平面向量
一、平面向量的基本概念：
1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。
向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________.
5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。
6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②,,c b b a ==ρ则c a =ρ；③
,//,//c b b a ρc a //ρ ④若CD AB
=，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点；
⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法：
1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________.
（1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量
（1）PM QP MN NQ +++ （2）)()()(MB PM AB CQ BC BP +++++
（2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则；
a +ρ是以a ρ，
b ρ
为邻边的平行四边形的一条对角线，如图：
例1.（09 山东）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，2=+，则 A.0=+ B.0=+ C.0=+ D.0=++
例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则
2.向量的加法运算律：交换律与结合律
（二）向量的减法：
减法是加法的逆运算，A.-=-= （终点向量减始点向量）
在平行四边形中，已知以a ρ、b ρ为邻边的平行四边形中，a -+,ρ分别为平行四边形的两条对角线，当
a a -=+ρ
ρ时，此时平行四边形是矩形。
例1.已知
86==a ρ
，且
a a -=+ρρ，则
a a -=+ρρ=______
例2.设点M 是BC 的中点，点A 在线段BC 外，BC=16-=+____
=
向量的加减运算：
例1.（08辽宁）已知、O A 、B 是平面内的三个点，直线AB 上有一点C ，满足CB →
+2AC →=0，则OC →
=______ A.2OA →-OB →
B.—OA →
+2OB →
C.
32OA →—31OB → D. —3
1OA →+32OB →
例2.(15课标全国I ）设D 是三角形ABC 所在平面内一点，CD BC 3=，则______
A.AC AB AD 3431+-=
B.AC AB AD 3
4
31-= C.AC AB AD 3134+= D.AC AB AD 3
134-= 例3.（12全国）在ABC ∆中，AB 边上的高为CD ,CB →
=a, CA →
=b,a •b=0, 2,1==b a ,则AD →
=______ 例4.（10全国）在ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB →
=a, CA →
=b,2,1==b a ，则CD →
=________ 例5.在ABC ∆中，设D 为边BC 的中点, E 为边AD 的中点,若BE →
=m AB →
+n AC →
，则m +n =___
例 6.（15北京理）在ABC ∆中，点N M ,满足NC BN MC AM ==,2，若AC y AB x MN +=，则
_________==y x
例7.（13江苏）设D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，若BC BE AB AD 3
2
,21==，若DE →=1λAB →+2λAC →
(1λ,2λ为实数)，则1λ+2λ=_________
例8.（12东北四市一摸）在ABC ∆中，设P 为边BC 的中点，内角C B A ,,的对边c b a ,,，若c AC →
+a PA →
+b PB →
=0，则ABC ∆的形状为________
(三）实数与向量的积：
1.定义：实数λ与非零向量a ρ的乘积a ρ
λ是一个向量，它的长度是__________.它的方向是_________________________________________________________.当0=λ时，_______ 2.数乘向量的几何意义是把向量同方向或反方向扩大或缩小。
3.运算律：设a ρ、b ρ
是任意向量，μλ,是实数，则实数与向量的积适合以下运算：
4.向量共线的判断：（平行向量的基本定理）
①如果b a λ=ρ，则b a //ρ；若b a //ρ，0≠b ，则存在唯一的实数λ，使得b a λ=ρ
.
②若a ρ、b ρ
是两个不共线的非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数μλ,，使________.
③若22122111,e e e e a μλμλ+=+=ρ，21
,e 不共线，b a //ρ，则在有意义的前提下，21
21μμλλ= 例1.（15课标全国II ）设向量若a ρ、b ρ
是两个不平行的向量，向量a +ρλ与a 2+ρ平行，则____=λ
例2.（09湖南）对于非零向量,,a b r r
“0a b +=r r r ”是“//a b r r ”的___A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 例3.（12四川）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使
||||
=a b a b 成立的充分条件是A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b |
5.单位向量
给定一个向量a ρ，与a ρ同方向且长度为1的向量叫做a ρ
的单位向量，即_______________ 重要结论：
已知ABC ∆，O 为定点，P 为平面内任意一点.
①PA →+PB →+PC →
=0⇔________________________⇔_______________________. ②若OP →=
3
1OA →+OB →+OC →
，则P 为ABC ∆__________________________ ③若OP →=OA →
+λ（AB →+AC →
），),0(+∞∈λ，则P 点的轨迹__________________. ④若OP →=OA →
+λ_________,),0(+∞∈λ,则P 点的轨迹通过ABC ∆的内心 ⑤若__________________________,则P 点的轨迹是ABC ∆的外心 ⑥若__________________________,则P 点的轨迹是ABC ∆的垂心
例1.（10湖北）在ABC ∆中，点M 满足MA →+MB →+MC →
=0，若存在实数m ，使得AB →+AC →
=m AM →
，则m =________. 例2.在ABC ∆中，重心为G ，若sin 3sin 3sin
2=++C B A ，则_____cos =B
