《线性代数》教材

记 B = STAS, 知 B 是对称矩阵, 是二次型 g(Y ) 的矩阵.
7.2 化二次型为标准形
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如果所作的线性替换 X = SY 是满秩的, 则 S 是可逆矩阵, 线性替换 Y = S−1X 可把 g(Y ) 还原到 f (X), 此时的二次型 f 与 g 是等价的.
定义 7.1.4 设 A, B 为 n 阶矩阵, 若存在 n 阶可逆矩阵 S 使得
津 数 因此, 一个二次型能否化成标准形, 用矩阵的语言来说, 就是对称矩阵 A 能否与一个对 学 角矩阵合同. 由于 S 是可逆矩阵, 所以 r(A) = r(STAS) = r(B). 因此, 二次型 f 的标准形 天 大 中不为零的平方项的项数等于二次型 f 的秩.
津 7.2.1 正交线性替换法
天 实二次型的矩阵为实对称矩阵. 由定理 6.3.4 知, 对于实对称矩阵 A, 必存在 n 阶正交矩
阵 Q, 使得 QTAQ = Q−1AQ = diag(λ1, λ2, . . . , λn), 其中 λ1, λ2, . . . , λn 为矩阵 A 的全部
特征值, 即一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵. 因此, 一个实二次型一定能化为标准形.
版 所 f (x1, x2, . . . , xn) =a11x21 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · · · + 2a1nx1xn 院 + a22x22 + 2a23x2x3 + · · · + 2a2nx2xn + · · · + annx2n
(7.1)
学 权 称为数域 P 上的 (n 元) 二次型. 当 P = R 时称之为实二次型. 版 令 aij = aji(i > j), 则 2aijxixj = aijxixj + ajixjxi(i > j), 于是 (7.1) 式可写成

２ 前
言（ ） 选
有人 说 ， 学 的永 恒 主题 是爱 与死 ． 文 数 学 的永 恒 主 题 是 什 么 ？ 问题 的 答 案 也 许 会 众 说 纷 纭 ， 且 随 着 科 学 的 发 展 而 不 断 变 化 ． 无 论 如 并 但 何 ， 以说 函数与 方程 是数 学 的重 要 主题 ， 少 是 中学 数学 与 大学 数学 的重 要 主题． 可 至
将 方程 组 （ 通过 一系 列初 等行变换 化成 三角形 ： Ｕ）
ｃ卜 ｂ — ＋ （ ） Ｕ ａ一 １， Ｃ ｂ＋ 口一 １， ＋ ６＋ ３ ａ一 １，
眼 ， 高实 现这 种转 化 的能 力 ， 提 这需 要在 长期 的实践 中努 力 ， 不是 仅 仅 通过 几 十 学 时 的课 堂 教 学 就 能做
到的． 是 ， 堂 教 学 至 少 应 当 让 学 生 有 一 个 良 好 的 开 端 和 正 确 的 前 进 方 向 ， 不 要 背 道 而 驰・ 但 课 而 ，
的连 续剧 ． 每个 故 事从 颇具 悬 念 的问题 开 始 ， 解决 问题 的过程 中将所 要学 习 的知识 一 步一 步“ 明” 在 发 出 来． 随着 剧情 的发 展 ， 知识 的 引入 如“ 随风潜 入 夜” 知识 的应用 如“ ， 润物 细无 声 ” 都成 为 自然 而然 的 了． ，
线性 代数 干什 么 ？“ 性 ” 线 就是 “ 次 ” 线 性代 数 的主 要 内容 就 是 研 究 多元 的一 次 方程 组 与 一 次 函 一 ． 数组 ． 次方程 组 也称 线性 方 程 组． 数 项 为 ０的 多 元 一 次 函数 Ｙ—ａ ＋ … ＋ａ ｚ 一 常 ｎ 称 为 线 性 函数 ． 个 元线 性 函数 组成 的函数组 Ｙ 一 ． ＋ … ＋ａ ． （ ≤ ｎ 称为 线性 变换 ． 学非 数学 专业 线 性代 ｚ １ ≤ ） ｚ 大

《线性代数》课程教学大纲Linear Algebra—、课程基本信息二、教学目标本课程以应用型人才的培养计划为LI标，以提高学生的数学素质、掌握线性代数的基本思想方法、基本讣算方法与培养学生的数学应用创新能力为教学LI标。

同时为学习后继课程和自我更新奠定必要的数学基础。

（一）知识LI标线性代数将使学生获得行列式、n维向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量、二次型等相关的基本知识，同时接受基本运算技能的训练，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

（二）能力LI标线性代数培养学生抽象思维能力和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，进而培养学生的创新意识和能力。

（三）素质□标随着社会的发展，线性代数的内容更为丰富、方法更为综合、应用更为广泛。

线性代数不仅是一种工具，而且是一种思维模式；它不仅是一种知识, 而且是一种素养；它不仅是一种科学，而且是一种文化。

本课程将培养学生的思维能力、数学素养及数学文化，在应用型高素质人才培养中起到不可替代的作用。

培养学生科学思维的能力。

为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

三、基本要求本课程是理工等学科各专业的一门重要基础理论课程。

要求学生掌握行列式、n 维向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量、二次型等基本知识和基本计算方法, 并能利用所学知识解决一些实际问题。

（-）了解克莱姆法则及应用；向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法; 初等矩阵的性质和矩阵等价的概念；线性方程组的基本概念；二次型秩的概念、二次型的标准型的概念及惯性定理。

（二）理解矩阵的等价、相似与合同，矩阵的初等变换和秩；向量的线性相关性, 极大无关组与向量组的秩；齐次线性方程组的基础解系，线性方程组的通解：矩阵的特征值与特征向量，矩阵的相似对角化；二次型与标准形。

（三）掌握矩阵与行列式的运算；向量组线性相关性的判定，向量组的极大无关组和秩的计算；线性方程组的解法；矩阵的特征值与特征向量的计算，矩阵的相似对角化的判定；化二次型为标准形的方法。

gilbert 线性代数面对现在社会对数学的普遍要求，线性代数这门学科可以说是最常被提及也是最有用的数学科目之一。

《Gilbert线性代数》（Linear Algebra，Gilbert）是由Gilbert基尔伯特（Gilbert Kibbett）出版的一本关于线性代数的书籍。

本书介绍了线性代数基础知识，是一本普及线性代数的经典教材。

图表、公式和例题可以帮助读者理解并掌握线性代数的基础知识。

它从矩阵、行列式、空间应用等理论入手，解释了如何用向量来表示空间上的几何结构和几何关系，以及如何使用四则运算来处理和表示空间结构和几何关系。

《Gilbert线性代数》还讨论了许多线性代数的重要概念，如矩阵和行列式，以及矩阵乘法、行列式方程，如何用矩阵来表示几何关系，以及矩阵变换如何在几何中运作等等。

概念还包括多项式表示和高阶方程式、矩阵空间和应用，如图形处理和抽样理论。

书中的许多概念几乎是必不可少的，不仅仅在线性代数的教学中，还在众多应用科学、工程和统计学中被广泛使用。

因此，读者不但可以学习线性代数，而且还可以感受其他领域的实际应用。

《Gilbert线性代数》提供了简明而详细的数学推理，让读者可以把握代数概念，更好地理解线性代数在实际应用中发挥的作用。

再加上，本书提供了许多例题，以及详细的解答，让读者可以更好地掌握该科目的基本概念和解决问题的方法。

更重要的是，本书还针对读者的不同背景和技能，提供了多个课程，让学生可以按照自己的进度和需求，自由选择到学习线性代数的课程。

总的来说，《Gilbert线性代数》是一本全面、系统的学习线性代数的读物，既可以帮助学生掌握线性代数的基础知识，又能让他们感受到线性代数在实际应用中发挥的作用，扩大视野，使他们在学习线性代数的过程中更加充实。