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高等数学下试题及参考答案华南农业大学

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华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学AⅡ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业

题号 一 二 三 四 总分 得分 评阅人

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'lnxyyy的通解 。 2. 设有向量(4,3,0)a，(1,2,2)b，则数量积ab 。 3．过点(-1,1,0)且与平面3+2-130xyz垂直的直线方程是 。

4．设2sin()zxy，则zy 。 5．交换积分次序2220(,)yydyfxydx 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设L为直线0,0,1xyx及1y所围成的正方形边界，取正向，则322()()Lxxydxxydy

等于 （ ）

A．1 B．1 C．12 D．14 2．已知aijk，则垂直于a且垂直于x轴的单位向量是 （ ）

A．()ik B．2()2jk C．2()2jk D．3()2ijk

得分 得分 3．设lnzxy（），则11xydz （ ） A．dydx B．dxdy C．dxdy D．0 4．对于级数1(1)npnn，有 （ ） A．当1p时条件收敛 B．当1p时绝对收敛 C．当01p时绝对收敛 D．当01p时发散 5．设10(1,2,)nunn，则下列级数中必定收敛的是 （ ）

A．1nnu B．1(1)nnnu C．1nnu D．21(1)nnnu

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.计算二重积分arctanDydx，其中D是22{(,)10}xyxyyx，。

2.设,fg均为连续可微函数，(,)()ufxxygxxy，求,uuxy。

得分 3．设由方程zxyze确定隐函数(,)zzxy，求全微分dz。 4.判定级数12!nnnnn的敛散性。 5.使用间接法将函数24()4fxx展开成x的幂级数，并确定展开式成立的区间。

6．求微分方程'cosyyxxx满足初始条件22xy的特解。 7．计算二重积分Dxyd，其中D是由曲线yx和2yx所围成的闭区域。 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 1．L是连接以(1,0)为起点和(1,2)为终点的一条曲线，问当a为何值时，曲线积分2322(6)(2)Lxyydxaxyxydy与积分路径无关，并计算此时的积分值。

2．要造一个容积等于定数k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，才能使它的表面积最小。

3．设()fx在||1x上有定义，在0x某邻域有一阶连续的导数且0()lim0xfxax，求证：（1）11()nfn发散；（2）-111()nnfn（-1）收敛。

得分 华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学AⅡ参考答案 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．Cxye 2．(6,-8,-11) 3．11321xyz 4．22cos()xyxy 5．102(,)xxdxfxydy 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．C 2．B 3．B 4．B 5．D 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）

1．计算二重积分arctanDydx，其中D是22{(,)10}xyxyyx，。

解：在极坐标中D为{(,)001}4rr，………………3分 arctanDDydrddrx………………5分

1400drdr………………6分 264………………7分 2.设,fg均为连续可微函数，(,)()ufxxygxxy，求,uuxy。 解：'''12((,)(,))()(1)(,)()zfxxyyfxxygxxyyfxxygxxyx…4分 ''2(,)()(,)()uxfxxygxxyxfxxygxxyy

………………7分

3.设由方程zxyze确定隐函数(,)zzxy，求全微分dz。 解：设(,,)zFxyzxyze………………1分

,,zxyzFyzFxzFxye………………4分 ,yxzzzzFFzyzzxzxFexyyFexy………………6分

()zzdzydxxdyexy………………7分

4.判定级数12!nnnnn的敛散性。 解：11112!limlim2(1)!nnnnnnnnunnunn()………………4分 11lim(1)122nnen

………………………………6分

所以级数14!nnnnn发散………………………………7分 5.使用间接法将函数24()4fxx展开成x的幂级数，并确定展开式成立的区间。 解:211(11)1xxxx

211(11)1xxxx………………1分

24111()()421122fxxxx



………………3分

242214162nnxxx………………5分 展开式成立的区间为(2,2)………………7分

6.求微分方程'cosyyxxx满足初始条件22xy的特解。 解：原方程化为'cosyyxxx 11()()(())(cos)dxdxpxdxpxdxxxyeQxedxCexxeC

………………2分

(sin)xxC………………5分

由22xy，得2C，特解为(sin2)yxx………………7分 7.计算二重积分Dxyd，其中D是由曲线yx和2yx所围成的闭区域。 解：2{(,)|01,}Dxyxxyx………………2分

210xxD

xyddxxydy………………4分

7144

0

2()3xxdx………………5分

655………………7分

四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 4．1.L是连接以(1,0)为起点和(1,2)为终点的一条曲线，问当a为何值时，曲线积分2322(6)(2)Lxyydxaxyxydy与积分路径无关，并计算此时的积分值。 解：令23226,(2)PxyyQaxyxy，则 22(4),123QPayxyxyyxy

………………2分

令QPxy，得3a，曲线积分与路径无关………………3分 选择路径1212:0(11),:1(02)LLLLyxLxy，，………………5分 223222

0(6)(2)3(2)4Lxyydxaxyxydyyydy

………………7分

2.要造一个容积等于定数k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，才能使它的表面积最小。

解：设水池的长、宽、高分别为,,xyz，水池的表面积为A，则

22,Axyxzyzxyzk………………2分 令22()Fxyxzyzxyzk………………4分 2020220xyzFyzyzFxzxzFxyxyxyzk







………………5分

解得3322,2kxykz………………7分 3.设()fx在||1x上有定义，在0x某领域有一阶连续的导数且

0()lim0xfxax，求证：（1）11()nfn发散；（2）-111()nnfn（-1）收敛。

解：因为0()lim0xfxax，所以当n充分大后1()0fn………………1分 又因为改变级数前面有限项不影响级数敛散性，所以可认为11()nfn是正项级数………………2分

（1）因为01()()limlim01xnffxnaxn………………3分

11nn发散，所以11()nfn发散………………4分

（2）因为0()lim0xfxax，所以0lim()0xfx 又0lim()(0)xfxf（连续），所以(0)0f………………5分 所以00()(0)()'(0)limlim0xxfxffxfaxx 又'()fx在0x连续，得0lim()(0)0xfxfa 由极限性质得，当n充分大时，1()fn单调递减………………5分 又由0lim()(0)xfxf得1lim()0nfn

由莱布尼兹判别法得-111()nnfn（-1）收敛。………………7分

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2007年高数下册期末考试卷答参考案2022

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华南农业大学期末考试试卷（A ）卷2006学年第2学期高等数学（工科） 考试时间：120分钟一.填空题（每题3分，共15分）1.设),34,2(),1,2,3(k b a ==→→，若→→b a //，则=k_____解答：32123432//=⇔==⇔k k b a 2.设2),(y xy y x y x f -=-+，则=),(y x f _____解答：令v y x u y x =-=+,，则2,2v u y v u x -=+=，从而2)(),(v u v y y x v u f -=-=，即2),(2y xy y x f -=3.将三重积分⎰⎰⎰------++RR xR xR yx R dzz y x dy dx 22222220222化为球面坐标的累次积分为_____解答：积分区域为以原点为球心，半径为R 的上半球面与xOy 面所围区域，在球面坐标下，区域可表示为R r ≤≤≤≤≤≤0,20,20πθπϕ，所以化为累次积分⎰⎰⎰2203sin ππϕθϕRdr rd d4.微分方程054///=+-y y y 的通解为_____解答：特征方程为0542=+-r r 解得i r ±=22,1因此通解为)sin cos (212x C x C ey x+=5.幂级数∑∞=--112)1(n nn nx的收敛半径=R _____解答：121)1()1(21)1(lim1=-+--∞→nn n nn ，因此收敛半径1=R二.选择题（每题3分，共15分）1.过点)4,3,2(-且垂直于平面043=+-+z y x 的直线方程是（ ） A. 141332+=--=--z y x B. 241332-=--=-z y x C.141332--=-=-z y x D.141332-=-=--z y x解答：直线的方向向量为)1,1,3(-，因此点向式方程为141332-+=-=-z y x选A2.设D 是区域01,10≤≤-≤≤y x ，则=⎰⎰Dxydxdy xe （ ）A.0B. eC. e1D. e11+解答：从被积函数角度考虑，将D 看作X 型区域⎰⎰⎰=-=--1111)1(edx edy xedxxxy选C3.微分方程ydy x dx y dy x 222-=是（ ）A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程解答：选A4.设L 是区域32,21:≤≤≤≤y x D 的正向边界，则=-⎰Lydx xdy2（ ）A.1B.2C.3D.4解答：由格林公式332==-⎰⎰⎰DLdxdyydx xdy选C5.下列级数中为条件收敛的级数是（ ）A. ∑∞=+-11)1(n nn n B. ∑∞=-1)1(n nnC. ∑∞=-11)1(n nnD. ∑∞=-121)1(n nn解答：选项A 一般项不趋于0，因此不收敛；选项B 一般项不趋于0，也不收敛；选项D 绝对收敛选C三.计算题（每题7分，共49分）1.判别级数∑∞=+1231n n的敛散性解答：11231lim232lim21231lim=+=+=+∞→∞→∞→nn nn n nnn ，因此该级数与等比∑∞=121n n同敛散性，而级数∑∞=121n n收敛，因此原级数收敛.2.设ze z y x =-+2，求yz x z ∂∂∂∂,解答：两边微分得dz e dz ydy dx z=-+2 整理得dy ey dx edz zz+++=1211因此zzey yz exz +=∂∂+=∂∂12,113.计算二次积分⎰⎰-+=1010222)sin(ydxy x dy I解答：积分区域为以原点为圆心半径为1的圆在第一象限的部分。

大学高数下册试题及答案

大学高数下册试题及答案

大学高数下册试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为（）。

A. 0B. -2C. 2D. 42. 计算极限lim(x→2) (x^2-4)/(x-2)的值为（）。

A. 0B. 2C. -4D. 43. 以下哪个函数是奇函数（）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^54. 计算不定积分∫x^2 dx的结果是（）。

A. x^3/3 + CB. x^3 + CC. x^2/2 + CD. x^2 + C5. 以下哪个级数是收敛的（）。

A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...C. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...D. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x)=x^3-3x的导数为______。

7. 函数f(x)=e^x的不定积分为______。

8. 函数f(x)=sinx的原函数为______。

9. 函数f(x)=ln(x)的导数为______。

10. 函数f(x)=x^2+2x+1的极值点为______。

三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算定积分∫[0,1] (2x-1) dx。

12. 求解微分方程dy/dx = 2x + 3y，初始条件y(0) = 1。

13. 计算二重积分∫∫D (x^2 + y^2) dA，其中D是由x^2 + y^2 ≤ 1定义的区域。

四、证明题（每题10分，共20分）14. 证明函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是增函数。

15. 证明级数1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n^2 + ... 收敛。

五、综合题（每题10分，共10分）16. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求函数的最小值以及取得最小值时x的值。

高等数学下册试题及答案解析

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高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。

7、方程04)4(=-y y的通解为 。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰20213cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20013cos sin dr r d d 。

07高数下(含答案)2022

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2007（2）工科高数考试试卷一、填空题（每小题3分，共计15分）(,)(0,0)22211lim______.2sin ________.3ln()________.4''6'100________.5()2[,)10()0()x y xx y xyz z y x y x yx y dxdy y y y f x x f x xx f x πππππ→+≤=∂=++=∂∂+-+=---≤<⎧=⎨≤<⎩⎰⎰、、设则、二重积分的符号为、微分方程的通解为、设为周期为的周期函数，它在上的表达式为若的傅立叶级()(0)()________.2s x s s π+=数的和函数为，则二、选择题（每小题3分，共计15分）11011110011110001(,)()(,)()(,)()(,)()(,)x x x y y dx f x y dy A dy f x y dxB dy f x y dxC dy f x y dxD dy f x y dx-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰、二次积分等于（ ）2221132222000212133202:1,0,()4sin cos ()sin ()sin cos ()sin cos x y z z I zdVA d d r drB d d r drC d d r drD d d r drππππππππθϕϕϕθϕϕθϕϕϕθϕϕϕΩΩ++≤≥=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰、设则三重积分等于（ ）1131131()(1)()(1)sin11()(1)()(1)(sin)6nnn n nnnn n n A B n n C D nπ∞∞==∞∞==--+--∑∑∑∑、下列数项级数中为条件收敛的级数是（ ）4(,)(,)()()()()()()()()LD D DDD L L P x y Q x y D Pdx Q dy PQ QP A dxdyB dxdyyx yx PQ QP C dxdy D dxdyxy xy+=∂∂∂∂--∂∂∂∂∂∂∂∂--∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 、设有界闭区域由分段光滑曲线所围成，取正向，函数，在上具有一阶连续偏导数，则（ ）12125()'()()0()''()'()0()''()'()()()''()'()0y y y y A y p x y q x B y p x y q x y C y p x y q x y f x D y p x y q x +++=++=++=++=、下列方程中，设，是它的解，可以推知也是它的解的方程是（ ）三、求解下列问题（每小题7分，共计49分）1322()().i j k i j k αβαβααβ=--=+-⋅-⨯、已知向量和，求2222(,)42008.z z x y x y z z dz =++-=、设函数由方程所确定，求2233352(,1,)24z x y =----、已知小山的高度为，那么在处登山，最陡的方向是多少？2114.yxdx edy -⎰⎰、计算二次积分22225(0)(0).x y z a a z h h a zdS ∑∑++=>=<<⎰⎰、设为球面被平面截得的顶部，计算211(2)6(1)21n nn x n +∞=--+∑、求级数的收敛域。