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专题一 三角恒等变换与解三角形题型及解题方法汇总(教师版)

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1 专题一 三角恒等变换与解三角形（第二讲） [练真题·考什么] 1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝( ) A．42 B．30 C.29 D．25 2．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cosA＝( )

A.31010 B．1010 C．－1010 D．－31010 3．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝( ) A.π2 B．π3 C.π4 D．π6 4．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________. 5．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC

的面积为a23sinA. (1)求sinBsinC； (2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．

[析命题·学什么] 2

考情 展示

2018年 2017年 2016年 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ

T6，T17 T6，T15 T4，T9 T17 T17 T17 T17 T9，T13 T5，T14

命题分析 1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现． 2.若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上． 3.若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等.

●考点一 三角恒等变换及求值 【例1】 (1)(2018·成都第一次诊断性检测)已知sinα＝1010，2,0，则



62cos

的值为( )

A.43－310 B．43＋310 C.4－3310 D．33－410 (2)(2018·辽宁五校联合体模拟)若313sin，则23cos( ) A.79 B．23 C．－23 D．－79 规 律 方 法 1．三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值． 2．解决条件求值问题的三个关注点 (1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示． (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.

「对 点 训 练」 3

1．若tanα＝2tanπ5，则5sin103cos( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β的值为 ________. 3．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重

合，它的终边过点54,53P. (1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cosβ的值．

●考点二 正、余弦定理的应用 【例2】 (2018·山西八校第一次联考)在△ABC中a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且(a＋c)2＝b2＋3ac. (1)求角B的大小； (2)若b＝2，且sinB＋sin(C－A)＝2sin2A，求△ABC的面积． 4

规 律 方 法 正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理． [注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.

(3)与三角形有关的最值（范围）问题一般涉及三角形的角度、边长、面积 周长等的最大、最小问题.常见求解策略如下： ①可选择适当的参数讲问题转化为三角形函数的问题处理，解题中要借用与正弦定理、余弦定理等工具将边角问题统一转化为形如xAysin或xAycos的函数的最值问题，然后根据参数的范围求解.

②借助正弦、余弦定理，化角的正余弦函数为边，然后借助均值不等式对含有22ba，ba，ab的等式求最值. 「对 点 训 练」 1．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求cos∠ADB； (2)若DC＝22，求BC.

2．(2018·广州调研)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 5

a＝2，acosB＝(2c－b)cosA. (1)求角A的大小； (2)求△ABC的周长的最大值．

3.在ABC中，内角CBA,,的的对边分别为cba,,，已知BcCbasincos (1)求B (2)若2b，求ABC面积的最大值.

4.在ABC中，内角CBA,,的的对边分别为cba,,，点D满足BCBD2，若3B，3AD，则ca2的最大值为_________

●考点三 解三角形与三角函数的综合问题 6

【例3】 (2018·辽宁五校协作体联考)已知函数f(x)＝cos2x＋3sin(π－x)cos(π＋x)－12. (1)求函数f(x)在,0上的单调递减区间； (2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsinC＝asinA，求△ABC的面积．

规 律 方 法 解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦，余弦定理. 「对 点 训 练」 已知函数f(x)＝23sinxcosx－2cos2x－1，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和最小值； (2)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，f(C)＝0，sinB＝2sinA，求a，b的值．

专题一 三角恒等变换与解三角形（第二讲）答案 7

[练真题·考什么] 1．解析：∵cosC＝2cos2C2－1＝2×15－1＝－35，BC＝1，AC＝5， ∴AB＝ BC2＋AC2－2BC·AC·cosC ＝ 1＋25－2×1×5×－35＝42.故选A. 答案：A 2．解析：解法一：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知，AD＝BD＝13BC，

则CD＝23BC，AB＝23BC，AC＝53BC，在△ABC中，由余弦定理的推论可知，

cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝29BC2＋59BC2－BC22×23BC×53BC＝－1010，故选C.

解法二：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝13BC，则CD＝23

BC，在Rt△ADC中，AC＝53BC，sin∠DAC＝255，cos∠DAC＝55，又因为∠BAD＝π4，所以cos∠BAC＝4cosDAC＝cos∠DAC·cosπ4－sin∠DAC·sinπ4＝55×22－255×22＝－1010，故选C.

解法三：过A作AD⊥BC，垂点为D，由题意知，AD＝BD＝13BC，则CD

＝23BC，AB＝23BC，AC＝53BC，而AB→·AC→＝(AD→＋DB→)·(AD→＋DC→)＝AD→2＋AD→·DC→＋AD→·DB→＋DB→·DC→＝19BC2－29BC2＝－19BC2，所以cos∠BAC＝ 8

AB→·AC→|AB→||AC→|＝－19BC223BC×53BC＝－1010，故选C.

解法四：过A作AD⊥BC，垂足为D，设BC＝3a(a＞0)，结合题意知，AD＝BD＝a，DC＝2a.以D为原点，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴建立平面

直角坐标系，则B(－a,0)，C(2a,0)，A(0，a)，所以AB→＝(－a，－a)，AC→＝(2a，

－a)，所以|AB→|＝2a，|AC→|＝5a，所以cos∠BAC＝AB→·AC→|AB→||AC→|＝－2a2＋a22a×5a＝－1010，故选C.

答案：C 3．解析：根据余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，因为S△ABC＝a2＋b2－c24，所以S△ABC＝2abcosC4，又S△ABC＝12absinC，所以tanC＝1，因为C∈(0，π)，所以C＝π4.故选C. 答案：C 4．解析：由sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0， 两式平方相加，得2＋2sinαcosβ＋2cosαsinβ＝1，

整理得sin(α＋β)＝－12. 答案：－12 5．解：(1)由题设得12acsinB＝a23sinA，即12csinB＝a3sinA. 由正弦定理得12sinCsinB＝sinA3sinA. 故sinBsinC＝23. (2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－12，

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三角恒等变换与解三角形

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π 0， 2
上的最大
值，求A，b和△ABC的面积．
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第二讲
三角恒等变换与解三角形
结束
[解]
3 1＋cos 2x (1)f(x)＝(m＋n)· m＝cos x＋ 3sin xcos x＋ ＝ 2 2
2
π 3 3 1 3 ＋ sin 2x＋ ＝ cos 2x＋ sin 2x＋2＝sin2x＋6 ＋2. 2 2 2 2
1．三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”．
2．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等；
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第二讲
三角恒等变换与解三角形
结束
(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α) ＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；
＝－
10 . 10
5 4 2 5 (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2× ×－ ＝－ ， 5 5 5
cos 2α＝1－2sin
2
α＝1－2×
5 2 3 ＝ ， 5 5
5π 5π 所以cos 6 －2α＝cos cos 6 ＝ －
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第二讲
三角恒等变换与解三角形
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[典例]
(2014· 四川高考)如图，从气球A上测得正前方的
河流的两岸B，C的俯角分别为67° ，30° ，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结 果精确到个位．参考数据：sin 67° ≈0.92，cos 67° ≈0.39，sin 37° ≈0.60，cos 37° ≈0.80， 3≈1.73)
三角恒等变换与解三角形

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π π 法二 tan α＝tanα－ ＋ 4 4 π π 1 tanα－ ＋tan 4 ＋1 4 6 7 ＝ ＝ 1 ＝5. π π 1－tan tan 4 1－6×1 α － 4
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3 4 2 (2)由(1)得：sin B＝5，cos B＝5，sin C＝cos C＝ 2 ， 7 2 则 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝ 10 ， 2 cos A＝－cos(B＋C)＝－(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－ 10 ， π π 7 2－ 6 π 则 cosA－ ＝cos Acos 6 ＋sin Asin 6 ＝ 20 . 6
量综合考查，构成中档题；(2)正弦定理和余弦定理以及解 三角形问题是B级要求，主要考查：①边和角的计算； ②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题. 由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将
是今后高考的一个关注点，不可轻视.
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(2)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－ 2abcos C； b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 推论： cos A＝ 2bc ， cos B＝ 2ac ， cos C＝ 2ab ； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2 －c2＝2abcos C. 1 1 1 (3)S△ABC＝2absin C＝2acsin B＝2bcsin A.
——三角恒等变换与解三角形课件.ppt

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点在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边过点12， 23，
则 cos2θ＋π3＝ A．－1
B．1
()
C．2
D．0
解析：由题意，得 cos θ＝12，sin θ＝ 23，则 sin 2θ＝2sin θcos θ
＝
23，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－12，所以 cos2θ＋π3＝cos 2θcos
41 2.
[答案]
41 2
[解题方略]
解三角形边长问题的策略
(1)求边的范围可考虑利用三角函数的有界性．
(2)求边的最值可考虑应用不等式．
(3)要将求解的问题归结到一个或几个三角形中，先通过
合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然
后正确求解，演算过程要简练，计算要准确．
题点二 利用正、余弦定理求三角形的内角
θθ－－3545≠＝00，，即csions
θ＝45，又 θ≠35，
sin2θ＋cos2θ＝1，所以 sin θ＝－35，所以 tan θ＝－34，于是
tanθ－π4＝t1a＋n tθa－n θtatnanππ44＝1＋－－34－341×1＝－7.
答案：A
4．[与三角函数概念交汇]在平面直角坐标系 xOy 中，角 θ 的顶
π 3
－sin 2θsinπ3＝－12×12－ 23× 23＝－1. 答案：A
5．[与数列交汇]在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，若 a，b，c 成等比数列，且 tan B＝34，则tan1 A＋tan1 C
的值是
()
5 A.3
B．34
3 C.5
D．43
解析：∵a，b，c 成等比数列，∴b2＝ac，由正弦定理得
三角恒等变换及解三角形-2021届新高考数学复习知识点总结与题型归纳(原卷版)

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第12讲：三角恒等变换及解三角形考点1：三角恒等变形一、三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; (2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β; (3)tan(α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β(α，β，α+β≠kπ+π2，k ∈Z );变形式tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)（α，β，α+β≠kπ+π2，k ∈Z ）．2. 二倍角公式(1)sin 2α=2sin αcos α; 变形式sin αcos α=12sin 2α．(2)cos 2α=cos 2α−sin 2α=1−2sin 2α=2cos 2α−1; 变形式cos 2α=cos 2α+12；sin 2x =1−cos 2α2．(3)tan 2α=2tan α1−tan 2α． 3. 辅助角公式y =a sin α+b cos α=√a 2+b 2(√a 2+b 2α+√a 2+b 2α)=√a 2+b 2sin (α+φ)，其中φ所在的象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ=ba 确定． 4. 化简中常用1的技巧“1”的代换1=sin 2α+cos 2α；1=2cos 2α−cos 2α，1=cos 2α+sin 2α，1=tan π4．典例精讲【典例1】已知x ，y ∈R ，满足x 2+2xy +4y 2＝6，则z ＝x 2+4y 2的取值范围为（ ） A ．[4，12] B ．[4，+∞） C ．[0，6] D ．[4，6]【典例2】已知函数f （x ）＝sin （2x −π3），若方程f （x ）=13在（0，π）的解为x 1，x 2（x 1＜x 2），则sin （x 1﹣x 2）＝（ ） A ．−2√23 B ．−√32 C ．−12D ．−13【典例3】已知s in2α=23，则tanα+1tanα=（ ）A ．√3B ．√2C ．3D ．2【典例4】已知1sin cos 2αα+=，(0,)απ∈，则1tan (1tan αα+=- )A B ． C ．D ．【典例5】已知−π2＜α＜π2，2tan β＝tan2α，tan （β﹣α）＝﹣8，则sin α＝（ ）A ．−√53B ．−2√55C ．√53D ．2√55【典例6】若α∈(π2，π)，且3cos2α=2sin(π4−α)，则cos2α的值为（ ）A ．−4√29B ．4√29C ．−79D ．79【典例7】已知sin()4πα+=(0,)απ∈，则cos(2)6πα+= ．【典例8】已知α，β是函数1()sin cos 3f x x x =+-在[0，2)π上的两个零点，则cos()(αβ-= )A ．1-B ．89-C ．D ．0考点2：解三角形一、三角形当中的角与角之间的关系1. A+B+C=π2. sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C3. cos A=−cos(B+C)=−(cos B cos C−sin B sin C)4. tan A=−tan(B+C)=−tan B+tan C1−tan B tan C二、正弦定理1. 正弦定理：asin A =bsin B=csin C=2R；（R为三角形外接圆半径）2. 正弦定理变形式：(1)sin A=a2R ；sin B=b2R：sin C=c2R(2)a:b:c=sin A:sin B:sin C3. 正弦定理的应用(1)已知两角和任意一边，求另一角和其它的两条边(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其中的对角三、余弦定理1. 余弦定理：a2=b2+c2−2bc cos A；b2=c2+a2−2ac cos B；c2=a2+b2−2ab cos C；2. 余弦定理变形式：cos A=b2+c2−a22bc；cos B=a2+c2−b22ac；cos C=a2+b2−c22ab．3. 余弦定理的应用(1)已知三边，求各角(2)已知两边和它们的夹角，求第三个边和其它的两个角(3)已知两边和其中一边的对角，求其它的角和边．四、面积公式1. SΔ=12aℎa=12bℎb=12cℎc(ℎa、ℎb、ℎc分别表示a、b、c上的高)；2. SΔ=12ab sin C=12bc sin A=12ac sin B；3. SΔ=12ab sin C=abc4R；4. SΔ=12r(a+b+c)（r为三角形内切圆半径）．典例精讲【典例1】在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知b=3√5，c=6√2，tan（A+π4）＝2，则a＝（）A．15 B．3√5C．3 D．6√2【典例2】如图，在△ABC中，点D在边BC上，且BD＝2DC，∠DAC＝30°，AD＝2，△ABC 的面积为3√3，则线段AB的长度为（）A．3 B．2√2C．2√3D．3√2【典例3】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝﹣sin B sin C，c b =12+√3，则tan B＝（）A．2 B．12C．2+2√33D．3(√3−1)4【典例4】如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝．【典例5】如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15︒、北偏东45︒方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60︒方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为( )A ．B ．C ．20(1海里D ．40海里【典例6】已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，若满足22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为( )A B C D ．【典例7】ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a、b 、c，已知sin sin sin sin a b B c C a A c B =+=+，则ABC ∆的周长的最大值是()A ．B ．3+C ．D ．4综合练习一．选择题（共5小题）1．已知函数()sin 2cos f x x x =+，若直线x θ=是曲线()y f x =的一条对称轴，则cos2θ= ．2．若关于x 的方程（sin x +cos x ）2+cos2x ＝m 在区间[0，π）上有两个根x 1，x 2，且|x 1﹣x 2|≥π4，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[0，2）B ．[0，2]C ．[1，√2+1]D ．[1，√2+1）3．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的一个锐角为α，且小正方形与大正方形面积之比为9：25，则sin2α的值为（ ）A ．49B ．59C ．916D ．16254.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示ABC ∆的面积，若cos cos sin c B b C a A +=，222)S b a c =+-，则(B ∠= )A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝2√3，b sin A =acos(B +π6)，则b =（）A．1 B．√2C．√3D．√5二．填空题（共4小题）6．已知sin2（α+π6）+cos2（α−π3）=32，若α∈（0，π），则α＝7．在△ABC中，若tan A+tan B+tan A tan B＝1，则cos2A+cos2B的范围为 .8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=√3，√3+bc =sinC+sinAsinC+sinA−sinB，则b+2c的最大值等于．9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=√2，a cos B+b sin A＝c，则△ABC的面积的最大值为．。