三角形的证明(培优).docx
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三角形的证明 (培优 )
出题人：张丹霞 姓名：
题型一
全等三角形
例 1. 将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开， 得到图 ① 中的两张三角形胶片
△ ABC 和△ DEF. 将这两张三角
形胶片的顶点 B 与顶点 E 重合，把 △ DEF 绕点 B 顺时针方向旋转，这时 AC 与 DF 相交于点 O.
（ 1）当旋转至如图 ② 位置，点 B（ E），C，D 在同一直线上时， ∠ AFD 与∠ DCA 的数量关系是 ；
（ 2）当 △ DEF 继续旋转至如图
③ 位置时，（ 1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（ 3）在图 ③ 中，连接 BO、AD ，探索 BO 与 AD 之间有怎样的位置关系，并证明
.
变式 1: 如图 ,已知点 D 为等腰直角 △ABC 内一 点，∠ CAD =∠CBD =15°，E 为 AD 延长线上的一
点，且
CE=CA．
（ 1）求证： DE 平分 ∠BDC ；
（ 2）若点 M 在 DE 上，且 DC =DM ，求证： ME =BD．
.
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变式 2: 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 ① 所示放置，图 ② 是由它抽象出的几何图形，点 B、C、E
在同一条直线上，连接 DC.
(1)请找出图 ② 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母） ；
(2)求证： DC ⊥BE．
变式 3: 在 △ABC 中， ∠ ACB=90°， AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 AD⊥ MN 于 D， BE⊥ MN 于 E．
（ 1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证： DE =AD +BE；
（ 2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证： DE =AD -BE；
（ 3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE 、 AD 、 BE 有怎样的等量关系？请写出这个等量关
系，并加以证明．
.
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题型二
等腰三角形的性质
例 2. 如图 1，△ ABC 的边 BC 在直线 l 上， AC⊥BC，且 AC=BC；△ EFP 的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC
重合，且 EF=FP.
（ 1）在图 1 中，请你通过观察测量，猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系；
（ 2）将 △ EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时， EP 交 AC 于点 Q，连结 AP， BQ.猜想并写出 BQ 与 AP
所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（ 3）将 △ EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时， EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q，连结 AP 、BQ，你
认为（ 2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理
由 .
变式 1: 如图，已知△ABC
CD 相交于点 F，H
（ 1）求证：BF=AC
1
（2）求证：CE=
2
中 ， ∠ ABC =45°， CD ⊥ AB
是 BC 边的中点，连接 DH
；
BF ；
于 D，BE 平分∠ABC，且 BE⊥AC 于 E，与与 BE相
交于点 G．
（3）CE 与 BG 的大小关系如何？试证明你的结论．
.
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变式 2: 已知：如图 ①，在平面直角坐标 xOy 中，边长为 2 的等边 △ OAB 的顶点 B 在第一象限，顶点 A 在 x
轴的正半轴上．另一等腰 △ OCA 的顶点 C 在第四象限， OC＝ AC，∠ C＝ 120°．现有两动点
P、 Q 分别
从 A、O 两点同时出发，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 OC 向点 C 运动，点 P 以每秒 3 个单位的速度
沿 A→ O→ B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止
.
（ 1）求在运动过程中形成的 △ OPQ 的面积 S 与运动的时间 t 之间的函数关系，并写出自变量
t 的取值
范围；
（ 2）在等边 △OAB 的边上（点 A 除外）存在点 D ，使得 △ OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件
的点 D 的坐标；
（ 3）如图 ② ，现有 ∠ MCN ＝ 60°，其两边分别与 OB、 AB 交于点 M、 N，连接 MN ．将 ∠ MCN 绕着 C
点旋转（ 0°＜旋转角＜ 60°），使得 M、N 始终在边 OB 和边 AB
上．试判断在这一过程中，
△BMN 的周
长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
.
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题型三
等腰三角形的判定
例 3. 如图 ①， Rt△ ABC 中， ∠ACB=90°， CD ⊥ AB，垂足为 D， AF 平分 ∠CAB ，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F.
（ 1）求证： CE=CF；
（ 2）将图 ① 中的 △ADE 沿 AB 向右平移到 △ A'D'E' 的位置，使点 E'落在 BC 边上，其它条件不变，如图
② 所
示，试猜想： BE' 与 CF 有怎样的数量关系 ?请证明你的结论
.
变式 1: 已知：在 △ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：
AF=EF．
变式 2: 如图 1，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 直线 l ：y=
1
A、
x+m 与 x、y 轴的正半轴分别相交于点
2
B，过点 C ( 4, 4) 画平行于 y 轴的直线交直线
AB 于点 D， CD =10 ．
（ 1）求直线 l 的解析式；
（ 2）求证： △ABC 是等腰直角三角形；
（ 3）如图 2，将直线 l 沿 y 轴负方向平移， 当平移适当的距离时， 直线 l 与 x、y 轴分别相交于点
A′、B′，
在直线 CD 上存在点 P，使得 △ A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点
P 的坐标．
.
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题型四
等边三角形
例 4. (1) 如图 1，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边
三角形 OCD ，连接 AC 和 BD，相交于点
E，连接 BC．求 ∠ AEB 的大小；
(2) 如图 2，△ OAB 固定不动，保持 △ OCD 的形状和大小不变， 将 △ OCD 绕点 O 旋转（ △OAB 和 △OCD
不能重叠），求 ∠ AEB 的大小．
变式 1: 如图 1，已知∠ABC =90°，△ABE 是等边三角形，点 P 为射线 BC B 不重合），连 接 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60°得到线段 上任意一点（点 P 与点
AQ，连接 QE 并延长交
射线 BC 于点 F．
（1）如图 2，当 BP=BA 时，∠EBF = ，猜想∠QFC = ；
（ 2）如图 1，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；
（ 3 ） 已 知 线 段 AB = 2 3 ， 设 BP = x， 点 Q 到 射 线 BC 的 距 离 为 y， 求 y 关 于 x 的 函 数 关
系式 .
.
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题型五
直角三角形
例 5. 已知 Rt ABC 中，
ACB 90
o
，
AC
BC
，
MCN
45
o
.
1
MN 2 AM
2 2
(1) 如图○ ，当 M 、 N 在 AB 上时，求证：
BN
；
(2) 如图○2 ，将 MCN 绕 C 点旋转，当 M 在 BA 的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若
不成立，请说明理由 .
C C
A
M N
B M A N
B
变式 1:
如图，在 Rt ABC 中，
A 90
o ， D 为斜边 BC 的中点， DE DF ，求证： EF 2
BE 2 CF
2
.
A
E
F
B D C
变式 2:
如图，在 Rt ABC 中，
ACB
90
o
，
CD
AB于D，设 AC b ， BC a ， AB c ， CD h
.
1 1 1
(2)
a b
c h
；
求证： (1)
2 2
h
2
；
a b
(3)以 a b 、 h 、 c h 为边的三角形是直角三角形 .
C
A D
B
.
