20130116 六达 初三数学 二次函数命题潜规则 (教师版)

二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环．本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确的确定二次函数的解析式，为二次函数的综合应用打好基础．1、 一般式2y ax bx c =++（0a ≠）（1）任何二次函数都可以整理成一般式2y ax bx c =++（0a ≠）的形式；（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式．二次函数解析式的确定内容分析知识结构模块一：一般式y = ax 2+ bx + c ( a ≠0 )知识精讲2 / 18xyO【例1】 如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图像，那么a 的值为______．【例2】 已知二次函数的图像经过点（0，2）、（1，1）、（3，5），求这个函数关系式．【例3】 如图，二次函数图像过A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（1-，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴的正半轴上，且AB = OC ．（1）求点C 的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数的最大值．【例4】 如图，抛物线252y ax bx =++与直线AB 交于点A （1-，0），B （4，52），D 是抛物线A 、B 两点间部分上的一个动点（不与A 、B 重合），直线CD 与y 轴平行，交直线AB 于点C ，连接AD 、BD ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点D 的横坐标为m ，ADB ∆的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 取得最大值时点C 的坐标．例题解析ABCDOxy4 / 181、 顶点式()2y a x m k =++（0a ≠）（1）任何二次函数经过配方都可以整理成()2y a x m k =++（0a ≠）的形式，这叫做 二次函数的顶点式，而（m -，k ）为抛物线的顶点坐标；（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；（3）对于任意的二次函数2y ax bx c =++，都可以配方为：22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭的形式．【例5】 顶点为（2-，5-）且过点（1，14-）的抛物线的解析式为____________．【例6】 已知函数22y ax x c =++的图像的对称轴为直线x = 2，函数的最大值是3-，则a =______，c =______．【例7】 二次函数的图像顶点在y 轴上，图像有最低点（0，2），且经过点（2，3），则函数的解析式为____________．【例8】 顶点为（3-，6-）的抛物线2y ax bx c =++经过点（1-，4-），则下列结论错误的是（ ）A ．24b ac >B ．26ax bx c ++≥-C ．若点（2-，m ）、（5-，n ）在抛物线上，则m > n模块二：顶点式y = a ( x + m )2+ k ( a ≠0 )知识精讲例题解析x yAB OP D ．关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=-的两根为15x =-和21x =-【例9】 已知二次函数2y x px q =++，顶点坐标为（2，9-）． （1）求p 、q 的值；（2）这条抛物线与x 轴的两个交点A 、B ，设点M 在这条抛物线上，且24ABM S ∆=，求M 的坐标．【例10】 二次函数2y x mx n =++的图像经过点P （3-，1），对称轴是经过点（1-，0）且平行于y 轴的直线． （1）求二次函数解析式；（2）如图，一次函数y kx b =+的图像经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图像相 交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，:1:5PA PB =，求一次函数的解析式．6 / 181、 交点式()()12y a x x x x =--（0a ≠）（1）交点式：()()12y a x x x x =--（0a ≠），其中x 1 ，x 2为二次函数图像与x 轴的两 个交点的横坐标；（2）已知二次函数与x 轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式； （3）已知二次函数与x 轴的交点坐标（x 1，0）、（x 2，0），可知其对称轴为122x x x +=；（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x 1，a ）、（x 2，a ），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为122x xx +=；（5）对于任意二次函数2y ax bx c =++，当0x =时，即20ax bx c ++=，根据一元二 次方程的求根公式可得：2142b b ac x a -+-=、2242b b acx a---=；（6）对称式：12()()y a x x x x k =--+（0a ≠），当抛物线经过点（x 1，k ）、（x 2，k ）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式．【例11】 已知抛物线与x 轴的交点的横坐标分别是2-、2，且与y 轴的交点的纵坐标是3-，求该抛物线的解析式．【例12】 已知一抛物线的形状与21722y x =+的形状相同，对称轴为x =2-，它与x 轴的两 交点之间的距离为2，求此抛物线的解析式．模块三：交点式y = a ( x – x 1 ) ( x – x 2 ) ( a ≠0 )知识精讲例题解析【例13】 设二次函数()()112y a x x x x =--（0a ≠，12x x ≠）的图像与一次函数2y dx e =+（0d ≠）的图像交于点（1x ，0）．若函数12y y y =+的图像与x 轴仅有一个交点，则（ ） A ．()12a x x d -= B ．()21a x x d -= C ．()212a x x d -=D ．()212a x x d +=【例14】 二次函数212y x kx =-++的图像与x 轴交点都位于（6，0）左侧，求k 的取值范围．【例15】 二次函数2y ax bx c =++在1x =-时，y 有最小值4-，它的图像与x 轴交点的横坐标分别为1x 和2x ，且221210x x +=．求该二次函数的解析式．【例16】 如图，抛物线经过A （2-，0）、B （12-，0）、C （0，2）三点．A B C OMx y（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得DCA∆的面积最大，求点D的坐标；（2）设M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足90AMH∠=︒，若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．8/ 181、 几种特殊的二次函数解析式之间的平移关系：2、 二次函数2y ax bx c =++的平移（1）将二次函数2y ax bx c =++左右平移：向左平移m 个单位，函数解析式变为()()2y a x m b x m c =++++； 向右平移m 个单位，函数解析式变为()()2y a x m b x m c =-+-+． （2）将二次函数2y ax bx c =++上下平移：向上平移n 个单位，函数解析式变为2y ax bx c n =+++； 向下平移n 个单位，函数解析式变为2y ax bx c n =++-．（3）通常，在平移前，将二次函数2y ax bx c =++化成()2y a x m k =++的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．向上（）或向下（）平移个单位向上（）或向下（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位模块四：二次函数的平移知识精讲10 / 18A B CDE xy【例17】 抛物线212y x =向左平移8个单位，再向下平移9个单位，所得的抛物线的解析 式是___________________．【例18】 已知抛物线()2y a x h =-向右平移3个单位后得到的抛物线是()221y x =+，求a 、h 的值．【例19】 如果将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点A （0，3），那么所得的新抛物线的解析式是______________________．【例20】 如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位长度或向上平移1个单位长度，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知一条抛物线经过两次简单变换后得到的抛物线是21y x =+，则原抛物线的解析式不可能是（ ） A ．21y x =-B ．265y x x =++C ．244y x x =++D ．2817y x x =++【例21】 如图，平行四边形ABCD 中，AB = 4，点D 的坐标为（0，8），以C 为顶点的抛物线1y 经过x 轴上的点A 和点B ． （1）求抛物线1y 的解析式；（2）将抛物线1y 向上平移，使它经过点D ，求所得抛物线2y 的解析式．例题解析1、 关于x 轴对称：2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x m k =++关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x m k =-+-．2、 关于y 轴对称：2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x m k =++关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x m k =-+．3、 关于原点对称：2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x m k =++关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x m k =---．4、 关于顶点对称：2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x m k =++关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x m k =-++．5、 关于点（p ，q ）对称：()2y a x m k =++关于点（p ，q ）对称后，得到的解析式是()222y a x m p q k =---+-．【例22】 抛物线2243y x x =-+绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式__________．【例23】 以x 轴为对称轴，将抛物线225y x =-翻折后，再向左平移3个单位，所得的抛模块五：二次函数的对称知识精讲例题解析12 / 18物线对应的函数解析式为__________________．【例24】 抛物线2245y x x =+-关于y 轴对称的抛物线的解析式为_________________，关于直线x = 3对称的抛物线的解析式为__________________，关于直线y = 3对称的抛物线的解析式为_____________________．【例25】 已知抛物线2y ax bx c =++与抛物线267y x x =-+关于点A （1，2）对称，则a =______，b =______，c =______．【例26】 如图，已知抛物线1C ：()225y a x =+-的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1． （1）求点P 的坐标及a 的值；（2）如图（1），抛物线1C 与抛物线2C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的 物线记为3C ，3C 的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求3C 的解析式； （3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线1C 绕点Q 旋转180°后得到抛物线4C ．抛 物线4C 的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在F 的左边），当以点P 、N 、F为顶点的三角形是直角三角形是，求点Q 的坐标．yM14 / 18【习题1】 已知抛物线的顶点为M （1，4），图像与x 轴的两个交点的距离是6，则抛物线的解析式为___________________．【习题2】 二次函数2y ax bx c =++图像如图所示，则点A （24b ac -，b a -）在第______象限．【习题3】 已知一次函数12y x m =+的图像经过点A （2-，3），并与x 轴相交于点B ，二次 函数22y ax bx =+-的图像经过点A 和点B ． （1）分别求这两个函数的解析式；（2）如果将二次函数的图像沿y 轴的正方向平移，平移后的图像与一次函数的图像相交于 点P ，与y 轴相交于点Q ，当PQ // x 轴时，试问二次函数的图像平移了几个单位？【习题4】 已知抛物线()2143y m x x =-+-开口向下，与x 轴交于点A （1x ，0）和点B （2x ，0），其中12x x <，若221210x x +=，则抛物线的解析式为___________________． 【习题5】【习题6】 在直角坐标系中，把点A （1-，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点'A ，经过A 、'A 的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 的坐标为（1，m ），且m < 3，若ABP ∆是等腰三角 形，求点B 的坐标．【习题7】 对于任意两个二次函数：21111y a x b x c =++，22222y a x b x c =++（120a a ≠），当随堂检测xyO12a a =时，我们称这两个二次函数的图像为全等抛物线．现有ABM ∆，A （1-，0），B （1，0）．记过三点的二次函数抛物线为“C”（“”中填写相应三个点的字母）．已知M （0，1），ABM ∆≌ABN ∆，如图．请通过计算判断ABM C 与ABN C 是否为全等抛物线．【习题8】 已知抛物线23344y mx m x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若ABC ∆是等腰三角形，求抛物线的解析式．16 / 18Ox y3【作业1】 二次函数的图像的对称轴是12x =，在y 轴上的截距是3，且过点（2，7），则它 的解析式为_________________________．【作业2】 抛物线()2214y x =-+关于原点对称的抛物线的表达式为_____________．【作业3】 若二次函数的图像与x 轴只有一个交点，对称轴是直线x = 3，与y 轴的交点是（0，6），则二次函数解析式为____________________．【作业4】 已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，函数的解析式为___________．【作业5】 已知抛物线()221312y x m x m =-+-+-的顶点在y 轴的正半轴上，求抛物线的表达式、顶点坐标、对称轴，并分析抛物线的上升、下降趋势．课后作业【作业6】 已知直线l 经过点（4，0），且与x 轴、y 轴围成的直角三角形的面积等于8．如果一个二次函数的图像经过直线l 与两条坐标轴的交点，以直线x = 3为对称轴，且开口向下，求这个二次函数的解析式．【作业7】 若抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，求a 、b 的值．【作业8】 已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax =-与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，AB =P 在抛物线上，线段AP 与y 轴的正半轴交于点C ，线段BP 与x 轴交于点D ．设点P 的横坐标为m ． （1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m 的代数式表示线段CO 的长；（3）当3tan 2ODC ∠=时，求PAD ∠的正弦值．18 / 18xyABO【作业9】 已知抛物线2212m y x mx =-+与抛物线22234y x mx m =+-在同一平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）试判断哪条抛物线经过A 、B 两点，并说明理由；（2）若A 、B 两点到原点的距离AO 、BO 的长满足1123OB OA -=，求经过A 、B 两点的抛物线解析式．【作业10】 已知抛物线24y ax ax t =++与x 轴的一个交点为A （1-，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积 为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴距离的比为5 : 2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上且 它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使APE ∆的周 长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，能够为零．二次函数的定义域是全体实数．（所以：二次函数应满足两个条件：①二次项的系数不等于0，②x 最高项的指数是2）2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y ax①，a 的绝对值决定开口的大小（a 的绝对值越大，抛物线的开口越小，a 的绝对值越小，抛物线的开口越大）②a 的符号决定开口的方向（a＞0，开口向上，a＜0开口向下）2. 2=+的性质：y ax c上加下减。

（c＞0，将2=的图像向下移=向上移动，c＜0将2y axy ax动＝3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。

Array 4. ()2=-+的性质：y a x h k三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方能够得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选择的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式（又称为对称式）：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（又称为两点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都能够化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都能够写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才能够用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式能够互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴ab2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式（三点式）；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式（对称式）；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式（两点）；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=（即. 二次函数与x 轴两个交点的距离）② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 十、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少注：在实际应用中凡是需要求最大，最小（或极值）问题一般都要考虑用二次函数的最大值或最小值二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，相关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，假如函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）xA B C D 3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，相关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

学科教师辅导讲义一、 知识梳理二、 知识概念（一）二次函数解析式的表示方法1、一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2、顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3、两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.体系搭建（二）二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．考点一：一般式例1、如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（）A．y=x2﹣x﹣2B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2C．y=﹣x2+x+2D．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2例2、如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．考点二：顶点式例1、根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（）x…﹣1012…y…﹣12…A．y=x B．y=﹣C．y=（x﹣1）2+2D．y=﹣（x﹣1）2+2例2、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=﹣3（x﹣1）2+3B．y=3（x﹣1）2+3C．y=﹣3（x+1）2+3D．y=3（x+1）2+3例3、若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（）A．0 5B．0 1C．﹣4 5D．﹣4 1考点三：交点式（两根式）例1、如图，已知抛物线l1：y=（x﹣2）2﹣2与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（）A．y=（x﹣2）2+4B．y=（x﹣2）2+3C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x﹣2）2+1例2、图象经过P（3，4）且与x轴两个交点的横坐标为1和﹣2，求这个二次函数的解析式．考点四：待定系数法例1、如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=1，请直接写出点P的坐标．例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．实战演练➢课堂狙击1、与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）A．y=1+x2B．y=（2x+1）2C．y=（x﹣1）2 D．y=2x22、一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x﹣1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2+3C．y=﹣（2x+1）2+3D．y=﹣（2x﹣1）2+33、二次函数y=x2﹣6x+5配成顶点式正确的是（）A．y=（x﹣3）2﹣4B．y=（x+3）2﹣4C．y=（x﹣3）2+5D．y=（x﹣3）2+144、二次函数图象如图所示，则其解析式是（）A．y=﹣x2+2x+4B．y=x2+2x+4C．y=﹣x2﹣2x+4 D．y=﹣x2+2x+35、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2B．y=x2﹣x+2C．y=x2+x﹣2D．y=x2+x+26、如图，△AOB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y=﹣x+m与x轴交于点E．（1）求点E的坐标；（2）求过A、O、E三点的抛物线的解析式．7、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C（0，5），点D （1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求直线CM的解析式；（3）求△MCB的面积．➢课后反击1、已知抛物线y=x2﹣2x+c的顶点在x轴上，你认为c的值应为（）A．﹣1B．0C．1D．22、对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式（）A．y=﹣2x2+8x+3B．y=﹣2x‑2﹣8x+3C．y=﹣2x2+8x﹣5D．y=﹣2x‑2﹣8x+23、把二次函数y=x2﹣4x+1化成y=a（x+m）2+k的形式是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x﹣2）2﹣1C．y=（x﹣2）2+3D．y=（x﹣2）2﹣3 4、若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b，k的值分别（）A．0，5B．﹣4，1C．﹣4，5D．﹣4，﹣15、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=﹣3（x﹣1）2+3B．y=3（x﹣1）2+3C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+36、若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2﹣4x﹣1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（）A．y=﹣x2+2x+4B．y=﹣ax2﹣2ax﹣3（a＞0）C．y=﹣2x2﹣4x﹣5D．y=ax2﹣2ax+a﹣3（a＜0）7、已知二次函数y=ax2（a≠0）与一次函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），（1）求二次函数和一次函数解析式．（2）求△OAB的面积．8、已知：二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和C（0，2）．（1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数y=﹣x2+bx+c的图象在直线y=1上方的部分沿直线y=1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G，点M（m，y1）在图象G上，且y1≥0，求m的取值范围．直击中考1、【2016•兰州】二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x﹣2）2+42、【2013•深圳】已知二次函数y=a（x﹣1）2﹣c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）A．B．C．D．3、【2011•泰安】若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=1时，y的值为（）x﹣7﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2y﹣27﹣13﹣3353A．5B．﹣3C．﹣13D．﹣274、【2008•济宁】已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y=x2﹣2x+3B．y=x2﹣2x﹣3C．y=x2+2x﹣3 D．y=x2+2x+35、【2010•深圳】如图所示，抛物线y=ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S‑PAD=4S‑ABM成立，求点P的坐标．重点回顾二次函数表达式的三种形式：一般式、顶点式、交点式；待定系数法名师点拨1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．学霸经验➢本节课我学到➢我需要努力的地方是。

知2－讲
导引： 由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(1＋0.7x) 倍，每件的出厂价是去年每件的出厂价的 (1＋0.5x) 倍，今年的年销售量是去年年销售量的 (1＋x)倍．
解：(1)(10＋7x)；(12＋6x) (2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x， 即y与x的函数关系式为y＝2－x. (3)W＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4＝－2(x-5)2＋4.5， ∵0＜x≤1，∴当x＝0.5时，W有最大值． W最大值＝4.5. 答：当x＝0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销 售利润为4.5万元．
知1－练
3 心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念 的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13 min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提 出概念30 min时，学生对概念的接受能力就剩下31， 则y与x满足的二次函数表达式为( D ) A．y＝－(x－13)2＋59.9 B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31 C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8 D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43
（来自《教材》）
知2－练
2 某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益
y(元)与旅行团人数x(人)满足表达式y＝－x2＋100x＋
28 400，要使收益最大，则此旅行团应有( C )
A．30人
B．40人
C．50人
D．55人
知2－练
3 (2016·咸宁)某网店销售某款童装，每件售价60元，每星 期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场 调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款 童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星 期的销售量为y件． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大， 最大利润是多少元？ (3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每 星期至少要销售该款童装多少件？