江苏高考压轴题精选
1. 如图为函数f(x)
交于点P 、Q ，点
解：
x(0 x 1)的图象，其在点 M(t ，f(t))处的切线为l ，l 与y 轴和直线
y 1分别
N （0，1），若△PQN 的面积为 b 时的点M 恰好有两个，则 b 的取值范围为
▲ .
y N Q
M P
O
x
2.已知⊙A ：x 2 y 2 1，⊙B: (x 3)2 (y 4)2 4，P 是平面内一动点，过
P 作⊙A 、⊙B 的切线，
切点分别为 D 、E ，若PE PD ，则P 到坐标原点距离的最小值为 ▲
.
解：设P(x ，y)，因为PE
PD ，所以PE 2
PD 2，即(x
3)2 (y 4)2 4 x 2 y 2 1，整理得：
3x 4y 11 0，这说明符合题意的点
P 在直线3x
4y 11 0上，所以点P(x ，y)到坐标原点距
离的最小值即为坐标原点到直线
3x 4y 11 0的距离，为
11
5
3.等差数列
a 各项均为正整数，
a 13，前n 项和为S n ，等比数列
b
中，b 1 1，且b 2S 2 64，b
n
n
n
是公比为 64的等比数列．求
a n 与
b n ；
解：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正整数，
a n 3(n1)d ，
b n
q n1
b
a n1
q 3 nd
q d
64 2
6
依题意有
b
a n
q 3(n1)d
①
S 2b 2
(6
d)q 64
由(6 d)q
64 知q 为正有理数，故 d 为6 的因子1，2，3，6之一，
解①得d
2,q
8
故a n 3 2(n 1)2n1,b n
8n
1
4.在 ABC 中，AB AC BC 2
（2）求
ABC 面积的最大值．
2
2
2AC
解：（1）因为|BC||AC
AB| 2，所以AC
AB AB
4，
ABAC
2
2
8；
又因为
2，所以AB AC
（2）设|AB|
c ，|AC| b ，|BC|a ，由（1）知b 2
c 2
8，a
2 ，
又因为cosA
b 2
c 2 a 2
82 2，
2bc 2bc bc
所以S ABC
1
1 2
1 2
2 22
41b 2c 2
)
2 4 3，
bcsinA
bc1 cos A =
bc
bc
b 2
c 2 ≤(
2
2
2
2
2 当且仅当a
b
c 时取“=，”所以
ABC 的面积最大值为 3．
5.设等差数列
a n 的公差为d ，d
0，数列b n 是公比为q 等比数列，且b 1
a 1 0．
（1）若a 3 b 3，a 7b 5，探究使得a n
b m 成立时n 与m 的关系；
（2）若a 2 b 2，求证：当n 2时，a n b n .
解：记a 1
b 1 a ，则a n
a (n 1)d,
b m aq m1，⋯⋯⋯⋯⋯1分
（1）由已知得
a2d
aq 2，
消去d 得 2a 3aq
2
aq 4
，
a6daq 4
，
又因为a 0，所以q 4
3q 2 2 0，所以q 2
1或q 2
2，⋯⋯⋯⋯⋯5分
若q 2 1 ，则d 0 ，舍去；⋯⋯⋯⋯⋯6分
若q
2
2，则d
a
，因此a n
b m
a (n
1)
a
aq m1
1 n 1 q m1
，
m1
2
2
2
所以n
22
1（m 是正奇数）时，
a n
b m ；⋯⋯⋯⋯⋯8分
（2）证明：因为d
0,a
0，所以q
b 2 a 2 a d 1
d 1，
⋯⋯⋯⋯分11
b 1
a
1
a a
n2时，a n
b n
a (n1)d aq n1=a(1
q n1) (n 1)d
a
q
)(1 qq 2
q n 2 ) ( n 1) d
=
(1
a(1 q)(n 1) (n 1)d =(n 1)a(1 q) d
(n 1)(a 2b 2)0
所以，当n 2时，a n
b n .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 16
6.已知圆O ：x 2
y 2 1，O 为坐标原点．
（1）边长为
2的正方形ABCD 的顶点A 、B 均在圆O 上，C 、D 在圆O 外，当点A 在圆O 上运动时，
C 点的轨迹为 E ． （ⅰ）求轨迹E 的方程；
（ⅱ）过轨迹E 上一定点P(x 0,y 0)作相互垂直的两条直线l 1,l 2，并且使它们分别与圆O 、轨迹E 相交，
设l 1被圆O 截得的弦长为a ，设l 2被轨迹E 截得的弦长为b ，求ab 的最大值．
（2）正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，求线段 OC 长度的最值．
y C
D
B 1
