第五章 不定积分
习题5.1 (A)
1、验证在()-∞+∞， 内，2sin x ，1
cos22
x -，2cos x -都是同一函数的原函数。
解 因为221(sin )(cos2)(cos )sin 22x x x x '''=-=-=, 所以2sin x ，1cos22
x -，2cos x -都是x 2sin 的原函数。
2、已知一条曲线上任意点处切线斜率与该点的横坐标成正比，又知曲线过点(24)，，并在该点处的切线的倾角为
4
π
，求该曲线方程。 解 设曲线方程为)(x f y =，切点的横坐标为x ，比例常数为k ，从而kx x f =')(。 由于14
tan
2)2(==='π
k f ，故2
1
=
k ，从而 21
()4
f x x C =+
又因为曲线过点(2,4)，即41)2(=+=C f ，得3=C ，所以曲线的方程为
2
1()34
f x x =
+。 3、设()f x 的导函数是sin x ，求()f x 的原函数的全体。 解 因为x x f sin )(='，所以
C x xdx dx x f x f +-=='=⎰⎰cos sin )()(
从而)(x f 的原函数的全体为
⎰⎰+-=+-=1
sin )cos ()(C
x Cx dx C x dx x f 。
4、已知
1
(1)x f x dx xe
C ++=+⎰，求函数()f x 。
解 由不定积分的性质有
111[(1)](1)(1)x x x f x dx f x xe e x e +++'+=+=+=+⎰
所以，令1+=x t ，有 t e t f t
=)(，即x e x f x
=)(。
5、一曲线通过点()
23e ，，且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该积分曲线。 解 设曲线方程为)(x f y =，由题设有x
x f 1
)(=
'，即 C x dx x
dx x f +=='⎰⎰
ln 1
)(
又因为点()
23e ，在曲线上，则有3ln 2
=+C e ，1=C ，故该曲线的方程为
1ln +=x y 。
(B)
1、设22(cos )sin f x x '=，且(0)0f =，求()f x 。
解 令2cos u x =，则由题设有()1f u u '=-，于是2
1()2
f u u u C =-
+，即 21()2f x x x C =-
+，令(0)0f C ==，所以21()2
f x x x =-. 2、符号函数1,0
()sgn 0,01,0x f x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩
在(,)-∞+∞内是否存在原函数？为什么？
解 不存在，假设有原函数()F x ，,0(),0,0x c x F x c x x c x +>⎧⎪==⎨⎪-+<⎩
，其中0c ≠，但()F x 在0x =处不可微，假设错误，故()f x 在(,)-∞+∞内不存在原函数.
习题5.2
1、 求下列不定积分。
(1)
⎰； (2) 112
2
2
(369)x x x dx -
++⎰；
(3) 1)dx -⎰； (4) 2
3
(2)x dx x -⎰； (5)
3(2)x
e dx x
+⎰；
(6)23 (1dx x -+⎰； (7) (13)x
x
e dx -⎰； (8) 623x x
x
dx -⎰；
(9) 2cos 2x dx ⎰； (10) 1
1cos2dx x
+⎰；
