第五章 相似矩阵及二次型
1. 试用施密特法把下列向量组正交化:
(1)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ;
解 根据施密特正交化方法
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==11111a b , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=-=101]
,[],[1112122b b b a b a b ,
⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b
(2)⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a
解 根据施密特正交化方法
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-==110111a b
⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b
⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b
2. 下列矩阵是不是正交阵:
(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
-1
21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.
(2)⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛----
--979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.
3 设x 为n 维列向量 x T
x 1 令H E 2xx T
证明H 是对称的正交阵
证明 因为 H
T
(E 2xx T )
T
E 2(xx T )T E 2(xx T )T E 2(x T )T x T
E 2xx T
所以H 是对称矩阵 因为 H T
H
HH (E 2xx T )(E 2xx T )
E 2xx T 2xx
T (2xx T )(2xx T
)
E 4xx T 4x (x T
x )x T
E 4xx T
4xx T
E
所以H 是正交矩阵
4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A B 是n 阶正交阵, 故A
1
A T B
1
B T
(AB )T
(AB )B T A T
AB
B 1A 1AB E
故AB 也是正交阵.
5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1)⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----201335212;
解 3
)1(2013352
12||+-=-------=-λλ
λλλE A
故A 的特征值为1(三重). 对于特征值
1 由
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+000110101101325213~E A
得方程(A E )x 0的基础解系p 1(1 1 1)
T
向量p 1就是对应于特征值
1
的特征值向量.
(2)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛633312321;
解 )
9)(1(6333123
21||-+-=---=-λλλλ
λλλE A
故A 的特征值为10 2
1
3
9.
对于特征值
1
0, 由
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110321633312321~A
得方程A x 0的基础解系p 1(1 1 1)
T
向量p 1是对应于特征值
1
0的特征
值向量. 对于特征值
2
1, 由
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+000100322733322322~E A
得方程(A E )x
0的基础解系p 2(
1 1 0)
T
向量p 2就是对应于特征值
2
1
的特征值向量
对于特征值
3
9, 由
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-00021101113333823289~E A
得方程(A 9E )x 0的基础解系p 3(1/2 1/2 1)
T
向量p 3就是对应于特征值
3
9
的特征值向量.
(3)⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛00
01001001001000
.（和书后答案不同，以书后为主，但解题步骤可以参考） 解 22)1()1(0010100101
00||+-=----=
-λλλ
λλλλE A
故A 的特征值为121
34
1.
对于特征值
1
2
1, 由
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=+00
0000
0110100110
01011001101001~E A
得方程(A E )x 0的基础解系p 1(1 0 0 1)
T
p 2(0 1 1 0)
T
向
量p 1和p 2是对应于特征值
1
2
1的线性无关特征值向量.
对于特征值
3
4
1, 由
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----=-00
000000
0110100110
01011001101001
~E A
得方程(A E )x 0的基础解系p 3(1 0 0 1)T
p 4(0 1 1 0)
T
向量p 3
和p 4是对应于特征值
3
4
1的线性无关特征值向量.
6 设A 为n 阶矩阵 证明A T
与A 的特征值相同
证明 因为
|A
T
E ||(A E )T ||A
E |T |A E |
