-高考文科数学真题汇编：立体几何高考题学生版之令狐文艳创作

G单元立体几何G1空间几何体的结构8．G1，G6[2013·北京卷] 如图1－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有()1－2A．3个B．4个C．5个D．6个8．B[解析] 设棱长为1，∵BD1＝3，∴BP＝33，D1P＝2 33.联结AD1，B1D1，CD1，得△ABD1≌△CBD1≌△B1BD1，∴∠ABD1＝∠CBD1＝∠B1BD1，且cos∠ABD1＝3 3，联结AP，PC，PB1，则有△ABP≌△CBP≌△B1BP，∴AP＝CP＝B1P＝63，同理DP＝A1P＝C1P＝1，∴P到各顶点的距离的不同取值有4个．18．G1，G4，G5[2013·广东卷] 如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图1－4(2)所示的三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22.图1－4(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积．18．解：G2 空间几何体的三视图和直观图10．G2，G7[2013·北京卷] 某四棱锥的三视图如图1－3所示，该四棱锥的体积为________．图1－310．3 [解析] 正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此V ＝13×(3×3)×1＝3.18．G2，G4[2013·福建卷] 如图1－3，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠PAD ＝60°.(1)当正视方向与向量AD →的方向相同时，画出四棱锥P －ABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M 为PA 的中点，求证：DM ∥平面PBC ；(3)求三棱锥D －PBC 的体积．图1－318．解：(1)在梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E. 由已知得，四边形ADCE 为矩形，AE ＝CD ＝3，在Rt △BEC 中，由BC ＝5，CE ＝4，依勾股定理得BE ＝3，从而AB ＝6.又由PD ⊥平面ABCD 得，PD ⊥AD.从而在Rt △PDA 中，由AD ＝4，∠PAD ＝60°，得PD ＝4 3. 正视图如图所示．(2)方法一：取PB 中点N ，联结MN ，CN.在△PAB 中，∵M 是PA 中点，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3.又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD ，∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM ∥CN.又DM 平面PBC ，CN 平面PBC ，∴DM ∥平面PBC.方法二：取AB的中点E，联结ME，DE.在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE∥BC.又DE 平面PBC，BC 平面PBC，∴DE∥平面PBC.又在△PAB中，ME∥PB，ME 平面PBC，PB 平面PBC，∴ME∥平面PBC. 又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.又DM 平面DME，∴DM∥平面PBC.(3)V D－PBC＝V P－DBC＝13S△DBC·PD，又S△DBC＝6，PD＝4 3，所以V D－PBC＝8 3.6．G2[2013·广东卷] 某三棱锥的三视图如图1－2所示，则该三棱锥的体积是()图1－2A.16B.13C.23 D ．16．B [解析] 由三视图得三棱锥的高是2，底面是一个腰为1的等腰直角三角形，故体积是13×12×1×1×2＝13，选B.5．G2[2013·广东卷] 执行如图1－1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )图1－1A ．1B ．2C ．4D ．75．C [解析] 1≤3，s ＝1＋0＝1，i ＝2；2≤3，s ＝1＋1＝2，i ＝3；s ＝2＋2＝4，i ＝4；4>3，故输出s ＝4，选C.7．G2[2013·湖南卷] 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( ) A.32 B ．1 C.2＋12 D. 27．D [解析] 由题可知，其俯视图恰好是正方形，而侧视图和正视图则应该都是正方体的对角面，故面积为2，选D.8．G2[2013·江西卷] 一几何体的三视图如图1－2所示，则该几何体的体积为( )图1－2A ．200＋9πB ．200＋18πC ．140＋9πD ．140＋18π8．A [解析] 该几何体上面是半圆柱，下面是长方体，半圆柱体积为12π·32·2＝9π，长方体体积为10×5×4＝200.故选A.13．G2[2013·辽宁卷] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积是________．图1－313．16π－16[解析] 由三视图可知该几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体，所以该几何体的体积为V＝4π×4－16＝16π－16.9．G2[2013·新课标全国卷Ⅱ] 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()图1－39．A[解析] 在空间直角坐标系O－xyz中画出三棱锥，由已知可知三棱锥O－ABC为题中所描叙的四面体，而其在zOx平面上的投影为正方形EBDO，故选A.图1－44．G2[2013·山东卷] 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图1－1所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()图1－1A ．4 5，8B ．4 5，83C ．4(5＋1)，83D ．8，84．B [解析] 由正视图知该几何体的高为2，底面边长为2，斜高为22＋1＝5，∴侧面积＝4×12×2×5＝4 5，体积为13×2×2×2＝83.12．G2[2013·陕西卷] 某几何体的三视图如图1－2所示，则其表．面积为________．图1－212．3π [解析] 由三视图得该几何体为半径为1的半个球，则表面积为半球面＋底面圆，代入数据计算为S ＝12×4π×12＋π×12＝3π.11．G2[2013·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为( )图1－3A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π11．A [解析] 该空间几何体的下半部分是一个底面半径为2，母线长为4的半圆柱，上半部分是一个底面边长为2、高为4的正四棱柱．这个空间几何体的体积是12×π×4×4＋2×2×4＝16＋8π.5．G2[2013·浙江卷] 已知某几何体的三视图(单位： cm)如图1－1所示，则该几何体的体积是( )图1－1A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 35．B [解析] 此直观图是由一个长方体挖去一个三棱锥而得，如图所示其体积为3×6×6－13×12×3×4×4＝108－8＝100(cm 3)．所以选择B.19．G2和G5[2013·重庆卷] 如图1－4所示，四棱锥P －ABCD中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2 3，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积．图1－419．解：(1)证明：因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC.因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD ，从而BD 与平面PAC 内两条相交直线PA ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面PAC.(2)三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12·2·2·sin 2π3＝ 3.由PA ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·PA ＝13×3×2 3＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18PA ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18PA ＝13×3×18×2 3＝14，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.8．G2和G7[2013·重庆卷] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的表面积为( )图1－3A ．180B ．200C ．220D ．2408．D [解析] 该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，其腰为5的等腰梯形，所以底面面积和为12(2＋8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以该直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240，故选D.G3 平面的基本性质、空间两条直线G4空间中的平行关系17．G4，G5，G7[2013·北京卷] 如图1－5，在四棱锥P－ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.图1－517．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE 平面PAD，AD 平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，所以CD⊥平面BEF，所以平面BEF⊥平面PCD.18．G2，G4[2013·福建卷] 如图1－3，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.→的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的(1)当正视方向与向量AD正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；(3)求三棱锥D－PBC的体积．图1－318．解：(1)在梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E. 由已知得，四边形ADCE 为矩形，AE ＝CD ＝3，在Rt △BEC 中，由BC ＝5，CE ＝4，依勾股定理得BE ＝3，从而AB ＝6.又由PD ⊥平面ABCD 得，PD ⊥AD.从而在Rt △PDA 中，由AD ＝4，∠PAD ＝60°，得PD ＝4 3. 正视图如图所示．(2)方法一：取PB 中点N ，联结MN ，CN.在△PAB 中，∵M 是PA 中点，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3.又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD ，∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM ∥CN.又DM 平面PBC ，CN 平面PBC ，∴DM ∥平面PBC.方法二：取AB的中点E，联结ME，DE.在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE∥BC.又DE 平面PBC，BC 平面PBC，∴DE∥平面PBC.又在△PAB中，ME∥PB，ME 平面PBC，PB 平面PBC，∴ME∥平面PBC. 又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.又DM 平面DME，∴DM∥平面PBC.(3)V D－PBC＝V P－DBC＝13S△DBC·PD，又S△DBC＝6，PD＝4 3，所以V D－PBC＝8 3.18．G1，G4，G5[2013·广东卷] 如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图1－4(2)所示的三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22.图1－4(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积．18．解：8．G4、G5[2013·广东卷] 设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β8．B [解析] 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.16．G4，G5[2013·江苏卷] 如图1－2，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB.过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.图1－216．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB 的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF 平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC 平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB 平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA 平面SAB，所以BC⊥SA.15．G4[2013·江西卷] 如图1－5所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．图1－515．4[解析] 直线EF与正方体左右两个面平行，与其他四个面相交．图1－418．G4，G5[2013·辽宁卷] 如图1－4，AB是圆O的直径，PA 垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.18．证明：(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)联结OG并延长交AC于M，联结QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点，由Q为PA中点，得QM∥PC.又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM 平面QMO.MO 平面QMO，BC∩PC＝C，BC 平面PBC，PC 平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG 平面QMO，所以QG∥平面PBC.18．G4，G7，G11[2013·新课标全国卷Ⅱ] 如图，直三棱柱ABC －A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．图1－718．解：(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，联结DF，则BC1∥DF.因为DF 平面A1CD，BC1 平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.图1－8(2)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD.由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB.又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝2 2得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D.所以VC －A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.19．G4，G5[2013·山东卷] 如图1－5，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．(1)求证：CE ∥平面PAD ；(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN.图1－619．证明：(1)证法一：取PA 的中点H ，联结EH ，DH. 因为E 为PB 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB.又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD.因此四边形DCEH 是平行四边形．所以CE ∥DH.又DH 平面PAD ，CE 平面PAD ，因此CE ∥平面PAD.证法二：联结CF.因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB.又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD.又AF ∥CD ，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD.又CF 平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE 平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF 平面EFG，FG 平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，因此MN⊥平面EFG.又MN 平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.18．G4，G11[2013·陕西卷] 如图1－5，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.图1－5(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．18．解：(1)证明：由题设知，BB1瘙 綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD 平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1瘙 綊B1C1瘙 綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B 平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．又∵AO＝12AC＝1，AA1＝2，∴A1O＝AA21－OA2＝1，又∵S△ABD＝12×2×2＝1，∴V ABD－A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.19．G4，G5，G7，G11[2013·四川卷]图1－8如图1－8，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1－QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)19．解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC.由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD.因此AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l.又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交， 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1.(2)过D 作DE ⊥AC 于E.因为AA 1⊥平面ABC ，所以DE ⊥AA 1.又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交， 所以DE ⊥平面AA 1C 1C.由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°，所以在△ACD 中，DE ＝32AD ＝32.又S △A 1QC 1＝12A 1C 1·AA 1＝1，所以V A 1－QC 1D ＝VD －A 1QC 1＝13DE ·S △A 1QC 1＝13×32×1＝36.因此三棱锥A 1－QC 1D 的体积是36.17．G4，G5、G11[2013·天津卷] 如图1－3所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．(1)证明EF ∥平面A 1CD ；(2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1；(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．图1－317．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，联结ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC ，又因为F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF ∥DA 1.又EF 平面A 1CD ，DA 1 平面A 1CD ，所以，EF ∥平面A 1CD.(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱AA1⊥底面ABC，CD 平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD 平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.(3)在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，联结CG，由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD 与平面A1ABB1的交线，故BG⊥平面A1CD，由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．设三棱柱各棱长为a，可得A1D＝5a2，由△A1AD∽△BGD，易得BG＝5a5.在Rt△BGC中，sin∠BCG＝BGBC＝55.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为5 5.4．G4，G5[2013·浙江卷] 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β4．C[解析] 对于选项C，若m∥n，m⊥α，易得n⊥α.所以选择C.G5空间中的垂直关系图1－518．G5[2013·安徽卷] 如图1－5，四棱锥P－ABCD的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝ 6.(1)证明：PC⊥BD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．18．解：(1)证明：联结AC，交BD于O点，联结PO.因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.由PB＝PD知，PO⊥BD.再由PO∩AC＝O知，BD⊥面APC，又PC 平面APC，因此BD⊥PC.(2)因为E是PA的中点，所以V P－BCE＝V C－PEB＝12V C－PAB＝12V B－APC.由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.因为∠BAD＝60°，所以PO＝AO＝3，AC＝23，BO＝1.又PA＝6，故PO2＋AO2＝PA2，即PO⊥AC.故S△APC＝12PO·AC＝3.由(1)知，BO ⊥面APC ，因此V P －BCE ＝12V B －APC ＝13·12·S △APC ·BO＝12.17．G4，G5，G7[2013·北京卷] 如图1－5，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)PA ⊥底面ABCD ；(2)BE ∥平面PAD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD.图1－517．证明：(1)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，所以PA ⊥底面ABCD.(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE ，所以ABED 为平行四边形，所以BE ∥AD.又因为BE 平面PAD ，AD 平面PAD ，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF，所以CD⊥平面BEF，所以平面BEF⊥平面PCD.19．G5、G11[2013·全国卷] 如图1－3所示，四棱锥P—ABCD 中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是边长为2的等边三角形．图1－3(1)证明：PB⊥CD；(2)求点A到平面PCD的距离．19．解：(1)证明：取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED 为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.联结OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点．故OE⊥BD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)取PD的中点F，联结OF，则OF∥PB.由(1)知，PB⊥CD，故OF⊥CD.又OD＝12BD＝2，OP＝PD2－OD2＝2，故△POD为等腰三角形，因此OF⊥PD.又PD∩CD＝D，所以OF⊥平面PCD.因为AE∥CD，CD 平面PCD，AE 平面PCD，所以AE∥平面PCD.因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OF＝12PB＝1，所以点A到平面PCD的距离为1.18．G1，G4，G5[2013·广东卷] 如图1－4(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图1－4(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝2 2.图1－4(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积．18．解：8．G4、G5[2013·广东卷] 设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β8．B [解析] 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.16．G4，G5[2013·江苏卷] 如图1－2，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB.过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.图1－216．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB 的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF 平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC 平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB 平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA 平面SAB，所以BC⊥SA.19．G5，G7[2013·江西卷] 如图1－7所示，直四棱柱ABCD－A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.(1)证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ；(2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离．图1－719．解：(1)证明：过B 作CD 的垂线交CD 于F ，则BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2.在Rt △BEF 中，BE ＝ 3.在Rt △CFB 中，BC ＝ 6.在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2，故BE ⊥BC.由BB 1⊥平面ABCD 得BE ⊥BB 1.所以BE ⊥平面BB 1C 1C.(2)三棱锥E －A 1B 1C 1的体积V ＝13·AA 1·S △A 1B 1C 1＝ 2.在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1＝A 1D 21＋D 1C 21＝3 2.同理，EC 1＝EC 2＋CC 21＝3 2，A 1E ＝A 1A 2＋AD 2＋DE 2＝23.故S △A 1C 1E ＝3 5.设点B 1到平面EA 1C 1的距离为d ，则三棱锥B 1－A 1C 1E 的体积V ＝13·d ·S △A 1C 1E ＝5d ， 从而5d ＝2，d ＝105.图1－418．G4，G5[2013·辽宁卷] 如图1－4，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)设Q 为PA 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC.18．证明：(1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC.由PA ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，得PA ⊥BC.又PA ∩AC ＝A ，PA 平面PAC ，AC 平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC.(2)联结OG 并延长交AC 于M ，联结QM ，QO ，由G 为△AOC 的重心，得M 为AC 中点，由Q 为PA 中点，得QM ∥PC.又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM 平面QMO.MO 平面QMO，BC∩PC＝C，BC 平面PBC，PC 平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG 平面QMO，所以QG∥平面PBC.19．G4，G5[2013·山东卷] 如图1－5，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.图1－619．证明：(1)证法一：取PA的中点H，联结EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝12AB.又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD.因此四边形DCEH 是平行四边形．所以CE ∥DH.又DH 平面PAD ，CE 平面PAD ，因此CE ∥平面PAD.证法二：联结CF.因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB.又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD.又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形．因此CF ∥AD.又CF 平面PAD ，所以CF ∥平面PAD.因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥PA.又EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE 平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF 平面EFG，FG 平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，因此MN⊥平面EFG.又MN 平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.19．G4，G5，G7，G11[2013·四川卷]图1－8如图1－8，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1－QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)19．解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC.由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD.因此AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l.又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交， 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1.(2)过D 作DE ⊥AC 于E.因为AA 1⊥平面ABC ，所以DE ⊥AA 1.又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交， 所以DE ⊥平面AA 1C 1C.由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°，所以在△ACD 中，DE ＝32AD ＝32.又S △A 1QC 1＝12A 1C 1·AA 1＝1，所以V A 1－QC 1D ＝VD －A 1QC 1＝13DE ·S △A 1QC 1＝13×32×1＝36.因此三棱锥A 1－QC 1D 的体积是36.17．G4，G5、G11[2013·天津卷] 如图1－3所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．(1)证明EF ∥平面A 1CD ；(2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1；(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．图1－317．解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，联结ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC ，又因为F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF ∥DA 1.又EF 平面A 1CD ，DA 1 平面A 1CD ，所以，EF ∥平面A 1CD.(2)证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB ，又由于侧棱AA 1⊥底面ABC ，CD 平面ABC ，所以A 1A ⊥CD ，又A 1A ∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1，而CD 平面A 1CD ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.(3)在平面A 1ABB 1内，过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 于点G ，联结CG ，由于平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1，而直线A 1D 是平面A 1CD 与平面A 1ABB 1的交线，故BG ⊥平面A 1CD ，由此得∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角．设三棱柱各棱长为a ，可得A 1D ＝5a 2，由△A 1AD ∽△BGD ，易得BG ＝5a 5.在Rt △BGC 中，sin ∠BCG ＝BG BC ＝55.所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为55.19．G5[2013·新课标全国卷Ⅰ] 如图1－5所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．图1－519．解：(1)取AB的中点O，联结OC，OA1，A1B，因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C 平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝ 3.又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V ＝S△ABC·OA1＝3.4．G4，G5[2013·浙江卷] 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αD ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β4．C [解析] 对于选项C ，若m ∥n ，m ⊥α，易得n ⊥α.所以选择C.19．G2和G5[2013·重庆卷] 如图1－4所示，四棱锥P －ABCD中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2 3，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积．图1－419．解：(1)证明：因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC.因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD ，从而BD 与平面PAC 内两条相交直线PA ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面PAC.(2)三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12·2·2·sin 2π3＝ 3.由PA ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·PA ＝13×3×2 3＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18PA ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18PA ＝13×3×18×2 3＝14，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.G6 三垂线定理8．G1，G6[2013·北京卷] 如图1－2，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )图1－2A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．B [解析] 设棱长为1，∵BD 1＝3，∴BP ＝33，D 1P ＝2 33.联结AD 1，B 1D 1，CD 1，得△ABD 1≌△CBD 1≌△B 1BD 1，。

（8）立体几何（文）——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编1.【2021年新高考Ⅰ卷，3】已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( ) A.2B.22C.4D.422.【2021年新高考Ⅱ卷，4】卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离）.把地球看成一个球心为O ，半径为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α.该卫星信号覆盖的地球表面面积22π(1cos )S r α=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比为( ) A.26%B.34%C.42%D.50%3.【2021年北京卷，4】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为( )33+ B.1213+3 4.【2021年浙江卷，4】某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：3cm )是( )A.32B.3C.322D.325.【2021年新高考Ⅱ卷，5】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为( ) A.5623B.562C.282D.28236.【2021年浙江卷，6】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，,M N 分别是1A D ，1D B 的中点，则( )A.直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB.直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC.直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD.直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B7.【2021年北京卷，8】定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度.其中小雨（10<mm ），中雨（10mm —25mm ），大雨（25mm —50mm ），暴雨（50mm —100mm ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级( )A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨8.【2021年全国乙卷(文)，10】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为( ) A.π2B.π3C.π4D.π69.【2021年全国甲卷(文)，14】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为__________.10.【2021年上海卷，9】已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，点C 为下底底面圆周上的一个动点，点C 绕着下底底面旋转一周，则ABC △面积的取值范围为____________.11.【2021年全国乙卷(文)，16】以图①为正视图，在图②③④③中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）.12.【2021年全国乙卷(文)，18】如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.13.【2021年安徽怀宁模拟，18】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面11,2,ABC AA AC AC AB BC ====，且AB BC ⊥，O 为AC 的中点.（1）求证：平面11A B O ⊥平面1BCA ；（2）若点E 在1BC 上，且//OE 平面1A AB ，求三棱锥1E A BC -的体积.14.【2021年广西桂林模拟(文)，18】如图所示，在三棱锥A BCD -中，侧棱AB ⊥平面BCD ，F 为线段BD 中点，Q 为线段AB 中点，2π3BCD ∠=，3AB =，2BC CD ==.证明：（1）CF ⊥平面ABD ； （2）求点D 到平面QCF 的距离.15.【2021年全国甲卷(文)，19】已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形.2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥，（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ⊥.答案以及解析1.答案：B解析：本题考查圆锥的侧面展开图.设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .由题意可得2ππr l =，所以222l r ==. 2.答案：C解析：由题意可知，6400cos 0.1536000640036000r r α==≈++，所以从同步卫星上可望见的地球的表面积222π(1cos )2π(10.15)S r r α=-≈-，此面积与地球表面积之比约为222π(10.15)100%42%4πr r -⨯≈.3.答案：A解析：画正方体，删点，剩下的4个点就是三棱锥的顶点，如图：1333311(11)2S +=⨯⨯⨯+=表. 4.答案：A解析：本题考查几何体的三视图.该几何体是高为1的四棱柱，其底面为三个全等的直角边为1的等腰直角三角形拼成的梯形，面积为32，故其体积是32. 5.答案：D解析：本题考查棱台的体积.将正四棱台1111A B C D ABCD -补成四棱锥P ABCD -，作PO ⊥底面ABCD 于点O ，交平面1111A B C D 于点1O ，则棱台1111A B C D ABCD -的体积1111P ABCD P A B C D V V V --=-.由题意，11112142PA PO A B PA PO AB ====，易知，4PA =，22AO =22224(22)22PO PA AO --=，所以12PO =，则1322(44)223P ABCD V -=⨯⨯⨯，1111142(22)23P A B C D V -=⨯⨯，所以棱台1111A B C D ABCD -的体积111132242282P ABCD P A B C D V V V --=-==.6.答案：A解析：本题考查空间的线线关系与线面关系.易知1A D ⊥平面1ABD ，故11A D D B ⊥，排除B ，C 项；连接1AD ，可知//MN AB ，所以//MN 平面ABCD ，A 项正确；因为AB 不垂直于平面11BDD B ，//MN AB ，所以直线MN 不垂直于平面11BDD B ，D 项错误.7.答案：B解析：由相似的性质可得，小圆锥的底面半径2002502r ==，故231π5015050π3V =⨯⨯⨯=⋅小圆锥，积水厚度3250π12.5π100V h S ⋅===⋅大小圆锥圆，属于中雨，故选B. 8.答案：D解析：本题考查立体几何中的线面关系及解三角形的应用.如图，记正方体的棱长为a ，则1111112AD C B A C B D a ====，所以1122B P PC a ==，221162BP B P B B a =+=.在1BC P 中，由余弦定理得22211113cos 22PB C B PC PBC PB C B +-∠==⋅，所以1π6PBC ∠=.又因为11//AD BC ，所以1PBC ∠即为直线PB 与1AD 所成的角，所以直线PB 与1AD 所成的角为π6.9.答案：39π解析：本题考查圆锥的体积与侧面积.由题可得圆锥的体积21π12π30π3V r h h ===，可得52h =，故圆锥的母线22132l r h +，所以圆锥的侧面积π39πS rl ==. 10.答案：5]解析：本题主要考查空间几何体.上顶面圆心记为O ，下底面圆心记为O '，连接OC ，过点C 作CM AB ⊥，垂足为点M ，则12ABCSAB CM =⨯⨯，根据题意，AB 为定值2，所以ABCS 的大小随着CM 长短的变化而变化.当点M 与点O 重合时，22125CM OC ==+=，取得最大值，此时12552ABCS =⨯⨯=.当点M 与点B 重合时，CM 取最小值2，此时12222ABCS=⨯⨯=.综上所述，ABCS 的取值范围为[2,5].11.答案：②⑤或③④解析：本题考查几何体的三视图.由高度可知，侧视图只能为②或③.当侧视图为②时，则该三棱锥的直观图如图1，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC ==，5BA BC =2AC =，此时俯视图为⑤；当侧视图为③时，则该三棱锥的直观图如图2，PA ⊥平面ABC ，1PA =，5AC AB ==2BC =，此时俯视图为④.12.答案：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ， 所以PD AM ⊥.又因为PB AM ⊥，PD PB P ⋂=，PB ，PD ⊂平面PBD ， 所以AM ⊥平面PBD .因为AM ⊂平面PAM ，所以平面PAM ⊥平面PBD .（2）由PD ⊥底面ABCD ，所以PD 即为四棱锥P ABCD -的高，DPB 是直角三角形. 由题可知底面ABCD 是矩形，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.设2AD BC a ==，取CD 的中点为E ，CP 的中点为F ，连接MF ，AF ， EF ，AE ，可得//MF PB ，//EF DP ，那么AM M F ⊥，AM F 为直角三角形，且12EF =，2144AE a =+，21AM a =+，222142AF EF AE a =++因为DPB 是直角三角形，所以根据勾股定理得224BP a =+，则2242a MF +=.由AM F 是直角三角形，可得222AM MF AF +=，解得22a =， 所以底面ABCD 的面积22S a ==，则四棱锥P ABCD -的体积11221333V S h =⋅⋅=⨯⨯-.13.答案：（1）1111,//,AB BC AB A B BC A B ⊥∴⊥，在1A AC 中，112AA AC AC ===，O 是AC 的中点，1AO AC ∴⊥，又平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，1A O ∴⊥平面ABC .BC ⊂平面1,ABC AO BC ∴⊥. 111,A B AO ⊂平面111111,A B O A B AO A =，BC ∴⊥平面11A B O ， 又BC ⊂平面1BCA ，∴平面1BCA ⊥平面11A B O .（2）如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 交于点E ，连接1,OE AB ， 易得1//OE AB ，1AB ⊂平面11,ABB A OE ⊄平面11ABB A ，//OE ∴平面11ABB A ，∴满足条件的E 为1BC 的中点.11111 1122E A BCC A BC B A CC V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥21133212346=⨯⨯⨯⨯=， 故三棱锥1E A BC -的体积为36.14.答案：（1）AB ⊥平面BCD ，CF ，BD ⊂平面BCD ，AB CF ∴⊥，AB BD ⊥.2BC CD ==，F 为BD 中点，CF BD ∴⊥.又CF AB ⊥，AB BD B =，AB ，BD ⊂平面ABD ，CF ∴⊥平面ABD .（2）在三棱锥Q DCF -中，设D 到平面QFC 距离为d . Q DCF D QCF V V --=，1133DCFQCFQB Sd S ∴⋅⋅=⋅⋅，DCFQCFQB S d S ⋅∴=.1112π322sin 2223DCFDCBSS ==⨯⨯⨯⨯=，2π44222cos 233BD =+-⨯⨯⨯.AB BD ⊥，3AB =，Q ，F 分别为AB ，BD 的中点.22912212ADAB BD QF ++∴====.QCF 中，π2cos 13CF ==，235422CQ ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21QF =. 25211244cos 55212QCF +-∴∠==⨯⨯，21sin QCF ∴∠=. 152121122QCFS∴=⨯⨯=. 33372221d ∴==.15.答案：（1）如图，取BC 的中点为M ，连接EM .由已知易得//EM AB ，2AB BC ==，1CF =，112EM AB ==，11//AB A B ， 由11BF A B ⊥得EM BF ⊥，又易得EM CF ⊥，BF CF F ⋂=，所以EM ⊥平面BCF ， 故1111121132323F EBC E FBC V V BC CF EM --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥.（2）连接1A E ，1B M ，由（1）知11//EM A B ， 所以ED 在平面11EMB A 内.在正方形11CC B B 中，由于F ，M 分别是1CC ，BC 的中点，所以1tan 2CF CBF BC ∠==，111tan 2BM BB M BB ∠==， 且这两个角都是锐角，所以1CBF BB M ∠=∠， 所以111190BHB BMB CBF BMB BB M ∠=∠+∠=∠+∠=︒， 所以1BF B M ⊥，又11BF A B ⊥，1111B M A B B ⋂=，所以BF ⊥平面11EMB A ， 又DE ⊂平面11EMB A ，所以BF DE ⊥.。

数 学 G 单元 立体几何G1 空间几何体的结构 19．、、[2014·安徽卷] 如图1-5所示，四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .图1-5(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．19．解： (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在平面ABCD 内，所以PO ⊥平面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，所以GK ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面ABCD ，所以GK ⊥EF ， 所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 是OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，所以G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.3．[2014·福建卷] 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )A ．2πB ．πC ．2D ．1 3．A [解析] 由题意可知，该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径r ＝1，高h ＝1，则该圆柱的侧面积S ＝2πrh ＝2π，故选A.10．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.35511310．B [解析] 设圆锥的底面圆半径为r ，底面积为S ，则L ＝2πr .由题意得136L 2h ≈13Sh ，代入S ＝πr 2化简得π≈3.类比推理，若V ≈275L 2h 时，π≈258.故选B.7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 正三棱柱ABC - A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A - B 1DC 1的体积为( )A ．3 B.32 C ．1 D.327．C [解析] 因为D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC ，故AD ⊥平面BCC 1B 1，且AD ＝3，所以V 三棱锥A - B 1DC 1＝13S △B 1DC 1×AD ＝13×12B 1C 1×BB 1×AD ＝13×12×2×3×3＝1.20．、[2014·重庆卷] 如图1-4所示四棱锥P ­ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ； (2)若MP ⊥AP ，求四棱锥图20．解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形的中心，连接OB ，则AO ⊥OB .因为∠BAD ＝π3，所以OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1.又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM＝12＋⎝⎛⎭⎫122－2×1×12×cos π3＝34，所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM .又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内的两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .(2)由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2×cos 6＝ 3.设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD ，知△POA 为直角三角形，故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3.又△POM 也是直角三角形，故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34.连接AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22＋⎝⎛⎭⎫122－2×2×12×cos 2π3＝214. 由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形，则P A 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋34＝214，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，即PO ＝32.此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝12×3×1＋12×12×32 ＝5 38.所以四棱锥P -ABMO 的体积V 四棱锥P -ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×5 38×32＝516.G2 空间几何体的三视图和直观图 8．[2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )图1-2A.233B.476C ．6D ．7 8．A [解析] 如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V ＝8－2×13×12×1×1×1＝233.11．[2014·北京卷] 某三棱锥的三视图如图1-3所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．图1-311．22[解析] 该三棱锥的直观图如图所示，并且PB⊥平面ABC，PB＝2，AB＝2，AC＝BC＝2，P A＝22＋22＝22，PC＝22＋（2）2＝6，故P A最长．7．[2014·湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O -xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()2A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②7．D[解析] 由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.故选D.8．、[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()图1-2A．1 B．2 C．3 D．48．B[解析] 由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得R ＝6＋8－102＝2.7．、[2014·辽宁卷] 1-2所示，则该几何体的体积为( )图1-2A ．8－π4B ．8－π2C ．8－πD ．8－2π7．C [解析] 根据三视图可知，该几何体是正方体切去两个体积相等的圆柱的四分之一后余下的部分，故该几何体体积V ＝23－12×π×12×2＝8－π.3．[2014·浙江卷] 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )图1-1A ．72 cm 3B ．90 cm 3C ．108 cm 3D ．138 cm 33．B [解析] 此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的，其体积为6×4×3＋12×3×4×3＝90 cm 3，故选B.6．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-1，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )图1-1A.1727B.59C.1027D.136．C [解析] 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积V ＝π×32×2＋π×22×4＝34π(cm 3)，原毛坯的体积V 毛坯＝π×32×6＝54π(cm 3)，被切部分的体积V 切＝V 毛坯－V ＝54π－34π＝20π(cm 3)，所以V 切V 毛坯＝20π54π＝1027.8．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-1，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱8．B [解析] 从俯视图为矩形可以看出，此几何体不可能是三棱锥或四棱锥，其直观图如图，是一个三棱柱．17．、[2014·陕西卷] 四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .图1-4(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形．17．解：(1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1， ∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩ 平面ABC＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH .同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ， ∴四边形EFGH 是矩形． 4．[2014·四川卷] 某三棱锥的侧视图、俯视图如图1-1所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)( )图A ．3 B ．2 C. 3 D ．14．D [解析] 由图可知，三棱锥的底面为边长为2的正三角形，左侧面垂直于底面，且为边长为2的正三角形，所以该三棱锥的底面积S ＝12×2×3，高h ＝3，所以其体积V＝13Sh ＝13×3×3＝1，故选D. 7．[2014·重庆卷] 某几何体的三视图如图1-2( )图1-2A ．12B ．18C ．24D ．307．C [解析] 由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的．三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5；截去的锥体的底面是两直角边的长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以该几何体的体积为V ＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝24.10．[2014·天津卷] 一个几何体的三视图如图1-2所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.10.20π3[解析] 由三视图可知，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V ＝π×12×4＋13π×22×2＝20π3.G3 平面的基本性质、空间两条直线 19．、、[2014·安徽卷] 如图1-5所示，四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .图1-5(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．19．解： (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在平面ABCD 内，所以PO ⊥平面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，所以GK ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面ABCD ，所以GK ⊥EF ， 所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 是OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，所以G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.18．、[2014·湖南卷] 如图1-3所示，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN DO ⊥面α，垂足为O .(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．18．解：(1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB . 连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形，又E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE .(2)因为BC ∥AD ，所以ADO 是BC 与OD 所成的角．由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α-MN -β的平面角，从而∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3.在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin 60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DOAD＝322＝34. 故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.4．[2014·辽宁卷] 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α4．B [解析] 由题可知，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错误；若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊥α或n 与α相交，故D 错误．G4 空间中的平行关系 6．、[2014·浙江卷] 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α B ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥αD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α 6．C [解析] A ，B ，D 中m 与平面α可能平行、相交或m 在平面内α；对于C ，若m ⊥β，n ⊥β，则m ∥n ，而n ⊥α，所以m ⊥α.故选C.19．、、[2014·安徽卷] 如图1-5所示，四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .图1-5(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．19．解： (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在平面ABCD 内，所以PO ⊥平面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，所以GK ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面ABCD ，所以GK ⊥EF ， 所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 是OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，所以G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.17．、[2014·北京卷] 如图1-5，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．图1-5(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E ­ ABC 的体积． 17．解：(1)证明：在三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F ，G 分别是A 1C 1，BC ，AB 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ，EC 1＝12A 1C 1.因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形， 所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3. 所以三棱锥E - ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.20．、[2014·湖北卷] 如图1-5，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1，BB 1，A 1B 1，A 1D 1的中点．求证：(1)直线BC 1∥平面EFPQ ； (2)直线AC 1⊥平面PQMN .20．证明：(1)连接AD1，由ABCD -A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，A1C1由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1.而AC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.16．、[2014·江苏卷] 如图1-4所示，在三棱锥P -ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.图1-416．证明： (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，所以DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC . 18．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P - ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．图1-318．解：(1)证明：设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)V ＝13×12×P A ×AB ×AD ＝36AB ，由V ＝34，可得AB ＝32. 作AH ⊥PB 交PB 于点H .由题设知BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥AH ， 因为PB ∩BC ＝B ，所以AH ⊥平面PBC . 又AH ＝P A ·AB PB ＝31313，所以点A 到平面PBC 的距离为31313.18．，[2014·山东卷] 如图1-4所示，四棱锥P ­ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．图1-4(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC .18．证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 所以O 为AC 的中点．又在△P AC 中，F 为PC 的中点，所以AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， 所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知，ED ∥BC ，ED ＝BC ， 所以四边形BCDE 为平行四边形， 所以BE ∥CD .又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，所以AP ⊥BE . 因为四边形ABCE 为菱形， 所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP ，AC ⊂平面P AC ， 所以BE ⊥平面P AC . 18．、[2014·四川卷] 在如图1-4所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形． (1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．18．解：(1)证明：因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内的两条相交直线， 所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内的两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)取线段AB 的中点M ，连接A 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，所以DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC . 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC . 17．、、[2014·天津卷] 如图1-4所示，四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，P A ＝PD ＝5，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AB ； (2)若二面角P -AD -B 为60°.(i)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；(ii)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．17．解：(1)证明：如图所示，取，AM .因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .(2)(i)证明：连接PE ，BE .因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，所以PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P - AD -B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2.在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1.在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60˚，由余弦定理，可解得PB ＝3，从而∠PBE ＝90˚，即BE ⊥PB .又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .(ii)连接BF ，由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角，而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112，故EF ＝112.又BE＝1，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111.所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111.G5 空间中的垂直关系 6．、[2014·浙江卷] 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α B ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥αD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α 6．C [解析] A ，B ，D 中m 与平面α可能平行、相交或m 在平面内α；对于C ，若m ⊥β，n ⊥β，则m ∥n ，而n ⊥α，所以m ⊥α.故选C.17．、[2014·北京卷] 如图1-5，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．图1-5(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E ­ ABC 的体积． 17．解：(1)证明：在三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F ，G 分别是A 1C 1，BC 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ，EC 1＝12A 1C 1.因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形， 所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3. 所以三棱锥E - ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.19．，[2014·福建卷] 如图1-6所示，三棱锥A ­ BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD . (1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A - MBC 的体积．图1-619．解：方法一：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， ∴CD ⊥平面ABD .(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD .∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点， ∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C - ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A - MBC 的体积 V A - MBC ＝V C ­ ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.方法二：(1)同方法一．(2)由AB ⊥平面BCD ，得平面ABD ⊥平面BCD . 且平面ABD ∩平面BCD ＝BD .如图所示，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ， 则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝12AB ＝12.又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A - MBC 的体积V A ­ MBC ＝V A ­ BCD －V M ­ BCD ＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD ＝112. 18．、[2014·广东卷] 如图1-2所示，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图1-3折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M - CDE 的体积．图1-2图1-320．、[2014·湖北卷] 如图1-5，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.20．证明：(1)连接AD1，由ABCD -A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，A1C1由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1.而AC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.18．、[2014·湖南卷] 如图1-3所示，已知二面角α-MN-β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A，B两点在棱MN DO⊥面α，垂足为O.图1-3(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．18．解：(1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB . 连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形，又E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE .(2)因为BC ∥AD ，所以ADO 是BC 与OD 所成的角．由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α-MN -β的平面角，从而∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3.在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin 60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DOAD＝322＝34. 故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.16．、[2014·江苏卷] 如图1-4所示，在三棱锥P - ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC . 18．，[2014·山东卷] 如图1-4所示，四棱锥P ­ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．图1-4(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC .18．证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 所以O 为AC 的中点．又在△P AC 中，F 为PC 的中点，所以AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， 所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知，ED ∥BC ，ED ＝BC ， 所以四边形BCDE 为平行四边形， 所以BE ∥CD .又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，所以AP ⊥BE . 因为四边形ABCE 为菱形， 所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP ，AC ⊂平面P AC ， 所以BE ⊥平面P AC .图1-416．证明： (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，所以DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC . 19．、[2014·江西卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1. (1)求证：A 1C ⊥CC 1；(2)若AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，问AA 1为何值时，三棱柱ABC - A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．19．解：(1)证明：由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC .又BB 1⊥A 1B ，故BB 1⊥平面BCA 1，所以BB 1⊥A 1C .又BB 1∥CC 1，所以A 1C ⊥CC 1. (2)方法一：设AA 1＝x .在Rt △A 1BB 1中，A 1B ＝A 1B 21－BB 21＝4－x 2.同理，A 1C ＝A 1C 21－CC 21＝3－x 2. 在△A 1BC 中，cos ∠BA 1C ＝A 1B 2＋A 1C 2－BC 22A 1B ·A 1C ＝－x 2（4－x 2）（3－x 2），sin ∠BA 1C ＝12－7x 2（4－x 2）（3－x 2），所以S △A 1BC ＝12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC - A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7⎝⎛⎭⎫x 2－672＋367， 所以当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377. (2)方法二：过A 1作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD .由AA 1⊥BC ，A 1D ⊥BC ，得BC ⊥平面AA 1D ，故BC ⊥AD .又∠BAC ＝90°，所以S △ABC ＝12AD ·BC ＝12AB ·AC ，得AD ＝2217.设AA 1＝x .在Rt △AAA 1D ＝AD 2－AA 21S △A 1BC ＝12A 1D ·从而三棱柱ABC - A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7⎝⎛⎭⎫x 2－672＋367，所以当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.19．、[2014·辽宁卷] 如图1-4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120DC ，AD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D -BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．19．解：(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ， 因此AC ＝DC .又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD ，同理BG ⊥AD .又BG ∩CG ＝G ，所以AD ⊥平面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .(2)在平面ABC 内，作AO ⊥CB 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 的中点，所以G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半． 在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3，所以V 三棱锥D -BCG ＝V 三棱锥G -BCD ＝13·S △DBC ·h ＝13×12·BD ·BC ·sin 120°·32＝12. 19．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-4，三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .图1-4(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高．19．解：(1)证明：连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点． 因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1. 又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ， 由于BC 1∩AO ＝O ，故B 1C ⊥平面ABO . 由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H . 由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，且AO ∩OD ＝O ， 故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC . 又OH ⊥AD ，且AD ∩BC ＝D ， 所以OH ⊥平面ABC .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又BC ＝1，可得OD ＝34. 因为AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12.由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114. 又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217.故三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高为217.18．、[2014·四川卷] 在如图1-4所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形． (1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．18．解：(1)证明：因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内的两条相交直线， 所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内的两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)取线段AB 的中点M ，连接A 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，所以DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC . 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC . 17．、、[2014·天津卷] 如图1-4所示，四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，P A ＝PD ＝5，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AB ； (2)若二面角P -AD -B 为60°.(i)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；(ii)求直线EF 与平面PBC17．解：(1)证明：如图所示，取，AM .因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .(2)(i)证明：连接PE ，BE .因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，所以PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P - AD -B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2.在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1.在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60˚，由余弦定理，可解得PB ＝3，从而∠PBE ＝90˚，即BE ⊥PB .又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .(ii)连接BF ，由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角，而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112，故EF ＝112.又BE＝1，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111.所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111.20．、[2014·浙江卷] 如图1­5，在四棱锥A ­ BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.图1-5(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．20．解：(1)证明：连接BD ，在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝2，由AC ＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE .(2)在直角梯形BCDE 中，由BD ＝BC ＝2，DC ＝2，得BD ⊥BC . 又平面ABC ⊥平面BCDE ，所以BD ⊥平面ABC .作EF ∥BD ，与CB 的延长线交于点F ，连接AF ，则EF ⊥平面ABC . 所以∠EAF 是直线AE 与平面ABC 所成的角．在Rt △BEF 中，由EB ＝1，∠EBF ＝π4，得EF ＝22，BF ＝22；在Rt △ACF 中，由AC ＝2，CF ＝322，得AF ＝262. 在Rt △AEF 中，由EF ＝22，AF ＝262， 得tan ∠EAF ＝1313. 所以，直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值是1313. 20．、[2014·重庆卷] 如图1-4所示四棱锥P ­ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ； (2)若MP ⊥AP ，求四棱锥图20．解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形的中心，连接OB ，则AO ⊥OB .因为∠BAD ＝π3，所以OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1.又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM＝12＋⎝⎛⎭⎫122－2×1×12×cos π3＝34，所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM .又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内的两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .(2)由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2×cos 6＝ 3.设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD ，知△POA 为直角三角形，故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3.又△POM 也是直角三角形，故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34.连接AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos ∠ABM ＝22＋⎝⎛⎭⎫122－2×2×12×cos 2π3＝214. 由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形，则P A 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋34＝214，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，即PO ＝32.此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝12×3×1＋12×12×32 ＝5 38.所以四棱锥P -ABMO 的体积V 四棱锥P -ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×5 38×32＝516.G6 三垂线定理 19．、[2014·全国卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B ；(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 ­ AB ­ C 的大小．图1-119．解：方法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1， 故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，即A 1E ＝ 3.因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，故A 1D ＝A 1E ＝ 3.作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F .由三垂线定理得A 1F ⊥AB ， 故∠A 1FD 为二面角A 1­ AB ­ C 的平面角．由AD ＝AA 21－A 1D 2＝1，得D 为AC 中点，所以DF ＝55，tan ∠A 1FD ＝A 1DDF＝15， 所以cos ∠A 1FD ＝14.所以二面角A 1­ AB ­ C 的大小为arccos 14.方法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直线坐标系C - xyz .由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．(1)证明：设A 1(a ，0，c )，由题设有a ≤2，A (2，0，0)，B (0，1，0)，则AB →＝(－2，1，0)，AC →＝(－2，0，0)，AA 1→＝(a －2，0，c )，AC 1→＝AC →＋AA 1→＝(a －4，0，c )，BA 1→＝(a ，－1，c )．由|AA 1→|＝2，得（a －2）2＋c 2＝2，即 a 2－4a ＋c 2＝0. ①又AC 1→·BA 1→＝a 2－4a ＋c 2＝0，所以AC 1⊥A 1B . (2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则m ⊥CB →，m ⊥BB 1→，即m ·CB ＝0，m ·BB 1→＝0.因为CB →＝(0，1，0)，BB 1→＝AA 1→＝(a －2，0，c )，所以y ＝0，且(a －2)x ＋cz ＝0. 令x ＝c ，则z ＝2－a ，所以m ＝(c ，0，2－a )，故点A 到平面BCC 1B 1的距离为|CA →|·|cos 〈m ，CA →〉|＝|CA →·m ||m |＝2c c 2＋（2－a ）2＝c .又依题设，A 到平面BCC 1B 1的距离为3，所以c ＝3，代入①，解得a ＝3(舍去)或a ＝1， 于是AA 1→＝(－1，0，3)．设平面ABA 1 的法向量n ＝(p ，q ，r )，则n ⊥AA 1→，n ⊥AB →，即n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0， 所以－p ＋3r ＝0，且－2p ＋q ＝0.令p ＝3，则q ＝2 3，r ＝1，所以n ＝(3，2 3，1)．又p ＝(0，0，1)为平面ABC 的法向量，故cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝14，所以二面角A 1 ­ AB ­ C 的大小为arccos 14.G7 棱柱与棱锥 19．，[2014·福建卷] 如图1-6所示，三棱锥A ­ BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD . (1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A - MBC 的体积．图1-619．解：方法一：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， ∴CD ⊥平面ABD .(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD .∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点， ∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C - ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A - MBC 的体积V A - MBC ＝V C ­ ABM＝13S △ABM ·h ＝112.方法二：(1)同方法一．(2)由AB ⊥平面BCD ，得平面ABD ⊥平面BCD . 且平面ABD ∩平面BCD ＝BD .如图所示，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ， 则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝12AB ＝12.又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A - MBC 的体积V A ­ MBC ＝V A ­ BCD －V M ­ BCD ＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD ＝112. 18．、[2014·广东卷] 如图1-2所示，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图1-3折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M - CDE 的体积．图1-2 图1-38．[2014·江苏卷] 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．8.32 [解析] 因为S 1S 2＝πr 21πr 22＝r 21r 22＝94，所以r 1r 2＝32.又圆柱的侧面积S 侧＝2πrh ，所以S 侧1＝2πr 1h 1＝S 侧2＝2πr 2h 2，则h 1h 2＝r 2r 1＝23，故V 1V 2＝S 1h 1S 2h 2＝94×23＝32.19．、[2014·江西卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1.(1)求证：A 1C ⊥CC 1；(2)若AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，问AA 1为何值时，三棱柱ABC - A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．19．解：(1)证明：由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC .又BB 1⊥A 1B ，故BB 1⊥平面BCA 1，所以BB 1⊥A 1C .又BB 1∥CC 1，所以A 1C ⊥CC 1. (2)方法一：设AA 1＝x .在Rt △A 1BB 1中，A 1B ＝A 1B 21－BB 21＝4－x 2.同理，A 1C ＝A 1C 21－CC 21＝3－x 2. 在△A 1BC 中，cos ∠BA 1C ＝A 1B 2＋A 1C 2－BC 22A 1B ·A 1C ＝－x 2（4－x 2）（3－x 2）， sin ∠BA 1C ＝12－7x 2（4－x 2）（3－x 2），所以S △A 1BC ＝12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC - A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7⎝⎛⎭⎫x 2－672＋367，所以当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.(2)方法二：过A 1作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD .由AA 1⊥BC ，A 1D ⊥BC ，得BC ⊥平面AA 1D ，故BC ⊥AD .又∠BAC ＝90°，所以S △ABC ＝12AD ·BC ＝12AB ·AC ，得AD ＝2217.设AA 1＝x .在Rt △A 1D ＝AD 2－AA 21S △A 1BC ＝12A 1D ·BC ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC - A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7⎝⎛⎭⎫x 2－672＋367，所以当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.7．、[2014·辽宁卷] 1-2所示，则该几何体的体积为( )图1-2A ．8－π4B ．8－π2C ．8－πD ．8－2π7．C [解析] 根据三视图可知，该几何体是正方体切去两个体积相等的圆柱的四分之一后余下的部分，故该几何体体积V ＝23－12×π×12×2＝8－π.19．、[2014·辽宁卷] 如图1-4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120DC ，AD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D -BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．19．解：(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ， 因此AC ＝DC .又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD ，同理BG ⊥AD .又BG ∩CG ＝G ，所以AD ⊥平面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .。

2020高考真题汇编4：立体几何一、选择题1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A B C D 2．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π3．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知△ABC 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( )AB ．32C ．1D 4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．B ．C ．D ．5．【2020年高考北京】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为( )A．6B．6+C．12D．12+6．【2020年高考天津】若棱长为积为( )A．12πB．24πC．36πD．144π7．【2020年高考浙江】某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是( )A．73B．143C．3D．68．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n两两相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°二、填空题10．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝11．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．12．【2020年高考浙江】已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．13．【2020年高考江苏】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是__________cm.14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以1D BCC1B1的交线长为________．三、解答题15．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC△是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO，求三棱锥P−ABC的体积.16．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=π3，求四棱锥B−EB1C1F的体积．17．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内．18．【2020年高考江苏】在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．19．【2020年高考浙江】如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（Ⅰ）证明：EF⊥DB；（Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．参考答案1．答案：C解析：如图，设,CD a PE b ==，则PO ==，由题意得212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得b a =.故选C ．2．答案：A解析：设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin60AB r =︒=，1OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A3．答案：C解析：设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =. 设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC 的等边三角形，21224a ∴⨯=，解得：3a =，2233r ∴===∴球心O 到平面ABC 的距离1d ==.故选：C ．4．答案：C解析：根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为根据三角形面积公式可得：211sin 60222ADB S AB AD =⋅⋅︒=⋅=△∴该几何体的表面积是：632=⨯++故选：C ． 5．答案：D解析：由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭故选：D ． 6．答案：C解析：这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=. 故选：C ． 7．答案：A解析：由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱， 且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1， 棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2， 所以几何体的体积为11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A8．答案：B解析：依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B 9．答案：B解析：画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD ， 根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒， 所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒. 故选B.10．答案：①③④解析：对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α； 若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内， 同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面， 命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α， 则m 垂直于平面α内所有直线， 直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ， 命题4p 为真命题. 综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.11解析：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM ==，故122S =⨯⨯△ABC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯= 解得：22r，其体积：3433V r π==.. 12．答案：1解析：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==. 故答案为：1 13．答案：2π解析：正六棱柱体积为262⨯ 圆柱体积为21()222ππ⋅=，所求几何体体积为2π.故答案为：2π14．答案：2.解析：如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A BC D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1DE =111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥，因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11BC CB ，设P 为侧面11BC CB 与球面的交线上的点，则1DE EP ⊥，1D E =||EP ===所以侧面11BC CB 与球面的交线上的点到E因为||||EF EG ==11BC CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ， 因为114B EFC EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得2FG π==.故答案为：2. 15．解析：（1）由题设可知，PA =PB = PC ． 由于△ABC 是正三角形，故可得△PAC ≌△PAB ． △PAC ≌△PBC ．又∠APC =90°，故∠APB =90°，∠BPC =90°．从而PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，故PB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC ． （2）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ．由题设可得rl 222l r -=．解得r =1，l从而AB 1）可得222PA PB AB +=，故PA PB PC ===．所以三棱锥P -ABC 的体积为311113232PA PB PC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=．16．解析：（1）因为M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥CC 1． 又由已知得AA 1∥CC 1，故AA 1∥MN ．因为△A 1B 1C 1是正三角形，所以B 1C 1⊥A 1N ．又B 1C 1⊥MN ，故B 1C 1⊥平面A 1AMN ． 所以平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ．（2）AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ，平面A 1AMN 平面EB 1C 1F =PN ，故AO ∥PN .又AP ∥ON ，故四边形APNO 是平行四边形，所以PN =AO =6，AP =ON =13AM PM =23AM EF =13BC =2．因为BC ∥平面EB 1C 1F ，所以四棱锥B −EB 1C 1F 的顶点B 到底面EB 1C 1F 的距离等于点M 到底面EB 1C 1F 的距离． 作MT ⊥PN ，垂足为T ，则由（1）知，MT ⊥平面EB 1C 1F ，故MT =PM sin ∠MPN =3．底面EB 1C 1F 的面积为1111()(62)624.22B C EF PN ⨯+⨯=+⨯=所以四棱锥B −EB 1C 1F 的体积为1243243⨯⨯=．17．解析：（1）如图，连结BD ，11B D ．因为AB BC =，所以四边形ABCD 为正方形，故AC BD ⊥．又因为1BB ⊥平面ABCD ，于是1AC BB ⊥．所以AC ⊥平面11BB D D ． 由于EF ⊂平面11BB D D ，所以EF AC ⊥．（2）如图，在棱1AA 上取点G ，使得12AG GA =，连结1GD ，1FC ，FG ，因为1123D E DD =，123AG AA =，11DD AA =∥，所以1ED AG =∥，于是四边形1ED GA 为平行四边形，故1AE GD ∥． 因为1113B F BB =，1113AG AA =，11BB AA =∥，所以11FG A B =∥，11FG C D =∥，四边形11FGD C 为平行四边形，故11GD FC ∥．于是1AE FC ∥．所以1,,,A E F C 四点共面，即点1C 在平面AEF 内． 18．解析：因为,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1EF AB ∥.又/EF ⊂平面11AB C ，1AB ⊂平面11AB C ， 所以EF ∥平面11AB C .（2）因为1B C ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC , 所以1B C AB ⊥.又AB AC ⊥,1B C ⊂平面11AB C ,AC ⊂平面1AB C ,1,B C AC C =所以AB ⊥平面1AB C . 又因为AB ⊂平面1ABB ,所以平面1AB C ⊥平面1ABB .19．解析：（Ⅰ）如图，过点D 作DO AC ⊥，交直线AC 于点O ，连结OB .由45ACD ∠=︒，DO AC ⊥得CD ，由平面ACFD ⊥平面ABC 得DO ⊥平面ABC ，所以DO BC ⊥.由45ACB ∠=︒，12BC CD ==得BO BC ⊥. 所以BC ⊥平面BDO ，故BC ⊥DB .由三棱台ABC DEF -得BC EF ∥，所以EF DB ⊥. （Ⅱ）方法一：过点O 作OH BD ⊥，交直线BD 于点H ，连结CH .由三棱台ABC DEF -得DF CO ∥，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角.由BC ⊥平面BDO 得OH BC ⊥，故OH ⊥平面BCD ，所以OCH ∠为直线CO 与平面DBC 所成角.设CD =.由2,DO OC BO BC ====BD OH ==所以sin OH OCH OC ∠==，因此，直线DF 与平面DBC 方法二：由三棱台ABC DEF -得DF CO ∥，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角，记为θ.如图，以O 为原点，分别以射线OC ，OD 为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -.设CD =.由题意知各点坐标如下：(0,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)O B C D .因此(0,2,0),(1,1,0),(0,2,2)OC BC CD ==-=-. 设平面BCD 的法向量(,,z)x y =n .由0,0,BC CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0220x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，可取(1,1,1)=n .所以|sin |cos ,||||OC OC OC θ⋅===⋅n|n n |因此，直线DF 与平面DBC。