沪教版九年级上册数学24.4 相似三角形的判定
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学生编号 学生姓名 授课教师
辅导学科 数学 所属年级 新九年级 教材版本 沪教版
课题名称 相似三角形的判定 课时进度 授课时间 月 日
教学目标 相似三角形判定
重点难点 相似三角形判定
知识精要
一、相似三角形的概念
一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。对应边的比值叫做相似比。
即△ABC∽△DEF，我们可以得到：【注意事项1、2、】
相似具有连贯性：即两个三角形分别与第三个三角形相似，那么这两个三角形也相似。
相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（∥）
【请用所上节课所学习的知识+定义证明】
EDCBA
基本图形之一：(请添加条件，使之相似)
2、判定定理:
(1)如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两三角形相似。
已知：∠A=∠A’ ;∠B=∠B’ 求证：△ABC∽△A’B’C’
CBAC'B'A'
基本图形之二：(请给图标上字母，并写出所有的相似三角形)
角1=角221角1=角221
（2）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两三角形相似。
已知：∠A=∠A’ ; ''''ABACABAC 求证：△ABC∽△A’B’C’
CBAC'B'A'
基本图形之三：(请给图标上字母及条件，并写出所有的相似三角形)
（3）如果一个三角形的三边与另外一个三角形的三边对应成比例，那么这两三角形相似。
（4）直角三角形相似的判定定理：
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个三角形的斜边及直角边对应成比例，那么这两直角三角形相似。（HL）【自己画图，写出已知、求证，并证明】
【对比】
判定条件 全 等 相 似
（1）
（2）
（3）
（4）
直角三角形
二、相似三角形的性质
1、性质一：相似三角形对应角相等，对应边成比例
相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比及周长比都等于相似比。
【要求自行证明】、【总结】
2、性质二：相似三角形的面积的比等于相似比的平方
【自行证明】
热身练习
1、下列条件中，不能判断ABC与DEF相似的是（ ）
A．∠A=50°，∠B=70°，∠D=50°，∠F=70°
B．2,3ABBC,∠B=40°，4,9DEEF,∠E=40°
C．4,5,6,6,7.5,9ABBCACDEEFDF
D．,ABAC∠A=50°，DEDF,∠E=50°
2、下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是40°的两个等腰三角形
B．有一个角是100°的两个等腰三角形
C．面积相等的两个直角三角形
D．两边之比为3:5的两个直角三角形
3、如图：△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D，且2.5,0.9ADcmDBcm，求：
（1）CD的长 （2）:ACDCBDSS
CBDA
4、如图：D是△ABC的AB边上一个动点，DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F，已知
AD:DB=1:2，求三角形ADE、三角形DBF、平行四边形DFCE的面积之比
CFBDEA
5、如图：平行四边形ABCD中，E是BA延长线上一点，EC交AD于F，已知:1:2EAAB,2AEFS,求平行四边形ABCD的面积
CBDFAE
6、梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，已知9,25AOFCOBSS,求梯形ABCD的面积
ODCBA
7、已知梯形的两底边长分别为4和6，高是3，求梯形两腰的延长线的交点到较长底边的距离
【要求自己画图】
精解名题
1、已知等腰三角形ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足
2ABDBCE
(1)求证：△ADB∽△EAC
(2)若∠BAC=40°，求∠DAE的度数
AECBD
2、已知G是△ABC的重心，且在中线AD上，延长AD到H，使得DH=GD，K是BG的中点
求证：△FKG∽△GHC
【析】注意从对应点所给于的信息。
CHDGKBFA
3、已知AB⊥DB, CD⊥DB,AB=6,CD=4，BD=14，在DB上是否存在点P，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，求出DP的长，如果不存在，说明理由
ABPDC
备选例题
1、 已知RtABC与RtDEF不相似，其中∠C、∠F为直角，能否分别将这两个三角形分割成两个小三角形，使得RtABC分成的两个三角形与RtDEF所分成的两个三角形相似？若能，请给出一种分割方案，若不能，请说明理由
EDFBAC
EDFBAC
（备用图）
2、 操作：如图：正方形ABCD中，P是CD上一个动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与P重合，一条直角边经过点B，另一条直角边与正方形的另一条边所在直线交于点E
探究：（1）观察操作过程，哪一个三角形与△BCP相似？证明你的结论
（2）当P位于CD中点时，你得到的三角形与△BCP的周长之比是多少？
DCBA
3、已知等边三角形ABC，D是AC上一点，BD的垂直平分线交AB于E点，交BC于F点
（1） 当点D在边AC上移动时，△DEF中哪一个角的大小始终保持不变？并求出其度数
（2） 当点D在边AC上移动时，△ADE与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程
（3） 在（2）的基础上，当D移动到什么位置时，这两三角形相似比为1
（4） 若等边三角形的边长为6，AD=2，试求BE:BF的值
FDCBEA
【析】（1）垂直平分线的重要性质——等腰三角形
（2）常用的同角（等角）的余角（或补角）相等
的推广
（3）全等是特殊的相似，相似比为1
巩固练习
1、如图，∠ACB=∠ABD=90°，BC=a，AC=b，当Rt△ABD的斜边上的高h=_______时，图中的两个直角三角形相似.
baCABD
2、点D在△ABC的边AC上一点，∠CBD的平分线交AC于点E，AE=AB，求证：2AEADAC
CDEBA
3、BD、CE是△ABC的两条高，AM是∠BAC的平分线，交BC于M，交DE于N，求证：
（1）AMBCANDE
（2）∠EDB=∠ECB
NDCMBEA
4、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=3:5，梯形ABCD的面积是8cm²，点M、N分别是AD和BC上一点，E、F分别是BM，CM的中点，求四边形MENF的面积
FEACBDMN
自我测试
一、选择
1.如图，AD∥BC，AB∥CE，则图中相似的三角形共有( )对。
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图，△ABC中，BCCDC,90于点D，BCDE于E，则与Rt△CDE相似的直角三角形共有( )个。
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图，Rt△ABC中，90,CBD平分,,ABCDEAB若BC=6，AC=8，则CD=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.下列命题中，说法正确的个数是( )
①有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；
②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似；
③两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似；
④两边对应成比例的两三角形相似
A.1 B.2 C.3 D.4
5.在直角三角形ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足D在斜边AB上，则下列结论中正确的是（ ）
①2ACADAB ②2BCBDAB ③2CDBDAD ④ACBCABCD
A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④
6． 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=Rt∠，AB=7，AD=2，BC=3，如果变AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
ADCBP
二、简答
1、如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE=60°。求证：△ABD∽△DCE
2、如图，在正方形ABCD中，DE=3EC,BF=FC，求证：12
