初二数学经典难题及答案.doc
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初二数学经典题型 1． 已知：如图， P 是正方形 ABCD内点，∠ PAD＝∠PDA＝15 0．求证：△ PBC是正三角形．
证明如下。 首先， PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°- 150°）÷2=15°，∠PAB=90° - 15°=75°。 A 在正方形 ABCD之外以 AD为底边作正三角形 ADQ， 连接 PQ， 则 ∠PDQ=6°0 +15°=75°， 同样∠PAQ=7°5 ， 又 AQ=DQ，, PA=PD，所以△ PAQ≌△PDQ， 那么∠ PQA= PQD=60 2=30 PQA ∠ °÷ °，在△ 中，
P D
∠APQ=18°0 - 30°- 75°=75°=∠ PAQ=∠PAB，于是 PQ=AQ=A，B 显然△ PAQ≌△ PAB，得∠ PBA=∠PQA=3°0 ， PB=PQ=AB=B，C∠PBC=90° - 30°=60°，所以△ ABC是正三角形。 B C
2. 已知：如图，在四边形 ABCD中，AD＝BC，M、N分别是 AB、CD的中点， AD、BC的延长线 交 MN于 E、F．求证：∠ DEN＝∠F． F
证明: 连接 AC,并取 AC的中点 G,连接 GF,GM. E
又点 N为 CD的中点 , 则 GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM∠= DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN∠= CFN;(2) N C 又 AD=BC则, :GN=GM∠, GNM=∠GMN故. : ∠DEM=∠CFN. D
A B M
3、 如图，分别以△ ABC的 AC和 BC为一边，在△ ABC的外侧作正方形 ACDE和正方形 CBFG， 点 P 是 EF的中点．求证：点 P 到边 AB的距离等于 AB的一半．
证明：分别过 E、C、F 作直线 AB的垂线，垂足分别为 M、O、N， 在梯形 MEFN中，WE平行 NF 因为 P 为 EF中点， P Q平行于两底 所以 PQ为梯形 MEFN中位线， 所以 PQ＝（ME＋NF）/2 D
G 又因为，角 0CB＋角 OBC＝90°＝角 NBF＋角 CBO C 所以角 OCB=角 NBF E 而角 C0B＝角 Rt＝角 BNF
CB=BF P
F 所以△ OCB全等于△ NBF A Q B△MEA全等于△ OAC（同理） 所以 EM＝AO，0B＝NF 所以 PQ=AB/2. 4、设 P 是平行四边形 ABCD内部的一点，且∠ PBA＝∠PDA．求证：∠ PAB＝∠PCB．
过点 P 作 DA的平行线，过点 A 作 DP的平行线，两者相交于点 E；连接 BE 因为 DP//AE，AD//PE 所以，四边形 AEPD为平行四边形 所以，∠ PDA=∠AEP A D
已知，∠ PDA=∠PBA 所以，∠ PBA=∠AEP P
所以， A、E、B、P四点共圆 B C 所以，∠ PAB=∠PEB
因为四边形 AEPD为平行四边形，所以： PE//AD，且 PE=AD 而，四边形 ABCD为平行四边形，所以： AD//BC，且 AD=BC 所以， PE//BC，且 PE=BC 即，四边形 EBCP也是平行四边形 所以，∠ PEB=∠PCB 所以，∠ PAB=∠PCB
5.P 为正方形 ABCD内的一点，并且 PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长． 解：将△ BAP绕 B点旋转 90°使 BA与 BC重合， P点旋转后到 Q点，连接 PQ 因为△ BAP≌△ BCQ 所以 AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC 因为四边形 DCBA是正方形 A D 所以∠ CBA＝90°，所以∠ ABP＋∠ CBP＝90°，所以∠ CBQ＋∠CBP＝90° P 即∠PBQ＝90°，所以△ BPQ是等腰直角三角形
所以 PQ＝√2*BP，∠ BQP＝45 因为 PA=a，PB=2a，PC=3a 所以 PQ＝2√2a， C Q＝a，所以 CP^2＝9a^2 ，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2 所以 CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△ CPQ是直角三角形且∠ CQA＝90° 所以∠ BQC＝90°＋45°＝135°，所以∠ BPA＝∠BQC＝135° B C
作 BM⊥PQ 则△BPM是等腰直角三角形 所以 PM＝BM＝PB/√2＝2a/ √2＝√2a 所以根据勾股定理得： AB^2＝AM^2＋BM^2 ＝( √2a＋ a)^2 ＋( √2a)^2 ＝[5 ＋2√2]a^2 所以 AB＝[ √(5 ＋2√2)]a6. 一个圆柱形容器的容积为 V 立方米， 开始用一根小水管向容器内注水， 水面高度达到容器 高度一半后， 改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。 向容器中注满水的全过程共用时间 t 分。求两根水管各自注水的速度。 解：设小水管进水速度为 x，则大水管进水速度为 4x。 v v 由题意得： t 2x 8x
解之得： x 5v
8t
经检验得： x 5v
8t 是原方程解。
∴小口径水管速度为 5v 8t ，大口径水管速度为 5v 2t 。
7．如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点 M（－2，- 1），且 P（ - 1，－2） 为双曲线上的一点， Q为坐标平面上一动点， PA垂直于 x 轴，Q B垂直于 y 轴，垂足分别 是 A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点 Q在直线 MO上运动时，直线 MO上是否存在这样的点 Q，使得△ OBQ与△OAP面积 相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图 12，当点 Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ为邻边的平行四边形 OPCQ，求平行四边形 OPCQ周长的最小值．
y y
Q Q
B B
A O A O x x
M C
M
P P
图 解：（1）设正比例函数解析式为 y kx ，将点 M（ 2 ， 1）坐标代入得
图
1 k = ，所以正比
2
例函数解析式为 1 y = x 2
同样可得，反比例函数解析式为 y = 2
x （2）当点 Q在直线 D O上运动时，
设点 Q的坐标为 1 Q( m， m) ， 2 于是 1 1 1 1 2 S△ = OB? BQ 创 m m = m ，
OBQ 2 2 2 4 而 1 S△ = (- 1)? ( 2) = 1 ，
OAP 2
所以有， 1 4 2
m = 1，解得 m 2
所以点 Q的坐标为 Q1(2，1)和
Q2(- 2，- 1)
（3）因为四边形 OPCQ是平行四边形，所以 OP＝C Q，OQ＝PC， 而点 P（ 1， 2）是定点，所以 O P的长也是定长，所以要求平行四边形 OPCQ周长的 最小值就只需求 OQ的最小值．
因为点 Q在第一象限中双曲线上，所以可设点 Q的坐标为 2 Q (n，) ，
n
由勾股定理可得 4 2 2 2 2 OQ = n + = (n- ) + 4 ，
2 n n
所以当 2 2 (n- ) = 0 即 n 2 n- = 0时， n 2 OQ 有最小值 4，
又因为 O Q为正值，所以 O Q与
2 OQ 同时取得最小值，
所以 OQ有最小值 2．
由勾股定理得 OP＝ 5，所以平行四边形 OPCQ周长的最小值是
8. 如图， P是边长为 1 的正方形 ABCD对角线 A C上一动点（ P与 A、C不重合），点 E在射线 B C上，且 PE=PB.
（1）求证：① PE=PD； ② PE⊥PD； （2）设 AP=x, △PBE的面积为 y. ① 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； ② 当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值 . 解：（1）证法一： ① ∵ 四边形 ABCD是正方形， A C为对角线， ∴ BC=D,C ∠BCP=∠DCP=45°. ∵ PC=PC， ∴ △PBC≌△PDC（SAS）. A D ∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC.
又∵ PB= PE ， ∴ PE=PD. P 1 ② （i ）当点 E在线段 BC上( E与 B、C不重合 ) 时， ∵ PB=PE， B C ∴ ∠PBE=∠PEB，
H 2
E ∴ ∠PEB=∠PDC，
