五年级奥数：数列的求和(B)(含答案)

小学五年级数学奥数题100道及答案(完整版)题目1：计算：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ 99 + 100答案：5050解析：这是一个等差数列求和，公式为（首项+ 末项）×项数÷ 2 ，即（1 + 100）×100 ÷2 = 5050题目2：有三个连续自然数，它们的乘积是60，求这三个数。

答案：3、4、5解析：将60 分解质因数60 = 2×2×3×5 = 3×4×5题目3：一个数除以5 余3，除以6 余4，除以7 余5，这个数最小是多少？答案：208解析：这个数加上 2 就能被5、6、7 整除，5、6、7 的最小公倍数是210，所以这个数是210 - 2 = 208题目4：甲、乙两车同时从A、B 两地相向而行，在距A 地60 千米处第一次相遇。

各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A 地40 千米处相遇。

A、B 两地相距多少千米？答案：110 千米解析：第一次相遇时，两车共行了一个全程，甲行了60 千米。

第二次相遇时，两车共行了三个全程，甲行了60×3 = 180 千米。

此时甲距离 A 地40 千米，所以两个全程是180 + 40 = 220 千米，全程为110 千米。

题目5：鸡兔同笼，共有头48 个，脚132 只，鸡和兔各有多少只？答案：鸡30 只，兔18 只解析：假设全是鸡，有脚48×2 = 96 只，少了132 - 96 = 36 只脚。

每把一只鸡换成一只兔，脚多4 - 2 = 2 只，所以兔有36÷2 = 18 只，鸡有48 - 18 = 30 只。

题目6：小明从一楼到三楼用了18 秒，照这样计算，他从一楼到六楼需要多少秒？答案：45 秒解析：一楼到三楼走了 2 层楼梯，每层用时18÷2 = 9 秒。

一楼到六楼走5 层楼梯，用时5×9 = 45 秒。

数列求和汇总答案一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn例1、已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222123456...99100-+-+-+--+的和。

解：2222222212345699100-+-+-+--+()()()()2222222221436510099=-+-+-++-()()()()()()()()2121434365651009910099=-++-++-++-+3711199=+++＋由等差数列的求和公式得()50503199S 50502＋＝＝ 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.例2求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位） ①－②得nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 练习：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②（设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.例3求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….① 将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴S ＝44.52、求和：222222222222222101109293832921101++++++++++四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例4、求和:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n y x y x y x 11122 ()1,1,0≠≠≠y x x解:原式=()nxx x x ++++ 32⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++n y y y 1112 =()yy y xx x n n1111111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-- =nn n n y y y x x x --+--++1111 练习：求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n a a S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。

专题研究：数列的求和·例题解析【例1】 求下列数列的前n 项和S n ：(1)(2)13(3)11111122143181223132313231323121214121412234562121，，，…，，…；，，，…，，…；，＋，＋，…，＋＋＋…＋，…．()n n n n n ++++++--解 (1)S =112=(123n)n +++++++++2143181212141812…＋＋＋…＋＋…()()n n n=n(n +1)2=1+--+-121121121212()()n nn n ＋(2)S =13=(13+13++13)+(23+23++23)n 32n-1242n ++++++-2313231323234212………n n=13()()()1131132311311358113222222--+--=-n n n(3)先对通项求和a =1 S =(222)(1+14++12)n n n-1++++=---1214122121211…∴＋＋…＋－＋…n n=2n (1+14++12)=2n 2n-1－＋…－＋12121n -</PGN0166B.TXT/PGN>【例2】 求和：(1)11+123+134+(2)11(3)12 (21)15137159121235158181113132++++++-+++++-+n n n n n n ()()()()()解 (1)1n(n +1)=-+=-+-+-++-+111111212131314111n n S n n n ∴…()()()()=-+=+1111n n n(2)1(2n 1)(2n +3) S =n -=--+-+-+-++--++--+141211231411513171519123121121123()[]n n n n n n ∴…=141131211234532123[]()()()+-+-+=+++n n n n n n(3)1(3n 1)(3n +2) S =13n -=--+-+-+-++--+131311321215151818111131132()[()()()()]n n n n ∴…=13()1213264-+=+n n n </PGN0167A.TXT/PGN>【例3】 求下面数列的前n 项和：1147(3n 2)＋，＋，＋，...，＋－， (111)21a a an -分析 将数列中的每一项拆成两个数，一个数组成以为公比的等1a比数列，另一个数组成以3n －2为通项的等差数列，分别求和后再合并． 解 设数列的通项为a n ，前n 项和为S n则＋∴…＋＋＋＋…＋－a =1a (3n 2)S =[147(3n 2)]n n 1n ---++++()111121a a an当时，＋·当≠时，a =1S =n a 1S =11a 11an n n [()]()()1322321322131221+-=+--++-=--+--n n n nn n a a a n n nn n 说明 等比数列的求和问题，分q=1与q ≠1两种情况讨论．【例4】 a =k (k N*)a a a k 设＋＋…＋∈，则数列，，，12357222123…的前n 项之和是[ ]A B C D ．．．．613161612nn n n n nn n ++-++()()解 b b =n n 设数列，，，…，的通项为．则35721123a a a n a n+又∵＋＋…＋＋＋∴ a =12n =n(n 1)(2n 1) b =6n(n +1)=6(1n 1n +1)n 222n 16-数列{b n }的前n 项和S n =b 1＋b 2＋…＋b n=6=6=6n n +1(A)[()()]()1121311213111111++++-+++++-+……选．n n n n </PGN0168A.TXT/PGN>【例5】 求在区间[a ，b](b ＞a ，a ，b ∈N)上分母是3的不可约分数之和．解法一 [a b]3a 1a 2b 1区间，上分母为的所有分数是，，，＋，，，＋，…，－，，，它是以为首项，以为公差的等差数列．33313323343353323313333313a a a a ab b ba ++++--项数为－＋，其和－＋＋3b 3a 1S =12(3b 3a 1)(a b) 其中，可约分数是a ，a ＋1，a ＋2，…，b其和′－＋＋S =12(b a 1)(a b)故不可约分数之和为S S =12(a b)[(3b 3a 1)(b a 1)]－′＋－＋－－＋ =b 2－a 2解法二</PGN0168B.TXT/PGN>∵… S =3a +13+3a +23+3a +43+3a +53++3b 23+3b 13-- ∴＋＋＋＋＋＋＋＋…＋－＋－而又有－＋－＋－＋－＋…＋＋＋＋ S=(a )(a )(a )(a )(b )(b )S=(b )(b )(b )(b )(a )(a )132********3132343532313两式相加：2S=(a ＋b)＋(a ＋b)＋…＋(a ＋b) 其个数为以3为分母的分数个数减去可约分数个数． 即3(b －a)＋1－(b －a ＋1)=2(b －a) ∴ 2S=2(b －a)(a ＋b) ∴ S=b 2－a 2【例6】 求下列数列的前n 项和S n ： (1)a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…，(a ≠0、1)； (2)1，4，9，…，n 2，…；(3)1，3x ，5x 2，…，(2n －1)x n-1，…，(x ≠1)(4)1224382，，，…，，…．nn解 (1)S n =a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ∵ a ≠0∴ aS n =a 2＋2a 3＋3a 4＋…＋(n －1)a n ＋na n+1 S n －aS n =a ＋a 2＋a 3＋…＋a n －na n+1 ∵ a ≠1</PGN0169A.TXT/PGN>∴()()()()111111121-=---=----++a S a a ana S a a a na a n n n n n n(2)S n =1＋4＋9＋…＋n 2 ∵ (a ＋1)3－a 3=3a 2＋3a ＋1 ∴ 23－13=3×12＋3×1＋1 33－23=3×22＋3×2＋1 43－33=3×32＋3×3＋1 ……n 3－(n －1)3=3(n －1)2＋3(n －1)＋1 (n ＋1)3－n 3=3n 2＋3n ＋1把上列几个等式的左右两边分别相加，得(n ＋1)3－13=3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n=3(123n )n 2222＋＋＋…＋＋＋312n n ()+ ∴ 12＋22＋32＋…＋n 2=[(n 1)1n]=[n 3n 3n n]3321331213312＋－－－＋＋－－n n n n ()()++=n(2n 3n 1)=n(n 1)(2n 1)21616＋＋＋＋(3)∵ S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n-1 ∴ xS n =x ＋3x 2＋5x 3＋…＋(2n －3)x n-1＋(2n －1)x n 两式相减，得(1－x)S n =1＋2x(1＋x ＋x 2＋…＋x n-2)－(2n －1)x n=1(2n 1)x =(2n 1)x S =(2n 1)x nn+1n n+1－－＋∴2112111211112x x x n x x xn x x x n n n ()()()()()()-----+++---+++- (4) S =12n ∵……++++=+++++22322121222322232341n S n n n n两式相减，得121212121221211211222311S n n n n n n n =++++-=---++…() =---+-112212211n n n nn n∴－ S =2n </PGN0170A.TXT/PGN>说明 求形如{a n ·b n }的数列的前n 项和，若其中{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法体现了化归思想．【例7】 {a }n S S =n n n 设等差数列的前项和为，且，()a n +122n ∈N*，若b n =(－1)n ·S n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．分析 求{b n }的前n 项和，应从通项b n 入手，关键在于求{a n }的前n 项和S n ，而由已知只需求{a n }的通项a n 即可．解法一 {a }S =n =1a =(a 2)a =1n n 1121∵是等差数列，当时，解得()a n ++1212当时，＋解得或－当时，＋＋，由，解得或n =2a a =(a )a =3a =1n =3a a a =(a )a =3a =5a =12222212332233++1212－3，由a 2=1，解得a 3=1．又≥，∴－，－，舍S =0 a =1a =3a =1()n 233()a n +122即a 1=1，a 2=3，a 3=5，∴ d=2 a n =1＋2(n －1)=2n －1 S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2 b n =(－1)n ·S n =(－1)n ·n 2T n =－12＋22－32＋42－…＋(－1)n ·n 2 当n 为偶数时，即n=2k ，k ∈N*T n =(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋[－(2k －1)2＋(2k)2] =3＋7＋…＋(4k －1)=[3+(4k 1)]k 2=(2k 1)k =-+·＋n n ()12当n 为奇数时，即n=2k －1，k ∈N* T n =－12＋22－32＋42－…－(2k －1)2=－12＋22－32＋42－…－(2k －1)2＋(2k)2－(2k)2 =(2k ＋1)k －(2k)2 =－k(2k －1)= T =(1)n N *n S =(a +a )n2a n nn 1n n －∴－·∈也可利用等差数列的前项和公式·，求．n n n n ()()++1212解法二 n =1a =(a ) a =1S =n(a +a )1121n 1n 取，则∴又可得：·++=+12212122()()a n a n n∵ a n ≠－1 ∴ a n =2n －1 以下同解法一．说明 本题以“等差数列”这一已知条件为线索，运用方程思想，求数列{a n }的通项a n ，在求数列{b n }的前n 项和中，通过化简、变形把一般数列的求和问题转化为等差数列的求和问题．由于(－1)n 的作用，在变形中对n 须分两种情况讨论。

五年级举一反三奥数题及答案B版五年级的奥数题目通常包含一些基础的数学概念和逻辑推理，以下是一些典型的五年级奥数题目及其答案：1. 题目：一个数列的前三项是1，2，3，从第四项开始，每一项都是前三项的和。

求第10项的值。

答案：数列的前几项为1，2，3，6，9，21，45，110，253，610。

第10项的值为610。

2. 题目：有5个盒子，每个盒子里分别装有1，2，3，4，5个球。

现在要从这些盒子里取出6个球，使得取出的球的总数为10。

问有多少种不同的取法？答案：可以有以下取法：(1, 2, 3, 4)，(1, 2, 3, 5)，(1, 2, 4, 5)，(1, 3, 4, 5)，(2, 3, 4, 5)。

共有5种不同的取法。

3. 题目：一个正方形的边长增加10%，它的面积增加了多少百分比？答案：假设原正方形边长为x，则面积为x^2。

增加10%后，新的边长为1.1x，面积为(1.1x)^2 = 1.21x^2。

面积增加了(1.21x^2 -x^2) / x^2 = 0.21，即增加了21%。

4. 题目：一个班级有40名学生，其中25名学生参加了数学竞赛，20名学生参加了英语竞赛。

如果至少有5名学生同时参加了数学和英语竞赛，那么只参加数学竞赛的学生有多少人？答案：设同时参加数学和英语竞赛的学生人数为x，则只参加数学竞赛的学生人数为25 - x，只参加英语竞赛的学生人数为20 - x。

根据题意，25 + 20 - x ≥ 40 + 5，解得x ≤ 5。

因此，只参加数学竞赛的学生人数至少为25 - 5 = 20人。

5. 题目：一个数字，去掉它的最高位数字后，剩下的数字是原数字的1/4。

这个数字是多少？答案：设原数字为abcd（a为最高位数字），则根据题意有abcd = 4(bcd) + a。

由于a是最高位数字，所以a只能是1或2。

如果a=1，则bcd = 1/4abcd，这是不可能的。

如果a=2，则bcd = 2(bcd) + 2，解得bcd = 2。