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数学分析求极限的方法(最新整理)

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求极限的方法具体方法⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：若极限和都存在，则函数， )(lim0xfxx)(limxgxx)(xf)(xg)()(xgxf

当时也存在且 0xx

①)()()()(limlimlim0.00xgxfxgxfxxxxx②)()()()(limlimlim000xgxfxgxfxxxxxx

又若，则在时也存在，且有0)(lim0xgxx)()(xgxf0xx

)()()()(limlimlim000xgxfxgxfxxxx

xx



利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如、等情况，都不能直接用四则运算法则，

00

必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。

例1：求2422limx

x

x

解：原式=02222limlim22





xx

xx

xx⒉用两个重要的极限来求函数的极限

①利用来求极限1sinlim0

x

x

x

的扩展形为：1sinlim0

x

x

x令，当或时，则有0xg

0xxx

或1sinlim0xgxgxx1sinlimxg

xg

x例2： x

xxsinlim

解：令t=.则sinx=sin( t)=sint, 且当时 xx0t

故 1sinsinlimlim0

ttx

x

tx

例3：求11sin21limxx

x

解：原式=211sin1111sin122121limlim



xxxxxxx

xx

②利用来求极限exx

)11(

lim

的另一种形式为.事实上，令exx)11(lime10)1(lim.1xx所以.0



x

xxe)11(

lim

e10)1(lim

例4: 求的极限xxx10)21(lim

解：原式=221210)21()21(limexxxxx

利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。⒊利用等价无穷小量代换来求极限

所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷.1)()(lim0

xg

xf

xx)(xf)(xg0xx

小量，记作)(xf)(~xg.)(0xx.

定理2②：设函数在内有定义，)(),(),(xhxgxf)(00xu

且有)(xf)(~xg.)(0xx①若则,)()(lim0AxgxfxxAxhxgxx)()(

lim

0②若则,)()(lim0BxfxhxxBxgxhxx)(

)(lim

0

证明：①AAxhxfxfxgxhxgxxxxxx

1)()()()()()(

limlimlim

000②可类似证明，在此就不在详细证明了！

由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限

例5：求的极限30sinsintanlimxxxx

解：由 而；).cos1(cossinsintanxx

xxx)0(,~sinxxx

（）；（）,2~cos12xxx033sinxx3~x,x

0

.

故有= 30sinsintanlimxxxxlim0x212cos132x

xx

x注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的

等价无穷小量，如：由于，故有又由于1sinlim0

x

x

xxsin).0(,~xx

故有arctanx，(x).,1arctanlim0

x

x

xx~0

另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中，若因有tanx，而推出 x~);0(xxsinx~).0(,x

= 则得到的结果是错误的。30sinsintanlimxxxx0sin30limxxxx

⒋ 利迫敛性来求极限定理3③：设f(x)= g(x)=A,且在某内有f(x)h(x)g(x),lim0xxlim0xx),('0xuo

则h(x)=Alim0xx例6：求x的极限lim0x



x1

解：1x<1-x. 且 由迫敛性知 

x1

1)1(lim0x

x

x=1lim0x



x1

做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。⒌利用函数的连续性求极限 利用函数的连续性求极限包括：如函数在点连续，则)(xf0x

及若)()(0lim0xfxfxxaxxx)(

lim

0

且f(u)在点a连续，则



)()(limlim00xfxf

xxxx

例7：求的极限2arcsin2cos10limx

x

xe

解：由于及函数在处连续，故=lim0x41arcsin2cos12xx4euf41ulim0x2

arcsin2cos1x

xe

=。20arcsin2cos1limxxxe

41

e

⒍利用洛比达法则求函数的极限在前面的叙述中，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此笔者叙述一种牵涉到无穷小（大）量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作型或型的不定0

0



式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛比达法则。下面就给出不定式极限的求法。(1)对于型不定式极限，可根据以下定理来求出函数的极限0

0

定理4④：若函数f(x)和函数g(x)满足：①==0。lim0xx)(xflim0xx)(xg

②在点的某空心邻域内两者都可导，且0x)(00xu0)('xg

③=A。（A可为实数，也可为或）lim0xx)(')('xgxf

则==A。lim0xx)()(xgxflim0xx)(')('xg

xf

注：此定理的证明可利用柯西中值定理，在此，笔者就不一一赘述了。例8：求limx

xx2tan

cos1

解：容易检验f(x)=1+与g(x)=在的邻域里满足定理的条件①和②，又因xcosx2tan0x

lim

x

== -)(')('xgxflimxxxx2sectan2sinlimx212cos3x

故由洛比达法则求得，==lim0xx)()(xgxflim0xx)(')('xgxf2

1

在此类题目中，如果仍是型的不定式极限，只要有可能，我们lim0xx)(')('xgxf0

0

可再次利用洛比达法则，即考察极限是否存在。当然，这是和lim0xx)(')('xg

xf

)('xf

在的某邻域内必须满足上述定理的条件。)('xg0x

例9：求)1ln()21(2210limx

xex

x

解：利用 （），则得)1ln(2x2~x0x

原式===lim0x221)21(xxexlim0xxxex2)21(21lim0x1222)21(23xex

在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，如下例，

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求极限的方法与技巧

求极限的方法与技巧

求极限的方法与技巧求极限是高等数学中的重要概念，涉及到数学分析的基本思想和方法，也是物理、工程、经济等领域中的重要工具。

求极限的方法与技巧有以下几点：一、代数方法1. 基本代数运算根据基本代数运算性质，将极限化为四则运算、乘方、开方等简单操作，如：$$\\lim_{x\\rightarrow1}{\\frac{x^2-1}{x-1}}=\\lim_{x\\rightarrow1}{\\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}}=\\lim_{x\\rightarrow1}{(x+1)}=2$$2. 分子有理化将分式的分子和分母做有理化处理。

$$\\lim_{x\\rightarrow0}{\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}}=\\lim_{x\\rightarrow0}{\\frac{(\\sqrt{1+x}-1)(\\sqrt{1+x}+1)}{x(\\sqrt{1+x}+1)}}=\\lim_{x\\rig htarrow0}\\frac{x}{x(\\sqrt{1+x}+1)}=\\frac{1}{2}$$3. 公共因式提取公共因式，把复杂表达式化为简单形式。

$$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan(2x)\\sin(3x )}{x^2}=\\lim_{x\\rightarrow0}{\\frac{(2x)(\\sin(3x ))}{x^2\\cos(2x)}}\\cdot\\frac{\\cos(2x)}{2}=3$$二、函数性质应用1. 函数连续性如果函数在一个点连续，那么这个点可以直接代入函数中计算极限。

$$\\lim_{x\\rightarrow1}{\\frac{x^2-1}{x-1}}=2$$2. 中值定理如果函数在 $[a,b]$ 上连续，那么根据中值定理可以导出一个与求解极限有关的不等式。

$$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\sin x}{x}=1$$3. 夹逼定理夹逼定理可以用来求解复杂函数的极限。

极限求值方法总结

极限求值方法总结

极限求值方法总结极限是数学中一个重要的概念，也是数学分析的核心内容之一、在数学中，极限表示函数在特定点处的趋近情况，是函数性质的基础。

极限求值方法是一种通过运算和推理来确定极限值的技巧和策略，可以简化复杂的极限计算过程。

在极限求值过程中，常用的方法有以下几种：1.代数化简法：通过将含有极限的表达式进行代数化简，使其变得简单易计算。

例如，将分子和分母同时除以最高次幂的次数，或运用因式分解、化简等代数技巧进行化简。

2.夹逼定理：当要求函数f(x)在特定点a处的极限时，通过找到另外两个函数g(x)和h(x)，并满足g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，同时lim[g(x)]=lim[h(x)]=L（L为常数）时，可以利用夹逼定理得出f(x)的极限也为L。

3.分子有理化法：当极限中存在分母中有根号的情况时，可以通过有理化的方式将分母进行化简。

常见的有理化方式有平方差公式、差平方和公式、三角恒等式等，将根式形式转换为有理式，以便更好地求解。

4.变量代换法：当要求一些变量的极限时，通过变量代换可以使问题变得简单。

常见的变量代换方法有三角代换、对数代换、指数代换等。

通过合适的变量代换，可以使极限过程中的运算简化，并更容易求解。

5.洛必达法则：当计算极限时，通过洛必达法则可以求解一些不定型的极限。

当计算极限时遇到不定型0/0或者∞/∞时，可以对分子和分母同时求导，然后取极限，利用洛必达法则将原极限转化为可求解的形式。

6.级数展开法：对于一些复杂的函数或表达式，可以利用级数展开的方法进行近似求解。

例如，将函数展开为幂级数、泰勒级数等，然后通过截断级数来逼近函数的值，从而求得极限。

7.递推法：对于一些递推数列，可以通过递推的方式求解极限。

通过找出数列中的递推关系式，并利用极限的性质，可以得到递推数列的极限。

除了以上几种常用的极限求值方法，还有许多其他特殊的技巧和策略，根据不同的问题和情况可以选择合适的方法。

在求解极限过程中，一些数学技巧和推理能力的培养也是十分重要的。

数学求极限的方法总结

数学求极限的方法总结

数学求极限的方法总结
一、夹逼准则的使用方法：
定理用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。

要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。

推论1 极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。

此题利用了放大的项与缩小的项比值的极限为1，原数列n项和大于最小的项的n项和，而小于最大的项的n项和。

例2也是如此。

由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对
数列进行恰当的放缩。

二、洛必达法则
洛必达法则主要是来求解0/0型、∞/∞型未定式的极限。

与此同时，下述构型也可用洛必达法则求极限，只需适当变型推导：0·∞、∞-∞、1^∞、∞^0、0^0。

对于其他形式的未定式：。

数学分析中极限的求法综述-9页文档资料

数学分析中极限的求法综述-9页文档资料

数学分析中极限的求法综述摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。

关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件.极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。

如函数y ＝f(x)在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。

极限是研究数学分析的基本公具。

极限是贯穿数学分析的一条主线。

学好极限是从以下两方面着手。

1：是考察所给函数是否存在极限。

2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。

本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。

1：利用两个准则求极限。

(1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有 lim n x y a →∞= .利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和 {}n z ，使得n n n y x z ≤≤。

例[1]n x =+ 求n x 的极限解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项n x ≤≤又因为1x x ==（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。