高三数学一轮单元练习卷-等比数列试题

课时作业(二十九)A [第29讲 等比数列][时间：35分钟 分值：80分]基础热身 1．[2011·深圳一模] 设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( )A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n －1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －122．[2011·泉州质检] 等比数列{a n }中，a 2＝3，a 7·a 10＝36，则a 15＝( ) A ．12 B ．－12 C ．6 D ．－63．[2011·沈阳二模] 设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为( )A.154B.152C.74D.72 4．[2011·广东卷] 已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.能力提升 5．[2011·厦门质检] 已知等比数列{a n }中，a 3＝2，其前n 项的积T n ＝a 1a 2…a n ，则T 5等于( )A ．8B ．10C ．16D ．32 6．[2011·开封二模] 设数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 5，a 13成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n4D ．n 2＋n 7．甲、乙两间工厂的月产值在2012年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小，则有( )A ．甲的产值小于乙的产值B ．甲的产值等于乙的产值C ．甲的产值大于乙的产值D ．不能确定 8．[2011·合肥三模] 已知各项均为实数的数列{a n }为等比数列，且满足a 1＋a 2＝12，a 2a 4＝1，则a 1＝( )A ．9或116 B.19或16C.19或116D ．9或16 9．若数列{a n }满足a n ＋2a n ＋1＋a n ＋1a n＝k (k 为常数)，则称数列{a n }为等比和数列，k 称为公比和．已知数列{a n }是以3为公比和的等比和数列，其中a 1＝1，a 2＝2，则a 2012＝________.10．[2011·北京卷] 在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.11．[2011·莱芜模拟] 在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝3116，a 3＝14，则1a 1＋1a 2＋…＋1a5＝________.12．(13分)[2011·济南二模] 设数列{a n}是一等差数列，数列{b n}的前n项和为S n＝23(b n－1)，若a2＝b1，a5＝b2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和S n.难点突破13．(12分)[2011·安徽卷] 在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作T n，再令a n＝lg T n，n≥1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝tan a n·tan a n＋1，求数列{b n}的前n项和S n.课时作业(二十九)A【基础热身】1．D [解析] 由已知，数列{(－1)n }是首项与公比均为－1的等比数列，其前n 项和为S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．A [解析] 由等比数列的性质，有a 2·a 15＝a 7·a 10＝36，则a 15＝36a 2＝12.3．A [解析] 在等比数列{a n }中，S 4＝a 1(1－24)1－2＝15a 1，a 3＝a 1·22＝4a 1，则S 4a 3＝154.4．2 [解析] 因为{a n }为等比数列，所以a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝4，即2q 2－2q ＝4， 所以q 2－q －2＝0，解得q ＝－1或q ＝2， 又{a n }是递增等比数列，所以q ＝2. 【能力提升】5．D [解析] 由a 3＝2，得T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝25＝32. 6．A [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 5＝a 1＋4d ，a 13＝a 1＋12d ，由a 1，a 5，a 13成等比数列，得a 25＝a 1a 13， 即(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋12d)， 化简，得4d 2－a 1d ＝0， ∵a 1＝2，d ≠0，∴d ＝12，S n ＝2n ＋n (n －1)2×12＝n 24＋7n 4.7．C [解析] 设甲各个月份的产值为数列{a n }，乙各个月份的产值为数列{b n }，则数列{a n }为等差数列、数列{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，a 11＝b 11，故a 6＝a 1＋a 112≥a 1a 11＝b 1b 11＝b 26＝b 6.由于等差数列{a n }的公差不等于0，故a 1≠a 11，上面的等号不能成立，故a 6>b 6.8．D [解析] 由已知得a 23＝1，所以a 3＝1或a 3＝－1，设公比为q ，则有a 3q 2＋a 3q＝12， 当a 3＝1时，解得q ＝13或q ＝－14，此时a 1＝9或16；当a 3＝－1时，－1q 2＋－1q＝12无解．9．21006 [解析] 据题意可推知此数列为1,2,2,4,4,8,8,16,16，…，其奇数项为1,2,4,8，…，偶数项为2,4,8,16，…，所以a 2012＝2×21006－1＝21006.10．－2 2n －1－12 [解析] 由a 4＝a 1q 3＝12q 3＝－4，可得q ＝－2；因此，数列{|a n |}是首项为12，公比为2的等比数列，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12.11．31 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 2＋…＋a 5＝3116，得a 1(1＋q ＋…＋q 4)＝3116，由a 3＝14，得a 1q 2＝14，则a 21q 4＝116， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 5＝1a 1⎝⎛⎭⎫1＋1q ＋…＋1q 4＝a 1(1＋q ＋…＋q 4)a 21q4＝31. 12．[解答] (1)∵S 1＝23(b 1－1)＝b 1，∴b 1＝－2.又S 2＝23(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2，∴b 2＝4，∴a 2＝－2，a 5＝4.∵{a n }为一等差数列，∴公差d ＝a 5－a 23＝63＝2，即a n ＝－2＋(n －2)·2＝2n －6.(2)∵S n ＋1＝23(b n ＋1－1)①，S n ＝23(b n －1)②，①－②得S n ＋1－S n ＝23(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，∴b n ＋1＝－2b n ，∴数列{b n }是一等比数列，公比q ＝－2，b 1＝－2， 即b n ＝(－2)n .∴S n ＝23[(－2)n －1]．【难点突破】13．[解答] (1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则 T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1，②①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得T 2n ＝(t 1t n ＋2)·(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)． ∴a n ＝lg T n ＝n ＋2，n ∈N *.(2)由题意和(1)中计算结果，知 b n ＝tan(n ＋2)·tan(n ＋3)，n ≥1， 另一方面，利用tan1＝tan[(k ＋1)－k ]＝tan (k ＋1)－tan k1＋tan (k ＋1)·tan k ，得tan(k ＋1)·tan k ＝tan (k ＋1)－tan ktan1－1.所以S n ＝∑k ＝1nb k ＝∑k ＝3n ＋2tan(k ＋1)·tan k＝∑k ＝3n ＋2⎣⎡⎦⎤tan (k ＋1)－tan k tan1－1＝tan (n ＋3)－tan3tan1－n .。

2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n 项和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100D ．200解析：a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100. 答案：C2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D ．558解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案：A3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．15解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.答案：A4．(xx 届太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.答案：B5．(xx 届莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017解析：由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n， 所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.答案：D6．(xx 届海口市调研测试)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( )A.12 B ．1716 C ．2D ．17解析：设{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B.答案：B7．(xx 届衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1解析：因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.答案：C8．(xx 届广州市五校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，所以a 21＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，所以a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211. 答案：C9．由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________. 解析：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1a 10)·(a 2a 9)·…·(a 5a 6)＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25.答案：2510．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.答案：3n －111．(xx 届南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列， 所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5， 即2a 6－3a 5＋a 4＝0， 所以2q 2－3q ＋1＝0， 因为q ≠1， 所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.12．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝81＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．∵4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2符合上式，∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥1)， ∴a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 22a n ＋1－a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．[能 力 提 升]1．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________．解析：T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0<a 1<a 2<…<a 14<a 15<1<a 16<a 17<…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.答案：152．(xx 届山西吕梁质检)已知数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，则这个数列的前2 018项之积T 2 018等于________．解析：数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，这个数列的前8项分别为2,8,4，12，18，14，2,8，易得从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项积为2×8×4×12×18×14＝1.又因为2 018＝336×6＋2，所以这个数列的前2 018项之积T 2 018＝1336×2×8＝16. 答案：163．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n.2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.4数列求和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．2 015B ．－2 015C ．3 021D ．－3 022解析：由题知a 1＝tan(180°＋45°)＝1，∴a 5＝13 ∴d ＝a 5－a 15－1＝124＝3. ∴a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. 设b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(3n －2)，∴S 2 014＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－6 037＋6 040)＝3×1 007＝3 021.故选C. 答案：C2．设{a n }是公差不为零的等差数列，a 2＝2，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4 B ．n 22＋3n 2C.n 24＋3n4D ．n 22＋n2解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则 由a 23＝a 1a 9得(a 2＋d )2＝(a 2－d )(a 2＋7d )， 代入a 2＝2，解得d ＝1或d ＝0(舍)． ∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n ， ∴S n ＝a 1＋a n n2＝1＋n n 2＝n 22＋n 2.故选D. 答案：D3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36解析：设等比数列{a n }的公比为q 则a 21q 3＝2a 1，①a 1q 3＋2a 1q 6＝52，②解得a 1＝16，q ＝12，∴S 5＝a 11－q 51－q＝31，故选B.答案：B4．已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝32S n ，求{c n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{b n }的公差为d ， ∵a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2＋3d ＝18，6＋d ＝q 2.求得q ＝3，d ＝3，∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由题意得S n ＝n 3＋3n2，c n ＝32S n ＝32×23×1n n ＋1＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.5．(xx 届广州综合测试)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2. 因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2. 所以a n ＝a 2qn －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1， 所以a n b n ＝(2n －1)2n，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n＋(2n －1)·2n ＋1.②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×41－2n －11－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.6．S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.7．已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)． (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n(n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立， 求实数λ的取值范围．解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5， 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6， 所以{a n }是等差数列，首项为1，公差为6， 即a n ＝6n －5. (2)因为b n ＝2n， 所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2，由λa n >2n＋n ＋2λ得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1，令f (n )＝12＋n 2n ＋1，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝1－n 2n ＋2≤0， 所以12＋n2n ＋1在n ≥1时单调递减，所以当n ＝1,2时，2n＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞. [能 力 提 升]1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以S n ＝2n 2－n ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. a 1＝1＝4×1－3，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)可得b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(4n －3)． 当n 为偶数时，T n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n －7)＋(4n －3)]＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1，综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.2．在数列{a n }中，已知a n >1，a 1＝1＋3，且a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，记b n ＝(a n －1)2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：13≤1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <34.解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，所以a 2n ＋1－a 2n －2a n ＋1＋2a n ＝2， 即(a n ＋1－1)2－(a n －1)2＝2. 又b n ＝(a n －1)2，n ∈N *，所以b n ＋1－b n ＝2，数列{b n }是以b 1＝(1＋3－1)2＝3为首项，2为公差的等差数列， 故b n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)证明：由(1)得S n ＝n 3＋2n ＋12＝n (n ＋2)，所以1S n ＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，n ∈N *， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<34.记T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n，因为1S n>0，n ∈N *，所以T n 单调递增．故T n ≥T 1＝1S 1＝13.综上13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34.3．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2n ＋a n ＝2S n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.解：(1)因为当n ∈N *时，a 2n ＋a n ＝2S n ， 故当n >1时，a 2n －1＋a n －1＝2S n －1，两式相减得，a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1＝2S n －2S n －1＝2a n ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1.因为a n >0，所以a n ＋a n －1>0，所以当n >1时，a n －a n －1＝1.又当n ＝1时，a 21＋a 1＝2S 1＝2a 1，得a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n ＝n .(2)证明：由(1)及等差数列的前n 项和公式知S n ＝n n ＋12，所以S n ＝ n n ＋12>n 22＝n2， 所以S 1＋S 2＋…＋S n >12＋22＋…＋n 2＝ 1＋2＋…＋n 2＝S n 2. 又S n ＝ n n ＋12<n ＋122＝n ＋12， 所以S 1＋S 2＋…＋S n <22＋32＋…＋n ＋12＝1＋2＋…＋n ＋12－12＝S n ＋1－12， 所以S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.。

2021届高考数学一轮复习 专题07 数列一、填空题1．（2020·上海高三其他）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则249a a a ++= ________．【答案】24 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则，∴148a d +=． ∴．故答案为24．2．（2020·上海高三其他）设无穷等比数列n a 的公比为q ，首项10a >，则公比q 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 因为21231lim()211n n a a qa a a a q q→∞•+++==>--，又10a >且01q <<， 解得2,13q ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 3．（2017·上海闵行高三一模）已知数列的前n 项和为，则此数列的通项公式为___________． 【答案】 【解析】当1n =时,11211a S ==-=,当2n ≥时,()11121212n n n n n n a S S ---=-=---=,又1121-=,所以12n n a .故答案为:12n na .4．（2020·宝山上海交大附中高三其他）若n a 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x 项的系数，则 ． 【答案】8 【解析】 由题意，，∴88n =-，∴23232228lim()lim(8)8n n n n a a a n →∞→∞++⋅⋅⋅+=-=．5．（2020·上海高三其他）已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________. 【答案】(－3，＋∞) 【解析】因为数列{a n }是单调递增数列， 所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0.所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ的取值范围为(－3，＋∞)．6．（2020·上海嘉定高三二模）设各项均为正数的等比数列的前n 项和为，则6S =______． 【答案】63. 【解析】 由，得()661126312S -⇒==-．故答案为: 637．（2020·上海普陀高三二模）设n S 是等差数列的前n 项和（n *∈N ）若86286S S -=-，则2lim 2→∞=nn S n ______.【答案】12-【解析】∵数列{}n a 是等差数列，21()22n d dS n a n ∴=+-（其中d 是公差），，∵86286S S -=-， (86)22d∴-=-，2d =-． 即 21(1)n S n a n =-++，．故答案为：12-8．（2020·上海高三其他）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有01011012n na n S -=-，则1a =___ 【答案】1- 【解析】由011101011(2)1021212n n n n n na a a S n n S nn S -=-=++=---，令1n =，得11(2)10a a ++=，解得11a =-。

专题7.5数列的综合应用练基础1．（2021·浙江高三专题练习）已知正项等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b }，111a b ==，3b 是2a ，6a 的等差中项，8a 是3b ，5b 的等比中项，则下列关系成立的是（）A ．100100a b >B ．102411a b =C ．105a b >D ．999a b >2．（2021·江西赣州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．83.【多选题】（2020·湖南高三月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n 月月底小王手中有现款为n a ，则下列论述正确的有（）(参考数据：11121.27.5,1.29==)A ．112000a =B ．1 1.21000n n a a +=-C ．2020年小王的年利润为40000元D ．两年后，小王手中现款达41万4．（2021·江西高三其他模拟（理））已知公差不为0的等差数列{}n a 的部分项1k a ，2k a ，3k a ，……构成等比数列{}n a ，且11k =，22k =，35k =，则n k =___________.5．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图像上，其中k 为常数，且0k ≠（1）若124,,a a a 成等比数列，求k 的值；（2）当3k =时，求数列{}n a 的前2n 项的和2n S .6.（2021·江苏高考真题）已知数列{}n a 满足12a =，且()*1321n n a a n n N +=+-∈.（1）求证：数列{}n a n +为等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求数列{}n a 的前n 项和n S .7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且375,49a S ＝＝.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2,n an n b a +＝数列{}n b 的前n 项和为,n T 且1000,n T ≥求n 的取值范围.8．（2021·太原市·山西大附中高三其他模拟）在数列{}{},n n a b 中，11111,331,331n n n n n n a b a a b n b b a n ++===---=-++.等差数列{}n c 的前两项依次为2a ，2b .（1）求数列{}n c 的通项公式；（2）求数列(){}+nnna b c 的前n 项和nS.9．（2021·重庆高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21*n n a S n N -=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设()()11211n n n n a b a a +++=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：213n T ≤<．10．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）在数列{}n a 中，()111,01nn n a a a c ca +==>+，且125,,a a a 成等比数列．（1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()2141n n n b n a a +=+，其前n 项和为n S ，证明：1n S n <+．练提升1．（2021·河南郑州市·高三三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为1，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得13AC DB AB ==，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的线段EC 、ED 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为n S ，对任意的正整数n ，都有n S a ＜，则a 的最小值为__________．2．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，满足535S =，且1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若241n n b a =-，数列{}nb 的前n 项和为n T ，实数λ使得13n nT S λ++≤对任意*n N ∈恒成立，求λ的取值范围.3．（2021·全国高三其他模拟）有下列三个条件：①数列{}2n a -是公比为12的等比数列，②n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，③21n n S a =-，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*n ∈N ，都有___________.已知数列{}n b 满足32nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.4.（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知数列{a n }的前n 项和为S n ，21n n S a =-，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 6＝a 5．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若11n n n c b b +=，记数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：3T n ＜1．5．（2021·全国高三其他模拟）在①22n n S a =-；②32442a a a =+-；③321,2,S S S +成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列{a n }是各项均为正数的等比数列，前n 项和为S n ，a 1＝2，且___.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若n n b =*n N ∈），求数列{b n }的前n 项和T n .6．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足1122,1,1,n n n a n n a a a n n ++⎧==⎨---⎩为奇数为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，2,n n b a n N *=∈（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ；（2）求{}n nb 的前n 项和n T 及{}n a 的前n 项和为n S ．7．（2021·湖北高三其他模拟）在等比数列{a n }中，公比0q >，其前n 项和为S n ，且S 2=6，___________.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设log 2n n a b =，且数列{c n }满足c 1=1，c n +1﹣c n =b n +1b n ，求数列{c n }的通项公式.从①.S 4=30，②.S 6﹣S 4=96，③.a 3是S 3与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答.8．（2021·全国高三其他模拟）从①n b n =，②(6)n n b n =⋅﹣，③()212nn b n =+⋅中任选一个填入下面的空中，并解答．设等比数列{}n a 的公比3241,4,10q a a a >-=+=-，且____．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列132n n a b ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和．9．（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{n b }满足13b =，27b =且n b =n n a c +，n ∈*N （n a 是等比数列，n c 是等差数列），记数列{n a }的前n 项和为n S ，{n c }的前n 项和为n T ，若公比数q 等于公差数d ，且2234a c =．（1）求数列{nb }的通项公式；（2）记n R 为数列{n b }的前n 项和，求22nR n -（n ≥2，且n ∈*N ）的最小值．10．（2021·浙江金华市·高三三模）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，()14,2(1)n n a n a n S n N *=⋅=+⋅∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 满足68n b n =-，其前n 项和为n T ，若(1)nn n S T λ≥-⋅⋅对任意n *∈N 恒成立，求实数λ的取值范围.练真题1.（2020·北京高考真题）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）．A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项2.（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（）A．2a 4=a 2+a 6B．2b 4=b 2+b 6C．2428a a a =D．2428b b b =3.（2019年浙江卷）设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，b N *∈,则（）A.当101,102b a => B.当101,104b a =>C.当102,10b a =-> D.当104,10b a =->4．（2020·江苏省高考真题）设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．5.（2019年浙江卷）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N 6.（2021·天津高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22n n c c -是等比数列；（ii）证明)*nk n N =<∈。