千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第67炼 圆锥曲线的性质

y 2 x2 + 2 = 1 ，其中 ( a > b > 0, b 2 = a 2 − c 2 ) 2 a b
焦点在哪个轴 ，则标准方程中哪个字母的 母更大 2 椭圆的性质 以焦点在 x 轴的椭圆为例 1 长轴的顶点有关 短轴的顶点有关 焦点有关
x2 y2 + = 1( a > b > 0 ) a2 b2
PF1 + PF2 = 2a ，则椭圆的标准方程为
焦点在 y 轴 的椭圆 设椭圆
x2 y2 + = 1 ，其中 ( a > b > 0, b 2 = a 2 − c 2 ) a2 b2
一 点 P ( x, y ) ， F1 ( 0, −c ) , F2 ( 0, c ) ， 设 距 离 和
PF1 + PF2 = 2a ，则椭圆的标准方程为
5 渐近线 当 x → +∞ 或 x → −∞ 时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限 靠近，但 相交，则 这条直线为曲线的渐近线 双曲线渐近线的求法 无论双曲线的焦点位于哪条轴 ，只需让右侧的 1 变为 0，再解 出 y 关于 x 的直线即可 例如在 变形为 y = ±
则 PQ =
2b 2 a
5 离心率
e=
c ，因为 c < a ，所以 e ∈ ( 0,1) a P 到焦点的距离为椭圆的焦半径
可记为 左加右
6 焦半径公式
设椭圆 一点 P ( x0 , y0 ) ，则 PF1 = a + ex0 , PF2 = a − ex0
焦半径的最值 由焦半径公式可得 焦半径的最大值为 a + c ，最小值为 a − c 7 焦点 角形面 证明
为长轴长 为短轴长
a
b
A1 ( − a,0 ) , A2 ( a,0 ) ， A1 A2 = 2a B1 ( 0, −b ) , B2 ( 0, b ) ， B1 B2 = 2b
为焦距
c
F1 ( −c,0 ) , F2 ( c,0 ) ， F1 F2 = 2c
2 对 性 椭圆关于 x 轴， y 轴对 ，且关于原点中心对 3 椭圆 点的坐标范围 设 P ( x0 , y0 ) ，则 − a ≤ x0 ≤ a, −b ≤ y0 ≤ b 4 通径 焦点弦长的最小值 焦点弦 椭圆中过焦点的弦
焦点在哪个轴 ，则对应字母作为被 数 双曲线的性质 以焦点在 x 轴的双曲线为例 1 实轴的顶点有关 虚轴的顶点有关 焦点有关
2
x2 y2 − = 1( a > 0, b > 0 ) a 2 b2
为实轴长 为虚轴长
a
b
A1 ( −a,0 ) , A2 ( a,0 ) ， A1 A2 = 2a B1 ( 0, −b ) , B2 ( 0, b ) ， B1 B2 = 2b
∴ 4c 2 = 4a 2 − 2 PF1 PF2 (1 + cos F1 PF2 )
∴ PF1 PF2 = 2 a 2 − 2c 2 2b 2 = 1 + cos F1PF2 1 + cos F1 PF2

S
PF1 F2
=
1 1 2b 2 sin F1 PF2 PF1 ⋅ PF2 sin F1 PF2 = ⋅ 2 2 1 + cos PF1 F2
S
PF1 F2
= b 2 tan
θ
2
其中 θ = ∠PF1F2
S
2
PF1 F2
=
1 PF1 ⋅ PF2 sin F1 PF2 2
2 2
且 F1 F2
= PF1 + PF2 − 2 PF1 PF2 cos F1 PF2 = ( PF1 + PF2
)
2
− 2 PF1 PF2 (1 + cos F1PF2 )
第九章
第 67 炼 圆锥曲线的性质
解析几何
第 67 炼 圆锥曲线的性质
一 基础知识 一 椭圆 1 定 和标准方程 1 平面 到两个定点 F1 , F2 的距离和为定值 定值大于 F1 F2 中 F1 , F2 为椭圆的焦点， F1 F2 为椭圆的焦距 的点的轨迹 为椭圆，其
2 标准方程 焦点在 x 轴 的椭圆 设椭圆 一 点 P ( x, y ) ， F1 ( −c,0 ) , F2 ( c,0 ) ， 设 距 离 和
x2 y2 − 2 = 1 ，其中 ( a > 0, b > 0, b2 = c 2 − a 2 ) 2 a b
一 点 P ( x, y ) ， F1 ( 0, −c ) , F2 ( 0, c ) ， 设 距 离 差 的 绝 对 值
y2 x2 PF1 − PF2 = 2a ，则双曲线标准方程为 − 2 = 1 ，其中 ( a > 0, b > 0, b2 = c 2 − a 2 ) 2 a b
为焦距
c
F1 ( −c,0 ) , F2 ( c,0 ) ， F1 F2 = 2c
2 对 性 双曲线关于 x 轴， y 轴对 ，且关于原点中心对 3 双曲线 点坐标的范围 4 离心率 设 P ( x0 , y0 ) ，则有 x0 ≤ − a 或 x0 ≥ a ， y0 ∈ R
e=
c ，因为 c > a ，所以 e ∈ (1, +∞ ) a
= b2 ⋅
因为 S
sin F1 PF2 F PF = b 2 tan 1 2 1 + cos F1PF2 2 = 1 F PF ⋅ 2c ⋅ y0 = c ⋅ y0 ，所以 b 2 tan 1 2 = c ⋅ y0 ，由 得到的推论 2 2 y0 之间可相互求出 F1 PF2 最大 ⇔ S
PF1 F2
PF1 F2
∠F1PF2 的大小 ∠F1PF2 的最大值
二 双曲线 1 定
最大 ⇔ y0 最大 ⇔ P 为短轴顶点
平面 到两个定点 F1 , F2 距离差的绝对值为一个常数 小于 F1 F2 为椭圆的焦点， F1 F2
的点的轨迹
为双曲线， 其中 F1 , F2
为椭圆的焦距 如果只是到两个定点 F1 , F2
距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支 2 标准方程
第九章
第 67 炼 圆锥曲线的性质
解析几何
焦点在 x 轴
设双曲线
一 点 P ( x, y ) ， F1 ( −c,0 ) , F2 ( c,0 ) ， 设 距 离 差 的 绝 对 值
PF1 − PF2 = 2a ，则双曲线标准方程为
焦点在 y 轴 设双曲线
2b 2 过焦点且 长轴垂直的弦 PQ = a
说明 假 设 PQ 过 F1 ( −c,0 ) ， 且 长 轴 垂 直 ， 则 P ( − c , y0 ) , Q ( − c, − y0 ) ， 所 以
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第 67 炼 圆锥曲线的性质
解析几何
2 c 2 y0 b4 b2 2 + = 1 ⇒ y = ，可得 y = 0 0 a2 b2 a2 a