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学习必备 欢迎下载 第十二章 实数 第1讲 实数的概念

【知识要点】 1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数,也就是不能用两整数比表示的数. 无理数可分为正无理数和负无理数.只有符号不同的两个无理数是互为相反数. 2. 实数：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数分类：

0正有理数有理数有限小数或无限循环小数负有理数实数

正无理数无理数无限不循环小数负无理数

【学习目标】 理解无理数、实数的概念

【典型例题】 【例1】 下列表述是否正确,并说明理由： （1）一个实数,不是正数,就是负数.（2）有限小数都是有理数,无限小数都是无理数. （3）一个有理数不是整数,就是负数.（4）一个无理数,不是正数就是负数. （5）一个实数不是有理数,就是无理数. 【分析】利用实数、有理数、无理数的概念. 【解答】因为零是实数,但它既不是正数也不是负数,在（1）的实数分类中并没有把零包括在内,所以（1）不正确. 无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数是有理数,所以（2）不正确. 因为零是有理数,它既不是正数也不是负数,在（3）的有理数分类中没有把零包括在内,所以（3）不正确. 无理数可分为正无理数和负无理数,所以（4）正确. 实数是有理数与无理数的统称,所以（5）正确. 【注】零在实数中仍是正、负数的分界点,不可忽视.

【例2】选择题： 学习必备 欢迎下载 （1） 在实数范围内,有一个数不是正实数,这个数一定是 （A） 负实数 （B）负有理数 （C）非正实数 （D）非负实数

（2） 实数31,,3.14,0,0.589,7,0.1101100110004(两个11之间依次多一个0)中,无理数的个数有 （ ） （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个 【解答】（1）按实数可以分为正实数,零,负实数,非正实数,即零或负实数,选（C）. （2）判断无理数应根据无理数的概念“无限不循环小数是无理数”来断定,应选（B）.

【例3】分别将下列各数填入相应的横线上： 3373100.343213432134321343213.14161.13113111339153，，，，，（重复出现）,，

（每两个3之间1的个数依次多1） 有理数是

无理数是 【分析】有理数是能表示为(0)aabbb、是整数，且形式的数,无理数是无限不循环小数,分别用这两条标准去检验上面的数得出正确结果. 【解答】有理数是：3370.343213432134321343213.1416;3915，，（重复出现）,

无理数是：3101.1311311133，，，（每两个3之间1的个数依次多1）.

【基础训练】 1. 实数可以分为和两类. 2． 有理数可以分为和;但按符号来分还可以分为、和. 3．叫无理数. 4．122,0.3,0.3,,3.14,,5,237在,无理数有个,它们是 5．写出在2和3之间的一个无理数. 学习必备 欢迎下载 第2讲 数的开方 （1）平方根和开平方

【知识要点】 1.平方根 如果一个数的平方根等于a,那么这个数叫做a的平方根,也可叙述为：“如果2xa,那么x就叫做a的平方根.” 2.开平方 求一个数a的平方根的运算叫做开平方,a叫做被开方数. 3.平方根的性质

一个正数有两个平方根,它们互为相反数.正数a的两个平方根可以用“a”表示,其中

a表示a的正平方根（又叫算术平方根）,读作“根号a”; a表示a的负平方根,读

作“负根号a”. 零的平方根记作0,00. 因为任何一个正数、负数或零的平方都不是负数,所以负数没有平方根. 4.开平方与平方的关系

开平方与平方互为逆运算,根据平方根的意义,“如果2xa,那么x叫做a的平方根”, x记

作a,我们得到： （1）一个正数的平方根的平方等于这个数,即：当0a时,22,();aaaa

（2）一个正数的平方的正平方根等于这个数,即：当0a时,2.aa 一个负数的平方的正平方根等于这个数的相反数,即：当0a时,2.aa

【学习目标】 1.理解平方根与开平方的概念; 学习必备 欢迎下载 2.理解开平方与平方互为逆运算的关系; 3.掌握平方根的性质,分清平方根与算术平方根的区别,并知道它们之间的联系.

【典型例题】 例1 判断下列说法是否正确： （1）1的平方根是1. （2）-16的平方根是4. （3）3的平方根是9.

（4）819. （5）-7是49的平方根 （6）16的平方根是4 【解答】（1）不正确.因为1是正数,1的平方根有两个,是1. （2）不正确.因为-16是负数,负数没有平方根. （3）不正确.应该是3的平方是9.

（4）不正确.81表示81的正的平方根.它是一个正数,81=9,而819.

（5）正确.因为2749，根据平方根的概念,-7是49的平方根,但反过来说,49的平方根是-7就错了. (6)不正确.164,16的平方根即为4的平方根,所以16的平方根应是2. 【点评】解答这道题目是对巩固和掌握平方根的概念和性质不可忽视的基本训练.

【例2】求下列各式的值： （1）144 （2）916 （3）0.01 （4）2（-6）

【分析】求144的值就是求144的正的平方根（即144的算术平方根）;求916的值就是求916的负的平方根（即916的算术根的相反数）;求0.01的值就是求0.01的平方根;求2（-6）的值就是求2（-6）的算术平方根的相反数.搞清各式的符号语言的意义,是得到正确解的关键.

【解答】（1）14412 （2）93164

（3）0.010.1 （4）2366（-6） 【例3】求下列各数的平方根： （1）0.64 （2）2564 （3）0 （4）2514

【解答】（1）20.64,0.64（0.8）的平方根是0.8.即：0.640.8. 学习必备 欢迎下载 （2）2525255255.864648648，的平方根是，即： （3）2000000.，的平方根是，即： （4）222598198114416416，而， 225959

11.4444的平方根是，即：

【点评】运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法.用符号语言表示一个非负数的平方根,应由不习惯到习惯,这对加深平方根概念和性质的理解有好处.

【例4】 已知21x的平方根是5,3xy的平方根是2,求xy的平方根. 【分析】由已知得：21x=25,232xy，即：2125x ①,34xy ②, 解由方程①和②组成的方程组得x和y的值,再求xy的平方根.

【解答】由已知得2125,34xxy解得13,13316,3xxyxyy的平方根是4.

【基础训练】 1.下列说法正确的是（ ） （A）因为3的平方是9,所以9的平方根是3 （B）因为-3的平方是9,所以9的平方根是-3

（C）因为2(3)的底数为-3,所以2(3)没有平方根 （D）因为-9是负数,所以-9没有平方根 2.下列各数是否有平方根,如果有,有几个？并说明理由.

（1）2(4)（2）-8 （3）0 （4）2x

3.已知3ab与5ab互为相反数,求22ab的值 4.求下列各数的平方根和算术平方根 （1）0.0009 （2）2(5) （3）2(6) 5.求值. （1）215 （2）23 （3）213

（4）210 （5）28 （6）28 学习必备 欢迎下载 【提高训练】 1.一个数的算术平方根为a,比这个数大2的数是 ( ) (A)2a （B）2a （C）2a （D）22a

2. 255aa,则a的取值范围为 （ ） (A) 5a （B）5a （C）5a （D）5a 3.若25x,则22(5)(2).xx

4.已知889yxx,求2xy的值. 5.已知一个正数的平方根是23aa和316a,求a的值. 6.已知,xy为实数,求2(1)23uxyxy的最小值和取得最小值时,xy的值.

第2讲 数的开方 （2）立方根和开立方

【知识要点】 1.立方根 与平方根类似,有：

如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根,用“3a”表示,读作“三次根

号a”,3a中的a叫做被开方数,“3”叫做根指数;也可叙述为“如果3xa,那么x就叫学习必备 欢迎下载 做a的立方根”,x记作3a. 2.开立方 求一个数a的立方根的运算叫做开立方.开立方与立方互为逆运算. 3.立方根的性质 我们已学过正数的立方是一个正数,负数的立方是一个负数,零的立方等于零,由立方运算可知正数有一个正立方根,负数有一个负立方根,零的立方根是零,也就是说任意一个数都有立方根,而且只有一个立方根. 类似于平方与开平方之间的关系,根据立方根的意义,可以得到 3

33

3,aaaa

.（以上a是实数）

方法与技能：一个数的立方根记作“3a”,根指数3不能忽略. 由于328,有382,328,有382,可见3388.一般地,如果a>0则,33aa,如果把非负数的立方根叫做算术立方根,那么负数的立方根可以由它

的相反数的算术立方根的相反数来表示,也就是把“—”号提到根号外面来. 典型剖析

【学习目标】 1.理解立方根与开立方的概念; 2.理解开立方与立方互为逆运算的关系;

【典型例题】 【例1】 求下列各式的值：

（1）364 （2）364 （3）327125 （4）31

【分析】 由立方根的意义,如果3xa,那么x就叫做a的立方根,x记作3a,可知a的立方根3a的立方：33aa. 【解答】 （1）33464,644 （2）33464,644 也可以这样求：3364644 （3）33327273,51251255

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沪教版七年级下15.1 平面直角坐标系(基础)知识讲解 讲义

沪教版七年级下15.1 平面直角坐标系(基础)知识讲解 讲义

平面直角坐标系（基础）知识讲解【学习目标】1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征.3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.【要点梳理】要点一、有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1. 平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2. 点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b 分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．要点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．要点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2. 坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.要点四、点坐标的特征1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律要点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．2.平行于或垂直于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，因此经过点A(a,b)且平行于x轴（或垂直于y 轴）的直线可以表示为直线y＝b；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，因此经过点A(a,b)且平行于y轴（或垂直于x 轴）的直线可以表示为直线x＝a.【典型例题】类型一、有序数对1．如果将一张“13排10号”的电影票简记为（13,10），那么（10,13）表示的电影票是排号.【思路点拨】在平面上，一个数据不能确定平面上点的位置．需用有序数对来表示平面内点的位置．【答案】10,13.【解析】由条件可知：前面的数表示排数，后面的数表示号数.【总结升华】在表示时，先要“约定”顺序，一旦顺序“约定”，两个数的位置就不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同．举一反三：【变式】某地10:00时气温是6℃，表示为(10，6)，那么(3，-7)表示________．【答案】3:00时该地气温是零下7℃．类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念2.如图，写出点A、B、C、D各点的坐标.【思路点拨】要确定点的坐标，要先确定点所在的象限，再看点到坐标轴的距离．【答案与解析】解：由点A向x轴作垂线，得A点的横坐标是2，再由点A向y轴作垂线，得A点的纵坐标是3，则点A的坐标是(2，3)，同理可得点B、C、D的坐标．所以，各点的坐标：A(2，3)，B(3，2)，C(-2，1)，D(-1，-2)．【总结升华】平面直角坐标系内任意一点到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是这点横坐标的绝对值．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，如果点A既在x轴的上方，又在y轴的左边，且距离x轴，y轴分别为5个单位长度和4个单位长度，那么点A的坐标为( ).A．(5，-4) B．(4，-5) C．(-5，4) D．(-4，5)【答案】D.3.在平面直角坐标系中，描出下列各点A(4，3)，B(-2，3)，C(-4，1)，D(2，-2)．【答案与解析】解：因为点A的坐标是(4，3)，所以先在x轴上找到坐标是4的点M，再在y轴上找到坐标是3的点N．然后由点M作x轴的垂线，由点N作y轴的垂线，过两条垂线的交点就是点A，同理可描出点B、C、D．所以，点A、B、C、D在直角坐标系的位置如图所示．【总结升华】对于坐标平面内任意一点,都有唯一的一对有序数对和它对应；对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知：A（3，2），B（5，0），则△AOB的面积为．【答案】5.类型三、坐标平面及点的特征4.指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(4，5)、B(-2，3)、C(-4，-1)、D(2.5，-2)、E(0，-4) 、F(3，0)、G(0，0).【思路点拨】先判断所求点的横纵坐标的符号，进而判断所在象限．【答案与解析】解：点A在第一象限，点B在第二象限，点C在第三象限，点D在第四象限，点E在y轴上，点F在x轴上，点G在原点上．【总结升华】本题主要考查点的坐标的性质，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，但注意坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上．举一反三：【变式1】点A(3，n)在第四象限，到x轴的距离为4．则点A的坐标为________．【答案】 (3，-4)．【高清课堂：第一讲平面直角坐标系1 369934练习3 】【变式2】若点P (a ,b)在第二象限，则：（1）点P1（a ,-b)在第象限；（2）点P2（-a ,b)在第象限；（3）点P3（-a ,-b)在第象限；（4）点P4（ b ,a )在第象限.【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.5.已知点A(-3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求点B的坐标．【思路点拨】由“点A(-3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．【答案与解析】解：如图，∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，∴点B与点A的横坐标相同，∴ x＝-3．∵点B到x轴的距离为3，∴ y＝3或y＝-3．∴点B的坐标是(-3，3)或(-3，-3)．【总结升华】在点B的横坐标为-3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．举一反三：【变式1】经过点P（0,1）且垂直于x轴的直线可以表示为直线 .【答案】x＝0.【高清课堂：第一讲平面直角坐标系1 369934练习4（5）】【变式2】在直角坐标系中，点P(x,y)在第二象限且P到x轴，y轴的距离分别为2，5，则P的坐标是_________；若去掉点P在第二象限这个条件，那么P的坐标是________.【答案】（-5,2）；（5，2），（-5,2），（5，-2），（-5，-2）.。

沪科版七年级下册知识点课件

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代数式的值的计算
在计算代数式的值时，需要注意运算的优先级和运算顺序，避免出 现计算错误。
整式加减法
1 2
整式加减法的概念
整式加减法是指将同类项进行合并和化简的过程 。
整式加减法的步骤
先识别同类项，然后将同类项合并，最后进行化 简。
3
整式加减法的注意事项
在进行整式加减法时，需要注意符号的变化和运 算的优先级，避免出现计算错误。
THANKS
感谢观看
REPORTING
数据的推断性分析
根据已知数据推测未知数据，如预测未来趋势、进行假设检 验等。
PART 04
第四章：三角形
REPORTING
三角形的边和角
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，满 足边角关系和三角不等式。
三角形的高、中线和角平 分线
三角形的高是从一个顶点垂直 到对边或对边的延长线，中线 是连接一个顶点和对应的边的 中点的线段，角平分线是将一 个角平分为两个相等的角的线 段。
解一元一次方程的基本步骤包括去分母、 去括号、移项和合并同类项等。
一元一次方程的解法
总结词
一元一次方程的解法
详细描述
解一元一次方程的方法有直接开平方法、配方 法、公式法和因式分解法等。
详细描述
直接开平方法适用于ax^2+b=0（a>0）的方程 ，通过开平方得到解。
详细描述
配方法是通过配方将方程转化为完全平方的形式， 然后开平方得到解。
总结词
一元一次方程在实际生活中的 应用
详细描述
路程问题中，我们可以通过建 立一元一次方程来计算速度、 时间和距离等。
详细描述
价格问题中，我们可以通过建 立一元一次方程来计算成本、 售价和利润等。
沪教版七年级下册-相交线、平行线复习-教师版讲义

沪教版七年级下册-相交线、平行线复习-教师版讲义

知识精要一、知识结构网络图：二．性质与定理1、垂线的性质（l）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。

（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。

简单说：垂线段最短。

2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。

4、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角互补，两直线平行。

5、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

6、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。

注意：当角的两边平行且方向相同（或相反）时，这两个角相等。

当角的两边平行且一边方向相同另一方向相反时，这两个角互补。

热身练习1.给出下列说法：①两条直线被第三条直线所截，则内错角相等；②平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；③平面内的三条直线任意两条都不平行，则它们一定有三个交点；④若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补．其中正确的个数是（ B ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2.下列语句错误的是( C )A.连接两点的线段的长度叫做两点间的距离B.两条直线平行,同旁内角互补C.若两个角有公共顶点且有一条公共边,和等于平角,则这两个角为邻补角D.平移变换中,各组对应点连成两线段平行且相等3..如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于( A )A.50°B.55°C.60°D.65°4.如图，，要使a∥b,则∠2等于（ C ）A．75° B．95° C．105° D．115°5.在同一平面内，有8条互不重合的直线，，若，∥，，∥……以此类推，则和的位置关系是（ A ）A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定6.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG=72°，则∠EGF等于（ B ）A．36° B．54° C．72° D．108°7.一个两边平行的纸条，如下图那样折叠一下，则∠1的度数是（ C ）A．30° B．40° C．50° D．60°8.下面四个命题中，正确的是( B )A．相等的两个角是对顶角B．和等于90°的两个角互为余角C．如果∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1、∠2、∠3互为补角D．一个角的补角一定大于这个角9.如图1，标有角号的7个角中共有____4_____对内错角，_____2___对同位角，____4____对同旁内角。

沪教版初一下册分数指数幂讲义

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沪教版初一下册分数指数幂讲义【典范例题】例1 利用幂的谋略性质谋略 （1）613121a a a ⋅÷（2）105152)52(⨯ （3）631010⨯（4）51254⨯ （5）3542÷（6）4126)2412(⨯- （7）322 （8）43666÷⋅（9）312121312121)56()56(+-（10）3435255⨯-÷ （11）6532a a a a ⋅⋅（12）32yx xy例2 想一想，填空（1）当a_________时，式子21a 有意义； （2）当a_________时，式子31a 有意义；（3）当a_________时，式子2m a （m 表示偶数）有意义； （4）当a_________时，式子2n a （n 表示奇数）有意义。

例3 若4)21()12(4343=+-+-y x x ，求xy 的值。

例4 已知32121=+-aa ，求下列各式的值。

（1）1-+a a ；（2）22-+a a ；（3）2323-+aa例5 化简：36a a ÷-例6 谋略：3121)722()722(--ππ例7 先化简再求值：xy y x xy yx y x ++++2，此中43,34==y x 。

【小试锋芒】1．填空题（1）把下列方根化为幂的形式：_______7=；_______31=；_______443=。

（2）把下列各数化为根式形式：_______231=；_______521=-。

（3）谋略：________6431=；________62541=；________)169(21=。

（4）利用指数幂谋略：6523aaa a （a>0）=___________。

（5）3a a a =___________。

（6）_________)0,0(32=>>y x yxxy。

（7）当x_______时，21)23(-x 有意义。