2018年数学一模试卷(理科)带答案精讲

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2018年数学一模试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（5分）已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在（ ）

A．x轴上 B．y轴上 C．直线y=x上 D．直线y=﹣x

3．（5分）已知函数f（x）=1+logax（a＞0且a≠1），f﹣1（x）是f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（3，4），则a等于（ ）

A． B． C． D．2

4．（5分）在△ABC中，“cosA=2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）

A．必要不充分条件 B．充要条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）已知实数a，b满足a＜0＜b．则下列不等式一定成立的是（ ）

A．a2＜b2 B． C． D．

6．（5分）定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（ ）

A． B． C． D．

7．（5分）已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S2=10，S5=55，则过点P（n，an）和Q（n+2，an+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量的坐标是（ ）

A． B． C． D．（﹣1，﹣1）

8．（5分）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点P，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过二分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=60°，则tan2∠OPQ的值等于（ ）

A． B． C． D．以上均不正确

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9．（5分）定义在R上的函数的图象关于点（﹣，0）成中心对称且对任意的实数x都有f（x）=﹣f（x+）且f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2010）=（ ）．

A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣4

10．（5分）如果有穷数列a1，a2，…，an（n∈N*），满足条件：a1=an，a2=an﹣1，…，an=a1，即ai=an﹣i+1（i=1，2，…，n），我们称其为“对称数列”．例如：数列1，2，3，4，3，2，1就是“对称数列”．已知数列bn是项数为不超过2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，22，…，2m﹣1依次为该数列中前连续的m项，则数列bn的前2008项和S2008可以是：①22008﹣1；②2（22008﹣1）；③3•2m﹣1﹣22m﹣2009﹣1；④2m+1﹣22m﹣2008﹣1．

其中命题正确的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11．（5分）命题P：若x2＜2，则．则P的否命题是

，命题非P是 ．．

12．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）=0.4，则P（ξ＞2）=

．

13．（5分）定义映射f：n→f（n）．（n∈N*）如表：

n 1 2 3 4 … n

f（n） 2 4 7 11 … f（n）

若f（n）=4951，则n=

．

14．（5分）若函数上有最小值，则a的取值范围为 ．

15．（5分）设A={（x，y）|y≤﹣|x﹣3|}，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，b为常数，A∩B≠∅．

（1）b的取值范围是 ；

（2）设P（x，y）∈A∩B，点T的坐标为，若在方向上投影的最

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小值为，则b的值为

．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

17．（12分）最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：

第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%．（只有这两种可能），且获利的概率为．

第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为．

第三种方案：李师傅妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%．

针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由．．

18．（12分）将圆x2+y2+2x﹣2y=0按向量平移得到⊙O，直线l与⊙O相交于A、B两点，若在⊙O上存在点C，使．求直线l的方程．

19．（12分）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn=an+1﹣3n﹣1，n∈N*．

（Ⅰ）证明：数列an+3是等比数列；

（Ⅱ）对k∈N*，设求使不等式cos（mπ）[f（2m2）﹣f（m）]≤0成立的正整数m的取值范围．．

20．（13分）已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R．

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（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（Ⅱ）设n=﹣4，且f（x）＜0对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．．

21．（14分）已知=（cosx，1），=（f（x），2sinx），∥，数列{an}满足：{a1=，an+1=f（an），n∈N*}．

（1）用数学归纳法证明：0＜an＜an+1＜1；

（2）已知an≥，证明an+1﹣an＞；

（3）设Tn是数列{an}的前n项和，试判断Tn与n﹣3的大小，并说明理由．

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参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】利用两个复数代数形式的除法法则及虚数单位的幂运算性质，化简复数到最简形式，考查复数对用点所在的象限．

【解答】解：∵复数===1﹣i，

故此复数对应的点在第四象限，

故选D．

【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数，以及复数与复平面内对应点之间的关系．

2．（5分）已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在（ ）

A．x轴上 B．y轴上 C．直线y=x上 D．直线y=﹣x

【分析】正弦线是平行y轴的线段，长度范围是[﹣1，1]，由题意正弦线是单位长度的有向线段，可求角α的终边的位置．

【解答】解：由正弦线的定义，角α的正弦线是单位长度的有向线段，

知角α的终边在y轴上．

故选B．

【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，三角函数线，考查学生基础知识的掌握情况．

3．（5分）已知函数f（x）=1+logax（a＞0且a≠1），f﹣1（x）是f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（3，4），则a等于（ ）

A． B． C． D．2

【分析】利用y=f﹣1（x）的图象过点（3，4），则函数f（x）=1+logax（a＞0且a≠1）的图象过点（4，3），点代入函数的解析式解方程求出a．

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【解答】解：∵f﹣1（x）是f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（3，4），

∴函数f（x）=1+logax（a＞0且a≠1）的图象过点（4，3），

∴1+loga4=3，

∴a=2，

故答案选 D．

【点评】本题考查互为反函数的2个函数图象间的关系，y=f﹣1（x）的图象过点（3，4），则函数f（x）=1+logax（a＞0且a≠1）的图象过点（4，3）．

4．（5分）在△ABC中，“cosA=2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）

A．必要不充分条件 B．充要条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】先判别充分性，根据三角函数相关知识和恒等变换容易得到cos（B﹣C）=0，从而得到即B或C为钝角，充分性成立，再判别必要性，显然由“△ABC为钝角三角形”推不出条件“cosA=2sinBsinC”，故必要性不成立．

【解答】解：2sinBsinC=cosA=﹣cos（B+C）=sinBsinC﹣cosBcosC，

即cos（B﹣C）=0，

这说明B﹣C=90度或﹣90度，

即B或C为钝角．

但是，ABC为钝角三角形显然导不出cos（B﹣C）=0这么强的条件，

所以，cosA=2sinBsinC是三角形ABC为钝角三角形的充分不必要条件．

【点评】此题考查必要条件、充分条件与充要条件的判别，同时考查三角函数相关知识．

5．（5分）已知实数a，b满足a＜0＜b．则下列不等式一定成立的是（ ）

A．a2＜b2 B． C． D．

【分析】给实数a，b 在其取值范围内任取2个值a=﹣3，b=1，代入各个选项进行验证，A、B、D都不成立．

【解答】解：∵实数a，b满足a＜0＜b，

若 a=﹣3，b=1，则 A、B、D都不成立，只有C成立，

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故选 C．

【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．

6．（5分）定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（ ）

A． B． C． D．

【分析】先根据题意确定函数f（x）的解析式，然后根据左加右减的原则得到平移后的解析式，再根据偶函数的性质可确定n的值．

【解答】解：由题意可知f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+）

将函数f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位后得到y=2cos（x+n+）为偶函数

∴2cos（﹣x+n+）=2cos（x+n+）

∴cosxcos（n+）+sinxsin（n+）=cosxcos（n+）﹣sinxsin（n+）

∴sinxsin（n+）=﹣sinxsin（n+）

∴sinxsin（n+）=0∴sin（n+）=0∴n+=kπ

∴n=﹣+kπ

n大于0的最小值等于

故选C．

【点评】本题主要考查两角和与差的余弦公式、三角函数的奇偶性和平移变换．平移时根据左加右减上加下减的原则进行平移．

7．（5分）已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S2=10，S5=55，则过点P（n，an）和Q（n+2，an+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量的坐标是（ ）