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题．6.【答案】11【解析】解：原式=3+4+=7+4=11．故答案为：11．利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，属于基础题．7.【答案】【解析】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r2===4．解得r=2，可得：扇形的弧长为l=rα=2×=cm．故答案为：．利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：根据题意，函数（x）是周期为2的函数，则f（）=f（+10）=f（），又由f（x）为奇函数，则f（）=-f（-）=-（-）=，则f（）=；故答案为：根据题意，由函数的周期性可得f（）=f（+10）=f（），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得f（）=-f（-）=-（-）=，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题．9.【答案】【解析】解：将函数y=sin2x向右平移φ（0＜φ＜π）个单位，所得函数记为y=f（x）=sin（2x-2φ），∵当x=时f（x）取得最大值，则-2φ=2kπ+，k∈Z．∴2φ=-2kπ+，令k=0，可得φ=，故答案为：．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得φ的值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．10.【答案】【解析】解：∵=，∴，即，∴cosα-sinα=，两边平方得：，∴sinαcosα=．故答案为：．由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得cos，两边平方得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题．11.【答案】（-∞，）【解析】解：f（x）=，可得x＞1时，f（x）递减；x≤1时，f（x）递减，且f（1）=1，可得f（x）在R上递减，f（2-a）＜f（3a），可得2-a＞3a，解得a＜，故答案为：（-∞，）．讨论f（x）在x＞1和x≤1的单调性，可得f（x）在R上递减，进而可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：∵4=，∴==，∵=，∵||=2，||=1，=，=（）•（），=，==-2，∴=，故答案为：．由向量加法及减法的三角形法则可得，=，结合已知即可求解．本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础试题．13.【答案】（3，36]【解析】解：作出函数f（x）=的图象，可得f（n）=f（m）=1+2m，1＜m≤4，则mf（n）=m（1+2m）=2m2+m在（1，4]递增，可得mf（n）的范围是（3，36]．故答案为：（3，36]．作出f（x）的图象，求得f（n），m的范围及mf（n）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.【答案】（3，4）【解析】解：根据题意，对于函数f（x）=m|3x-1|2-4|3x-1|+1，设t=|3x-1|，则y=mt2-4t+1，t=|3x-1|的图象如图：若函数f（x）=m|3x-1|2-4|3x-1|+1（m＞0）在R上有4个零点，则方程mt2-4t+1=0在区间（0，1）有2个根，则有，解可得：3＜m＜4，即m的取值范围为（3，4）；故答案为：（3，4）根据题意，设t=|3x-1|，则y=mt2-4t+1，作出t=|3x-1|的草图，据此分析可得方程mt2-4t+1=0在区间（0，1）有2个根，结合一元二次函数的性质可得，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．15.【答案】解：（1）集合A={x|y=+log2（32-x）}={x|}={x|2≤x＜32}，a=2时，B={y|y=2x，2≤x≤4}={y|4≤y≤16}，又全集U=R，∴∁U B={x|x＜4或x＞16}，∴（∁U B）∩A={x|2≤x＜4，或16＜x＜32}；（2）∵A∪B=A，∴B⊆A，又B={y|2a≤y≤2a+2}，A={x|2≤x＜32}，∴ ，解得实数a的取值范围是1≤a＜3．【解析】（1）求定义域得集合A，求出a=2时集合B，再根据集合的定义计算即可；（2）由A∪B=A得出B⊆A，由此列不等式求出实数a的取值范围．本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题．16.【答案】解：（1）若∠ABC=90°，则=0，∵==（3，m-2），∴3+2m-4=0，∴m=．∴，∵m＞0，∴m=5，∵=2，∴==（1，1），==（2，2），而AD==（3，4），∴=（-3，-4），∴cos∠ADC===．【解析】（1）由题意可知=0，结合向量的数量积的性质即可求解m（2）由||=3，结合向量数量积的性质可求m，然后结合=2，及向量夹角公式cos∠ADC=可求本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．17.【答案】解：（1）由题意可得tan2α==-，∴tanα=-，或tanα=2．∵α∈（，π），∴tanα=-，即=-，∴m=．（2）∵tan∠AOB=tan（α-β）=tan（α-）==-，+=1，α-∈[，]，∴sin（α-）=，cos（α-）=-，∴sin（2α-）=2sin（α-）cos（α-）=-，cos（2α-）=2cos2（α-）-1=，∴sin2α=sin[（2α-）+]=sin（2α-）cos+cos（2α-）sin=．【解析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tanα的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α-）和cos（α-）的值，再利用两角和的正弦公式求得sin2α=sin[（2α-）+]的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角18.【答案】解：（1）∵8＜x≤64，年销售额越大，奖金越多，∴y=log a x+b在（8，64]上是增函数．∴ ，解得．∴8＜x≤64时，y=-3+log2x；又∵x≥64时，y是x的一次函数，设y=kx+m（k≠0），由题意可得：，解得．∴x≥64时，y=．∴y关于x的函数解析式为，，＜，＞；（2）当0≤x≤8时，不合题意；当8＜x≤64时，2＜-3+log2x＜4，解得32＜x＜128．∴32＜x≤64．当x＞64时，＜，解得x＜72，∴64＜x＜72．综上，32＜x＜72．答：该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【解析】（1）由已知可得y=log a x+b在（8，64]上是增函数，再结合已知列关于a，b的方程组，求解可得函数解析式；又x≥64时，y是x的一次函数，设y=kx+m（k≠0），再由已知可得关于m，k的方程组求解可得x≥64时，y=，则函数解析式可求；（2）当0≤x≤8时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.【答案】解：（1）奇函数f（x）=，可得f（0）=0，即b=0；（2）f（x）=在[0，1]单调递增，证明：设x1，x2是[0，1]上任意两个值，且x1＜x2，f（x2）-f（x1）=（-）=•，由x1，x2∈[0，1]，且x1＜x2，可得x2-x1＞0，1-x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，即有f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），可得f（x）在[0，1]递增；（3）由（2）可得f（x）在[0，1]递增，可得f（x）max=f（1）=，可得g（t）的最小值为，令s=cos t，所以s=-s2+2s的最小值为，所以≤s≤，即≤cos t≤1，t∈[m，]，由y=cos t的图象可得-≤m＜．【解析】（1）由奇函数的性质可得f（0）=0，解方程即可得到b；（2）f（x）=在[0，1]单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f（x）的最大值，即可得到g（t）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）函数f（x）=•-1=2sin2（ωx）-cos（2ωx）-1=sin（2ωx）-cos（2ωx）=2sin（2ωx）∵f（x）的最小正周期为π．ω＞0∴，∴ω=1．那么f（x）的解析式f（x）=2sin（2x）令2x，k∈Z得：≤x≤∴f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z．（2）方程f（x）-2n+1=0；在[0，]上有且只有一个解，转化为函数y=f（x）+1与函数y=2n只有一个交点．∵x在[0，]上，∴≤（2x）那么函数y=f（x）+1=2sin（2x）-1的值域为[，1]，结合图象可知函数y=f（x）-1与函数y=2n只有一个交点．那么≤2n＜或2n=1，可得＜或n=．（3）由（1）可知f（x）=2sin（2x）∴f（x2）min=-2．实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得4+4+m（2-2）+1＞f（x2）成立．即4+4+m（2-2）+1＞-2成立令y=4+4+m（2-2）+1设2-2=t，那么4+4=（2-2）2+2=t2+2∵x1∈[-1，1]，∴t∈[-，]，可得t2+mt+5＞0在t∈[-，]上成立．令g（t）=t2+mt+5＞0，其对称轴t=∵t∈[-，]上，∴①当时，即m≥3时，g（t）min=g（）=＞，解得＜；②当＜＜，即-3＜m＜3时，g（t）min=g（）=＞0，解得-3＜m＜3；③当，即m≤-3时，g（t）min=g（）=＞＞0，解得＜m≤-3；综上可得，存在m，可知m的取值范围是（，）．【解析】（1）函数f（x）=•-1，f（x）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f（x）的单调增区间．（2）根据x在[0，]上求解f（x）的值域，即可求解实数n的取值范围；（3）由题意，求解f（x2）的最小值，利用换元法求解y=4+4+m（2-2）+1的最小值，即可求解m的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。