高中数学常见题型解法归纳 - 直线与圆锥曲线交点个数问题解法【知识要点】
直线与圆锥曲线的交点的个数问题的处理方法一般有两种：
方法一：判别式法
把直线和圆锥曲线的方程联立，消去y，得到方程，对a是否为零分类讨论，利用判别式得到参数的取值范围.
方法二：数形结合法
先画出直线和圆锥曲线，再利用数形结合分析解答.
【方法讲评】
，得到方程）对
【例1】已知双曲线
（1）求直线L的斜率的取值范围，使L与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.
（2）若Q(1,1)，试判断以Q为中点的弦是否存在，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
当时
由得，直线与双曲线有两个交点；
由得，直线与双曲线只有一个交点；
由得或，直线与双曲线没有交点.
综上知：时，直线与曲线有两个交点，
时，直线与曲线切于一点，时，直线与曲线交于一点.
或直线与曲线C没有公共点.
【点评】（1）本题就是利用判别式法讨论直线与双曲线的交点个数问题. （2）把直线和圆锥曲线的方程联立，消去y，得到方程，一定要关注是否为零，不能直接利用判别式讨论. 因为a=0时，方程不是一元二次方程，没有判别式.
【反馈检测1】求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.
【例2】已知双曲线，若过其右焦点F作倾斜角为45°的直线l与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的范围是（）
A．B．C．[2，+）D．（1，2）
【点评】(1)本题就是利用数形结合分析得到k<1，从而得到离心率的取值范围. (2)对于直线与双曲线的交点个数问题，一般利用渐近线作为研究的参照. （3）本题最后不要忽略了离心率e的范围e>1，一定要把求出的离心率e的范围和e>1求交集.
【反馈检测2】若直线与曲线恰有两个不同的交点，则的取值所构成的集合为____．
参考答案
【反馈检测1答案】
【反馈检测2答案】
【反馈检测2详细解析】曲线对应的函数图象如图所示．
当直线与半圆相切时，满足题意；当直线过（±1，0）时，k=±2满足题意；|x|＞1时，为双曲线在x轴上方的部分，其渐近线为y=±x．故当直线y=kx+2与渐近线平行时，k=±1，∴-1＜k＜1时，直线与双曲线有两个不同的交点，∴k∈{k|−1＜k＜1，或k＝±，或k＝±2}．故答案为：{k|−1＜k＜1，或k＝±，或k＝±2}．
