高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点教学设计新人教A版20170628361必修一

反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( C ) A.(－2，－1) B.(－1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
解析 ∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，
f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0，
∴f(x)在(0,1)内有零点.
解析答案
答案
知识点三 函数零点的判定定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断 的一条曲线，并且 有 f(a)·f(b)＜0 .那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a， b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
思考 (1)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0一定成立吗？
解析答案
解题思想方法
数形结合思想
例5 已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是____. 1 解析 如图所示，由图象知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图象有三个交点，
则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练5 当m为何值时，方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根？ 解 令f(x)＝x2－4|x|＋5，作出其图象，如图所示，
第三章 §3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
学习目 标
1.理解函数零点的定义，会求函数的零点. 2.掌握函数零点的判定方法. 3.了解函数的零点与方程的根的联系.
栏目索 引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习

3．1.1 方程的根与函数的零点[目标] 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系；2.会求函数的零点；3.掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数．[重点] 函数零点的概念以及函数零点的求法．[难点] 对函数零点的判断方法的理解及应用.知识点一函数的零点[填一填]对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．[答一答]1．函数的零点是点吗？如何求函数的零点？提示：函数的零点不是点，是一个实数；由函数的零点定义可知，求函数的零点可通过解方程f(x)＝0得到．2．当二次函数通过零点时，函数值一定变号吗？提示：不一定．如下图，x0是函数的零点，当函数通过零点时，函数值不变号．方程的根、函数的零点、图象知识点二之间的关系[填一填]方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．[答一答]3．怎样理解方程的根、函数的零点、图象之间的关系？提示：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．所以，函数y＝f(x)的图象与x轴有几个交点，函数y＝f(x)就有几个零点，方程f(x)＝0就有几个解．知识点三函数零点的存在性定理[填一填]如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[答一答]4．若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在(a，b)内的零点唯一吗？提示：不一定．如f (x )＝x 3－x 在区间[－2,2]上有f (2)·f (－2)<0，但f (x )在(－2,2)内有三个零点－1，0,1；如f (x )＝x ＋1，在区间[－2,0]上有f (－2)·f (0)<0，在(－2，0)内只有一个零点－1.5．若函数y ＝f (x )满足在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )f (b )>0，是不是说函数y ＝f (x )在(a ，b )内没有零点？提示：y ＝f (x )在(a ，b )内也可能有零点．如f (x )＝x 2－1，在区间[－2,2]上有f (－2)f (2)>0，但在(－2,2)内有两个零点－1,1. 类型一 求函数的零点[例1] (1)求函数f (x )＝x 2－x －2的零点；(2)已知函数f (x )＝ax －b (a ≠0)的零点为3，求函数g (x )＝bx 2＋ax 的零点．[解] (1)因为f (x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f (x )＝0，即(x ＋1)(x －2)＝0.解得x ＝－1或x ＝2.所以函数f (x )的零点为－1和2.(2)由已知得f (3)＝0即3a －b ＝0，即b ＝3a .故g (x )＝3ax 2＋ax ＝ax (3x ＋1)．令g (x )＝0，即ax (3x ＋1)＝0，解得x ＝0或x ＝－13.所以函数g (x )的零点为0和－13. 1求函数f x 的零点就是求方程f x ＝0的解，求解时注意函数的定义域. 2已知x 0是函数f x 的零点，则必有f x 0＝0.[变式训练1] 已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝log n (mx ＋1)的零点．解：由题意知f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2， 则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两个实根，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝－3m ＋1，1×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2，n ＝2.所以函数y ＝log n (mx ＋1)的解析式为y ＝log 2(－2x ＋1)．令log 2(－2x ＋1)＝0，得x ＝0.所以函数y ＝log 2(－2x ＋1)的零点为0.类型二 判断函数零点所在区间[例2] (1)方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为( )A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(2)根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N )，则k 的值为________. x－1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09x ＋2 1 2 3 4 5[答案] (1)C (2)1[解析] (1)令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (1)＝log 31＋1－3＝－2<0，f (2)＝log 32＋2－3＝log 323<0，f (3)＝log 33＋3－3＝1>0，f (4)＝log 34＋4－3＝log 312>0，则函数f (x )的零点所在的区间为(2,3)，所以方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)．(2)记f (x )＝e x －x －2，则该函数的零点就是方程e x －x －2＝0的实根．由题表可知f (－1)＝0.37－1<0，f (0)＝1－2<0，f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.39－4>0，f (3)＝20.09－5>0.由零点存在性定理可得f (1)f (2)<0，故函数的零点所在的区间为(1,2)．所以k ＝1.判断函数零点所在区间的三个步骤：1代.将区间端点代入函数求出函数的值. 2判.把所得函数值相乘，并进行符号判断. 3结.若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点.[变式训练2] 函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( B )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1e ，1)和(3,4)D ．(e ，＋∞)解析：∵f (1)＝－2<0, f (2)＝ln2－1<0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，∴在(1,2)内f (x )无零点．又∵f (3)＝ln3－23>0，∴f (2)·f (3)<0. ∴f (x )在(2,3)内有一个零点．∴选B.类型三 函数零点个数的有关问题命题视角1：判断函数零点的个数[例3] 求函数f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2的零点个数．[解] 方法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0， f (2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3>0，∴f (x )在(0,2)上必定存在零点．又显然f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f (x )有且只有一个零点．方法二：如图，在同一坐标系中作出h (x )＝2－2x 和g (x )＝lg(x ＋1)的图象． 由图知，g (x )＝lg(x ＋1)和h (x )＝2－2x 的图象有且只有一个交点，即f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点．判断函数零点的个数的方法主要有：1对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.2由f x ＝g x －h x ＝0，得g x ＝h x ，在同一坐标系中作出y 1＝g x和y 2＝h x 的图象，利用图象判定方程根的个数. [变式训练3] 函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：易知函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数⇔方程|log 0.5x |＝12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的根的个数⇔函数y 1＝|log 0.5x |与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象的交点个数．两个函数的图象如图所示，可知两个函数图象有两个交点，故选B.命题视角2：由函数的零点求参数的取值范围[例4] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 [解析] 画出函数f (x )的图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同交点，由图易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.此类题关键是画出图象，将函数零点问题转化为图象交点问题，从而确定参数的范围.[变式训练4] 若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是(0,2)．解析：令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，0<b<2.1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是( B )A．(－2,3) B．2,3C．(2,3) D．－2，－3解析：令－x2＋5x－6＝0.解得x1＝2，x2＝3，故函数零点为2,3.2．设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0所在的区间是( C ) A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：设f(x)＝ln x＋x－4，则f(1)＝－3<0，f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4>0，则x0∈(2,3)．3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(1，＋∞)．解析：函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，就是方程x2＋2x＋a ＝0没有实数解，所以Δ＝4－4a<0，即a>1.4．方程2|x|＋x＝2的实根的个数为2.解析：由2|x|＋x＝2，得2|x|＝2－x.在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2|x|与函数y＝2－x的图象，如图，图象有2个交点，即方程有2个实根．5．求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，如图所示．有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．——本课须掌握的三大问题1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．学习至此，请完成课时作业23二次函数的零点问题开讲啦二次函数零点的分布问题又称为一元二次方程根的分布问题，求解此类问题，一定要注意数形结合方法的应用，从各个方面去考虑使结论成立的所有条件，如判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值的大小、开口方向等．[典例] 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．[分析] 本题首先要确定二次项系数的取值，故应分类讨论．[解] (1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意． (2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)．若m <0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m >0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －32－4m ≥0，3－m 2m >0，m >0，解得0<m ≤1. 综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]． [对应训练] 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解：设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，则f (x )的图象与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1,2)内，画出示意图(如图所示)，观察图象可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝2m ＋1<0f －1＝2>0f 1＝4m ＋2<0f 2＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12. 所以m 的取值范围是(－56，－12)．。

[典例 1] 求下列函数的零点． (1)f(x)＝x3－7x＋6；(2)f(x)＝x2－x－6； (3)f(x)＝12x－4；(4)f(x)＝log3x－1. [思路点拨] 分别令各个解析式等于 0，根据方程的根来确 定函数的零点．
[解析] (1)令 f(x)＝0，得 x3－7x＋6＝0， 即(x3－x)－(6x－6)＝0， ∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)(x2＋x－6) ＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0. 解得 x1＝1，x2＝2，x3＝－3. ∴函数 f(x)＝x3－7x＋6 的零点是 1,2，－3.
[巧归纳] 函数零点的求法 (1)代数法：求方程 f(x)＝0 的实数根； (2)几何法：对于不能用求根公式的方程 f(x)＝0，可以将它 与函数 y＝f(x)的图象联系起来．图象与 x 轴的交点的横坐标即为 函数的零点．
[练习 1]若函数 f(x)＝ax－b 有一个零点是 3，那么函数 g(x) ＝bx2＋3ax 的零点是________．
答案：连续不断 f(a)·f(b)＜0 f(c)＝0
[想一想] 1．函数 y＝f(x)的零点是点吗？为什么？
答案：不是．函数的零点的本质是方程 f(x)＝0 的实数根，因 此，函数的零点不是点，而是一个实数，当函数的自变量取这个 实数时，函数值为零．
2．任何函数都有零点吗？ 答案：并非所有的函数都有零点，如函数 f(x)＝1x无零点，因 为方程1x＝0 无实根．
[典例 2] 已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程 f(x)＝
g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是( )
A.0，12 C．(1,2)
B.12，1 D．(2，＋∞)
[答案] B
[解析] 在同一坐标系中分别画出函数 f(x)，g(x)的图象如图 所示，方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象 有两个不同的交点，结合图象可知，当直线 y＝kx 的斜率大于坐 标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线 y＝x－1 的斜率时符合题 意，故12＜k＜1.

3.1.1方程的根与函数的零点教学设计课题：3.1.1方程的根与函数的零点教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修1（人民教育出版社A版）第三章函数的应用一、教学目标二、教学重点与难点三、教学的方法与手段四、教学过程【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标教师活动：用屏幕显示第三章 函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用。

通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。

为此，我们还要做一些基本的知识储备。

方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”。

教师活动：板书标题（方程的根与函数的零点）。

【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想教师活动：请同学们思考这个问题。

用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？（1）2230x x --=；（2）062ln =-+x x .学生活动：回答，思考解法。

教师活动：第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第二个问题。

对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？学生活动：思考作答。

教师活动：用屏幕显示函数223y x x =--的图象。

学生活动：观察图像，思考作答。

教师活动：我们来认真地对比一下。

用屏幕显示表格，让学生填写2230x x --=的实数根和函数图象与x 轴的交点。

学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x 轴交点的横坐标的结论。