分组分解法专项训练
一、基础概念：
1．应用题型：
整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解． 2．三步曲：
我们用上面的整式来说明如何进行分组分解： 【例1】分解因式：ax by bx ay --+．
解：
()() ()() ax by bx ay
ax bx ay by x a b y a b x y a b --+=-+-=-+-=+-【分为两组】【提公因式】
【再提公因式】
一般地，分组分解大致分为三步： （1）将原式进行适当分组；
（2）对每一组分别进行处理（“提”或“代”）；
（3）将经过处理后的每一组当作一项，再采取“提”或“代”进行分解．
高明的棋手，在下棋时绝不会只看一步．同样，在进行分组时，不仅要看到第二步，而且也要看第三 步．一个整式的项有许多种分组的方法，初学者往往需要经过尝试才能找到适当的分组方法，但是只要努力实践，多加练习，就会成为有经验的“行家”． 3．殊途同归：
分组的方法并不是唯一的，对于上面的整式ax by bx ay --+，也可以采用下面的做法：
()
()()()()
ax by bx ay ax ay bx by a x y b x y x y a b --+=+-+=+-+=+-
两种做法的效果十一样，殊途同归！可以说，一种按照x 与y 来分组（含x 的项在一组，含y 的项在另 一组）；另一种是按a 和b 来分组．
【例2】分解因式：221x ax x ax a +++--．
解法一：按字母x 的幂来分组． 解法二：按字母a 的幂来分组
222222 1()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)
x ax x ax a x ax x ax a x a x a a a x x +++--=+++-+=+++-+=++- 2222222 11(1)1(1)(1)
x ax x ax a ax ax a x x a x x x x a x x +++--=+-++-=+-++-=++-
3．平均分配：
在例2中，原式的6项是平均分配的，或者分成三组，每组两项；或者分成两组，每组三项．如果分
组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提，那么就必须平均分配．
两种做法的效果十一样，殊途同归！可以说，一种按照x 与y 来分组（含x 的项在一组，含y 的项在另 一组）；另一种是按a 和b 来分组．
【例3】分解因式：3254222x x x x x --++-．
解：6项可以分成三组，每组两项，我们把幂次相近的项放在一起，即：
325454324242 222222(2)(2)(2)(2)(1)
x x x x x x x x x x x x x x x x x x --++-=-+--+=-+---=-+-
本例也可以将6项分成两组，每组三项，即将系数为1的放在一组，系数为2-的放在另一组．详细过程请大家自己完成．
【例4】分解因式：2222ac bd ad bc +--． 解：
22222222222222 ()()()()
()()()
ac bd ad bc ac ad bd bc a c d b d c a b c d a b c d c d +--=-+-=-+-=--=-+- 你可以考虑另一种分组分解呢． 4．利用公式：
如果在第二步或者第三步中需要应用乘法公式，那么各组的项数不一定相等，应根据公式的特点来确定．
【例5】分解因式：2212x x y ---+．
解：利用完全平方公式和平方差公式来分组进行因式分解．
22222
2
12(21)(1)
(1)(1)
x x y y x x y x y x y x ---+=-++=-+=++--
【例6】分解因式：31ax x a +++．
解：根据a 的幂来分组是可以行得通的，恰好能用上立方和公式，并为下一步提取公因式奠好基础．
332
2 1()(1)(1)(1)(1)(1)(1)
ax x a ax a x a x x x x x ax ax a +++=+++=+-+++=+-++
【例7】分解因式：43221x x x x ++++．
解：利用完全平方公式及提公因式法进行因式分解．
43242322222 21(21)(1)(1)(1)(1)
x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=+++=+++
5．从零开始：
如果分组分得不恰当，因式分解无法进行下去，那么就应当回到分组前的状况，从零开始，考虑新的分组．
【例8】分解因式：3232x x y y +--．
解：如果把有x 的项集中在一起，有y 的项集合到一起，那么
3232323222 ()(1)(1)
x x y y x x y y x x y y +--=+-+=+-+ 虽然每一组都有公因式可提，但是两组之间却无公因式可提，也没有公式可以利用，分解无法进行下去．这时，必须从零开始，重新分组． 这次将次数相同的项放在一起，我们有：
323233222
2
22 ()()
()()()()()()
x x y y x y x y x y x xy y x y x y x y x xy y x y +--=-+-=-+++-+=-++++
【例9】分解因式：2222()()ab c d a b cd ---．
解：此式无法直接进行分解，必须先用乘法分配律将原式变为四项，再进行分组．
222222222222 ()()()()()()
ab c d a b cd abc abd a cd b cd abc a cd b cd abd ac bc ad bd bc ad ac bd bc ad ---=--+=-+-=-+-=+- 从这个例子可以看出，错误的分组还不如不分组．一定先确定好思路再下笔，会事半功倍哟~
二、强化训练：
1．ax ay bx cy cx by -++-- 2．4321x x x ++-
3．22(1)1a b b b b -+-+- 4．222224()x a x a x +--
