2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝【答案】D把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。
所以选D.2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i【答案】B.,5-4-1-∴,2-,2212211B z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+=3.设向量a,b 满足|a+b|a-ba ⋅b = ( ) A. 1 B. 2C. 3D. 5【答案】A.,1,62-102∴,6|-|,10||2222A b a b a b a b a b a b a 故选联立方程解得，，==+=++==+4.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 1【答案】B..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。
为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45【答案】 A.,8.0,75.06.0,A p p p 故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=•=6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. 1727B. 59C. 1027D. 13【答案】 C..2710π54π34-π54π.342π944.2342π.546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==∴=•+•=∴=•=∴π7.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】 C.3 7 2 2 5 2 13 1 ,2,2C K S M t x 故选变量变化情况如下：==8.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 D..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(D a f f x a x f x ax x f 故选联立解得且==′=∴+=′∴+=9.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 2 【答案】 B..8,)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A.B.C. 6332D. 94【答案】 D..49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2ΔOAB D n m S n m n m n n m m n BF m AF B A 故选，解得直角三角形知识可得，，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+••=∴=+∴=+=•=+•===11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C.D.【答案】 C..10305641-0||||θcos 2-1-,0(2-1,1-(∴).0,1,0(),0,1,1(),2,0,2(),2,2,0(,2,,111111C AN BM N M B A C C BC AC Z Y X C C A C B C 故选）。
2014年重点高中二年一期期末检测试卷数 学（理）参考答案11、>；12、（-4,2，-4）；13、（0,1）；14、6；15、（1）[0,1] （2）9(,2]4--. 三、解答题：（共75分）16.（12分）(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理得，a c ＝2sin A 3＝sin A sin C .∵sin A ≠0，∴sin C ＝32.∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.………6分 (2)∵c ＝7，C ＝π3，由面积公式得12ab sin π3＝332，即ab ＝6.① ………7分由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7， ………10分∴(a ＋b )2＝7＋3ab .②由①②得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5. ………12分 17. （12分）证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P M . ……1分 （1）证明：因为.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP ⊥=⋅==所以故 ……3分 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD . …… 5分 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD . ……6分 （2）设平面MAC 的法向量为n=(x,y,z)，又),0,2,0(),21,1,0(==AM ……8分则1020y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 得法向量n=(1,-1,2)，取平面ABC 的法向量m=(0,0,1) ……10分 设二面角M AC B --的平面角为θ，且θ为锐角，则cos θ∙=m n m n…12分 18．（12分）（1）由题意可得：22,06811,6k x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩ …………2分 ∵23x L ==时，, ∴322228k=⨯++-. ………………………………………4分 ∴k=18 …………………………………5分 （2）当06x <<时，18228L x x =++-.所以18182(8)18[2(8)]1818688L x x x x =-++=--++≤-=--. 当且仅当182(8)8x x-=-，即5x =时取得等号.……………………………10分 当6x ≥时，115L x =-≤ 所以当5x =时，L 取得最大值6. …11分所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元.………………12分19．（13分）（1）1113,23,121n n n n b b S S n n b n ++==-=+==+也符合，故 ………4分 （2）,121+=n b n ）可知由（12,321121+=+=+=+=∴++++n a a b n a a b n n n n n n.41,2212=-==-∴+a a a a n n ，又 ……………7分∴当n=2k-1为奇数（+∈N k ）时，}{12-k a 成等差数列，其首项为-1，公差为2， 即当21+=n k 时，22)121(12)1(1-=⨯-++-=⨯-+-=n n k a n ；……………10分 当n=2k 为奇数（+∈N k ）时，}{2k a 成等差数列，其首项为4，公差为2， 即当2n k =时，22)121(12)1(1-=⨯-++-=⨯-+-=n n k a n ……………13分综上所述，⎩⎨⎧+-=为偶数）（为奇数n n n n a n 2)(220. （13分）(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝1， ………1分又∵AF →·FB →＝(a ＋c )·(a －c )＝a 2－c 2＝1.∴a 2＝2，b 2＝1， ………3分 故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. ………4分(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵M (0,1)，F (1,0)，MF 的斜率为-1， ∴直线l 的斜率k ＝1. ……… 5分于是设直线l 为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 22＋y 2＝1得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， ………6分x 1＋x 2＝－43m ， ……… ①x 1x 2＝2m 2－23.……… ②222=(4)43(22)8240m m m -⨯⨯-=-+>Vm ………8分 ∵MP →·FQ →＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0. 又y i ＝x i ＋m (i ＝1,2)，∴x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0， 即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0. … 9分 将①②代入得2·2m 2－23－4m 3(m －1)＋m 2－m ＝0， ………10分解得m ＝－43或m ＝1， ………11分检验m ＝－43符合条件，m ＝1时直线l 过M 点，不能构成三角形，故m ＝1舍去…12分故存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心， 直线l 的方程为y ＝x －43.故所求的直线l 为：3340x y --= ………13分 21．（13分）（1）由已知知函数f(x)的定义域为（0，+∞），'()ln 1f x x =+ ……1分 当'1(0,),()0,()x f x f x e∈<单调递减，当'1(,),()0,()x f x f x e∈+∞>单调递增，…2分 ①102t t e<<+<，没有最小值； ②102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e==-； ③12t t e ≤<+，即1t e≥时，f(x)在[t ，t+2]上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==； 所以min11,0()1ln ,t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩； ………4分（2）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x≤++， ………5分 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则'2(3)(1)()x x h x x +-=， ① '(0,1),()0,()x h x h x ∈<单调递减， ②'(1,),()0,()x h x h x ∈+∞>单调递增，……6分 所以min ()(1)4h x h ==，对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立， ………7分 所以min ()4a h x ≤=； ………8分 （3）问题等价于证明2ln ((0,))x x x x x e e>-∈+∞， ………9分 由（1）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e=时取到，…11分 设2()((0,))x x u x x e e =-∈+∞，则'1()x x u x e -=，易知max 1()(1)u x u e==-，当且仅当x=1时取到，从而对一切x ∈（0，+∞），都有2ln x x x x e e>-成立。
30 10A. 11B.25C.D. 222014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标Ⅱ卷)第Ⅰ卷一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 21. 设集合 M={0,1,2}， N x|x 3x 2 0 ，则 M N =( )A.1B. 2C.0,1D.1,22. 设复数 z 1， z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称， z 1 2 i ，则 z 1z 2 ( )A. 5B.5C. 4 iD. 4 i 3. 设向量 a,b 满足 |a+ b|= 10 ， |a-b|= 6，则 a b =( ) A.1B.2C.3D.54. 钝角三角形 ABC 的面积是 12 ，AB=1 ，BC= 2 ，则 AC=( )A.5B. 5C.2D.15. 某地区空气质量监测资料表明， 一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天 为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良 的概率是 ( )A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456. 如图， 网格纸上正方形小格的边长为 三视图，该零件由一个底面半径为掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 C. 10273cm ，(1(表示 1cm ),图中粗线画出的是某零件的 高为 ) 6cm 的圆柱体毛坯切削得到， A.1277 B.D.7. 执行右图程序框图， A. 4B. 5如果输入的 C. 6x,t 均为 2，则输出的 S=( ) D. 78. 设曲线 y ax ln(x 1)在点(0,0)处的切线方程为 y 2x ，则 a=A. 0B. 1C. 29. 设 x,y 满足约束条件y3y D. 30 ，则 z 2x y 的最大值为 (A. 10B. 8 3xC. 3D. 210. 设 F 为抛物线 C: y 2 3x 的焦点， 过 F 且倾斜角为 30 °的直线交 A,B 两点， O 为坐标原点，则△ OAB 33A.4B. 983C.的面积为63 32D.11. 直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，∠ BCA=90 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为 ( )M ，N 分别是 A 1B 1，A 1C 1 的中点， BC=CA=CC 1，则切削12. 设函数 f x 3sin x. 若存在 f m x 的极值点 x 0 满足 x 022f x 0m 2 ，则 m 的取值范围是 （ ）A. ( , 6) (6, )B. (, 4) (4, )C. (, 2)(2, ) D. (, 1)(4,)第Ⅱ卷二.填空题三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 12 分）19. （本小题满分 12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y （单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求 y 关于 t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地 区 2015 年农村居民家庭人均纯收入 .附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：13.xa10的展开式中， 的系数为 15，则 .（ 用数字填写答案 ）14. 函数 f x sin x2sin cos x的最大值为15. 已知偶函数 f x 在 0,单调递减，2 0.若 f x 1 0 ，则 x 的取值范围是16. 设点 M （ x 0 ,1），若在圆O: x 2 y 2 1 上存在点 N ，使得∠ OMN=45 °，则x的取值范围是已知数列a n 满足 a 1=1，an 13a n 1.Ⅰ）证明 a n12 是等比数列，并求 a n 的通项公式；Ⅱ）证明： 1a 11⋯ +1a 2a n3. 2.18. （本小题满分 如图， 中点 . （Ⅰ）12 分） 四棱锥 P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形， PA ⊥平面 ABCD ，E 为 PD 的证明： PB ∥平面 AEC ；设二面角 D-AE-C 为 60 ° ， AP=1 ， AD= 3 ，求三棱锥 E-ACD 的体积 .t i t y i y b i 1n，a? y b?t2 t i ti120. （本小题满分12 分）设F1 , F2分别是椭圆C: x2y21 a b 0 的左,右焦点，M 是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的a2b2另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为3，求 C 的离心率；4（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且MN 5 F1N ，求a,b.21. （本小题满分12 分）已知函数f x =e x e x2x（Ⅰ）讨论f x 的单调性；（Ⅱ）设g x f 2x 4bf x ，当x 0时，g x 0,求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 2 1.4143 ，估计ln2 的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号22. （本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P是e O外一点，PA是切线， A 为切点，割线PBC 与e O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD 的延长线交e O 于点 E.证明：（Ⅰ）BE=EC ；（Ⅱ）AD DE=2 PB223. （本小题满分10）选修4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为2cos ，0, 2 .（Ⅰ）求 C 的参数方程；（Ⅱ）设点 D 在C上，C在D处的切线与直线l:y 3x 2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5 ：不等式选讲设函数f x = x 1x a （a 0）a（Ⅰ）证明：f （x） 2 ；（Ⅱ）若f 3 5，求a 的取值范围.2014 年新疆数学答案与详解第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题：本大题共12 小题。
2014年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试数学文科答案一、选择题1-5 DCBAA 6-10ABADA 11-12CB二、填空题13． __(1,2)-___． 14． 230x y -+=15． 503(61)5- 16． 43三、解答题17. 解：（Ⅰ）由已知的等差中项和是A c a B b cos C cos cos 得2bcosB=acosC+ccosA ……………………………2分代入a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC ,化简得2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC ，……………………………4分 所以2sinBcosB=sin(A+C)=sinB ,在ABC ∆中，sinB ,0≠3,21cos π==B B 所以.…………………………………6分 （Ⅱ） 由b=3，及b 2=a 2+c 2-2accosB 得3=a 2+c 2-ac ≥ac ，当且仅当a=c 时取到等号。
所以ac ≤3……………………………9分 所以433ABC ,433sin 21的面积的最大值为即∆≤=∆B ac s ABC …………………12分 18. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，A 型节能灯的一级品的频率为0.04450.01650.3⨯+⨯= 所以生产A 型节能灯的一级品率的估计值为0.3。
…………………4分（Ⅱ）由条件知，生产B 型节能灯一个产品的利润大于0的概率当且仅当75≥k , 由频率分布直方图知，75≥k 的频率为0.96，所以生产B 型节能灯一个产品的利润大于0的概率估计值为0.96. …………………8分 生产100个B 型节能灯的平均利润为()[]4422542-41001⨯+⨯+⨯⨯=2.68（元）…………………12分19． 解：（Ⅰ）连接BD ，在BCD ∆中，2BD AD ===，所以ABD ∆为等腰三角形，又因为点E 是线段AB 的中点，所以,DE AB ⊥所以,DE PE ⊥又因为PE EB ⊥，所以PE ⊥平面BCDE ，因为CD ⊂平面ABCD ，所以PE CD ⊥， (2)分因为EG 为梯形ABCD 的中位线，且CD AD ⊥，所以CD EG ⊥，又PE EG E =，所以CD ⊥平面PEG ，…………4分又因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PEG ⊥平面PCD ．…………5分（Ⅱ）连接PA 、AC ，易求得ACD S ∆=1PE =，则==--ACD P PCD A V V 13ACD S PE ∆⋅33=…………7分 在PED ∆中，2PD AD ==，连接EC ，则EC ED ==，在PEC ∆中2PC ==，所以PD PC =，PCD ∆为等腰三角形，在PCD ∆中，又知3=DC ，所以PG ==所以43921=⋅⋅=∆PG DC S PCD ，…………10分 记点A 到平面PDC 的距离为d ，由d S V PCD PCD A ⋅⋅=∆-31得 131343==-PCD PCD A S V d ．…………12分 法2：由（1）知平面PEG ⊥平面PCD ，且平面PEG 平面PCD PG =，所以在Rt PEG ∆中点E 到PG 的距离EM 等于点E 到平面PDC 的距离，……7分EP EG EM PG ⋅=2231323131()2⨯==+，……9分 点A 到平面PDC 的距离41313AD d EM EG =⋅=．…12分 20. 解：（Ⅰ）设动点(,)P x y 因为3tan tan 4PAB PBA ∠⋅∠= 所以3224y y x x =+- ……………………2分 整理得221(2)43x y x +=≠± 所以动点P 的轨迹方程为：221(2)43x y x +=≠±……………………..4分（无限制减1分） （Ⅱ）设点00(,)P x y 则220001(20)43x y x +=-<< 设过点P 的圆C 的两条切线的方程是:l 即 ()020x -<<令0x = 得……………………………………6分 因为直线l 与圆相切，所以即 所以（*）…………………………………….8分 因为（将（*）式代入，）.………………………………………..10分因为020x -<< 所以的取值范围2,3 …………………………..12分 21.解：（Ⅰ）函数()f x 定义域为(0,)+∞由21ln ()x f x x -'=，令21ln 0x x-=得ln 1x =，所以x e =。
