1 1 z H (k ) j 2k / N 1 N k 0 1 e z
令
W e j 2 / N
,则
1 zN H ( z) N
H (k ) 1 W k z 1 k 0
N 1
单位圆上的频响为:
H e
j
1 e N
jN N 1
H (k ) 1 e j 2k / N e j k 0
N
k 0,1,, N 1
同样,若要设计第二种线性相位FIR滤波器,N为偶数, h(n)偶对称,由于幅度特性是奇对称的,
H H 2
因此,Hk 也必须满足奇对称性:
H k H N k
k 0,1, N 1
相位关系同上,
( N 1)k k , N
三、 约束条件 为了设计线性相位的FIR滤波器,采样值 H(k)要满 足一定的约束条件。 前已指出,具有线性相位的FIR滤波器,其单位脉冲响 应h(n)是实序列,且满足 h(n) h( N 1 n) ,由此得 到的幅频和相频特性,就是对H(k)的约束。 例如,要设计第一类线性相位FIR滤波器,即N为奇数, h(n)偶对称,则
最优化设计的前提是最优准则的确定,在FIR滤波 器最优化设计中,常用的准则有 ①最小均方误差准则 ②最大误差最小化准则。 1) 均方误差最小化准则,
若以E(ejω)表示逼近误差,则
E(e j) Hd (e j ) H (e j )
那么均方误差为
1 2 2
H e H e
j j d
2
1 d 2
E e
j
2
d
均方误差最小准则就是选择一组时域采样值,以使均方误 差 ,这一方法注重的是在整个-π~π频率区间内总误 差的全局最小,但不能保证局部频率点的性能,有些频率点 可能会有较大的误差,对于窗口法FIR滤波器设计,因采用有 限项的h(n)逼近理想的hd(n),所以其逼近误差为: