新修改的线性代数习题集

线性代数习题集带答案第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是（）.(A ） 24315 (B ） 14325 （C) 41523 （D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（ ). （A ）k （B)k n - （C)k n -2! （D ）k n n --2)1(3。

n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有（ )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n （D) )!1(-n4．=0001001001001000（ ).(A ） 0 （B)1- （C) 1 (D ） 25. =0001100000100100（）。

（A ） 0 （B)1- （C) 1 (D ） 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是（）。

(A ） 0 （B)1- （C ） 1 (D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （）. （A ） 4 (B) 4- （C) 2 （D ） 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）.(A ）ka （B ）ka - (C)a k 2 （D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-，则=x ( ）。

(A) 0 (B ）3- (C) 3 （D ） 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ）。

(A)1- (B ）2- （C ）3- （D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为（）.(A)1- （B ）2- （C ）3- （D ）012。

线性代数习题集第五章1．设三维线性空间V内的⼀个线性变换σ在基ε1，ε2，ε3下的矩阵为A=a b ca1b1c1a2b2c2，则σ在基ε1,ε2,ε3下的矩阵为（）（1）a2b2c2a1b1c1a b c（2）c2b2a2c1b1a1c b a（3）a b ca1b1c1a2b2c2（4）a b ca1b1c1a2b2c22．设a,b,c是线性空间R3中的任意向量，下列对应法则哪⼀个是R3中的线性变换（）（1）σa,b,c=(a2,0,0)（2）τa,b,c=a,b（3）υa,b,c=0,0,a b（3）φa,b,c=0,b,03.线性空间R3的两个线性变换σ,τ为σx1,x2,x3=x1?x2,x2,x3?x1;τx1,x2,x3=x1,0,0，并且α=1,0,1∈R3则σ+τα为（）（1）2,0,0（2）2,0,1（3）1,0,0（4）1,0,14.R2的两个线性变换σ,τ为σx1,x2=x1,x2300?1；τx1,x2=x1,?x2，则σ?τx1,x2为（）（1）2x1,0（2）3x1,0（3）x1+x2，0（4）x1+x2，x25.R3的两个线性变换σ,τ为σx1,x2,x3=0,x1,x2;τx1,x2,x3=x1,0,x2;则στ?L x1,x2,x3为（）（1）1,1,x22（2）?x1,x1?x2,?x3（3） ?1，x1?x2,?1（4）?x1,?x2,x1?x36.已知R2的线性变换σx1,x2=x1+x2,2x1+x2，则σ2x1,x2为（）（1）（x1+x2）2,（2x1+x2）2（2）x12+x22，4x12+x22（3）x1+x2，2x1+x2（4）3x1+2x2，4x1+3x2 7.“有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（）条件。

（1）充分（2）必要（3）充分必要（4）既不充分也不必要8.在线性空间R3中，线性变换σx,y,z=z,x,y,则σ在基ε1=1,0,0,ε2= 0,1,0，ε3=0,0,1下的矩阵为（1）010001100（2）001010100（3） 100010001（4） 001100010 9.矩阵 2202的特征值为（）（1）λ1=λ2=2 （2）λ1=λ2=4 （3）λ1=2,λ2=4 （4）λ1=0,λ2=110.令 a b c d,则f A (x)的表达式为（）（1）x 2?T r A x + A （2）x 2+T r A x + A（3）x 2?T r A x ? A （4）x 2?T r A x11.对f A x = x ?2 2(x +3)时矩阵A 的特征值为（）（1）λ1=2 （2）λ1=?3,λ2=2（⼆重根）（3）λ1=3 （4）λ1=3,λ2=-212.以线性空间V 的任何⾮零向量作为特征值的线性变换只能是（）（1）变换（2）位似（数乘）变换（3）单位变换（4）零变换13.n 维线性空间V 的线性变换σ可逆的充分必要条件是（）（1）σ的特征多项式的常数项不等于零（2）σ的特征多项式不等于零（3）σ有n 个互异的特征值（4）σ有n 个线性⽆关的特征向量14.设λ是矩阵A 的特征值，且A 2=A ，则λ只能是（）（1）0 （2）1 （3）正实数（4）0或115.实对称矩阵的特征值为（）（1）都是实数（2）都不是实数（3）都是⾮负的实数（4）有实数也有⾮实数16.设线性空间V 的线性变换σ在基ε1,ε2,…,ε3下的矩阵是A ，在基ξ1,ξ2,…,ξn 下的矩阵是B ，并且从ε1,ε2,…,εn 到基ξ1,ξ2,…,ξn 的过度矩阵T ，则A,B,T 之间的关系是（）（1）T=AB （2）TB=AT （3）TA=BT （4）B=T ’AT17.设数域K 上的n 维线性空间V 的线性变换σ关于V 的⼀个基的矩阵是A=（a ij ），σ的特征多项式f(x)=x n +a 1x n?1+?+a n? 1x +a n ,则a n 等于（1） A （2）（?1）nA （3） a ij n i =1 （4） a ij n i=1 18.设B=T ?1AT ，λ是A ，B 的⼀个特征值，ξ是A 的关于λ的特征向量，则B 的关于λ的特征向量是（）（1）ξ（2）T ξ（3）T ?1ξ（4）T ’ ξ19.矩阵A=? a 11?a 1n a n 1?a nn的迹T r A 为（）（1） a i 1n i=1 （2）（?1）n a 1j （3）? a i 1n i=1 （4）（?1）na 1i n i=1 20.设σ是⼀线性变换，若Ker （σ）={0}，则下⾯说法正确的是（）（1）σ⽆特征值零（2）σ有特征值零（3）σ有特征值1 （4）σ有特征值-121.设λ=2是⾮奇异矩阵A的特征值，则矩阵（1/3A2）?1的特征值等于（）（1）4/3 （2）3/4 （3）1/2 （4）1/422.设A为N阶可逆矩阵，λ是A的⼀个特征值，则A?的特征值等于（）（1）λ?1A n（2）λA n（3）λA（4）λ?1A23.n阶⽅阵A具有n个不同的特征值是A与对⾓矩阵相似的（）（1）充分必要条件（2）必要⾮充分条件（3）充分⾮必要条件（4）⾮充分⾮必要条件24.⼆维平⾯上的旋转变换σ，（）⾮平凡的不变⼦空间（1）有（2）有⼀个（3）有⽆限多个（4）没有25.对于数域K上的线性空间V的数乘变换来说，（）不变⼦空间（1）每个⼦空间都是（2）有⼀个（3）有两个（4）不存在26.线性变换σ的多项式f(σ)的像与核都是σ的不变⼦空间，因为（）（1）f(σ)仍是⼀个线性变换（2）σ是⼀个线性变换（3）σ的不变⼦空间也是f(σ)的（4）f(σ)与σ可交换II．填空题1.设σ是线性空间V的线性变换，若满⾜；则称σ是可逆变换，并且σ的逆变换是。

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ).n!(A) k (B) n k (C) k2n(n 1) (D) k23. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项.(A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)!0 0 0 14．11( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 20 0 1 05.011( ).1 0 0 0(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 22x x 1 16．在函数1 x 1 2f (x) 中3 2 x 33x 项的系数是( ).0 0 0 1(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 217. 若a a a11 12 131D a a a ，则21 22 232a a a31 32 332aa13a33a11a312a122a3211D 2a a a 2a ( ).1 21 23 21 222a31(A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2a a11 ，则128．若 aa a21 22 a12a11ka22ka21( ).2 (D) k2a (A)ka (B) ka (C) k a9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ).(A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 28 7 4 310. 若6 2 3 1D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).1 1 1 14 3 7 5(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 03 04 011. 若1 1 1 1D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).0 1 0 05 3 2 2(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0x 1 x2kx312. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 kx2x30 有非零解.kx1 x2x3( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0二、填空题21.2n阶排列24 (2n)13 (2n 1) 的逆序数是.2．在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26 所带的符号是.3．四阶行列式中包含a22a43 且带正号的项是.2 n4．若一个n 阶行列式中至少有n 1个元素等于0 , 则这个行列式的值等于.1 1 1 05.行列式11111.0 0 1 00 1 0 00 0 2 06．行列式.0 0 0 n 1n 0 0 0a 11 a1(n1)a1n7．行列式a21a2(n1) 0 .an10 0a11a12a13a11a133a123a128．如果D a a a M21 22 23 ，则D a a 3a 3a .1 21 23 22 22a 31 a32a33a31a333a323a329．已知某5 阶行列式的值为5，将其第一行与第 5 行交换并转置，再用 2 乘所有元素，则所得的新行列式的值为.31 1 1 x 110．行列式11 x11x 1111. x 1 1 1 11 1 11 1 111．n 阶行列式.1 1 112．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.1 2 3 413．设行列式5 6 7 8D ，A4 j ( j 1,2, 3, 4) 为 D 中第四行元的代数余子式，4 3 2 18 7 6 5则4A41 3A42 2A43 A44 .a b c a14．已知c b a bD ， D 中第四列元的代数余子式的和为.b ac ca cb d1 2 3 43 34 4D ，A4 j 为a4 j ( j 1,2, 3, 4) 的代数余子式，则15．设行列式 61 5 6 71 12 2A41 A ，A43 A44 .4241 3 5 2n 11 2 0 016．已知行列式D 1 0 3 0 ，D 中第一行元的代数余子式的和为1 0 0 n.kx1 2x2x317．齐次线性方程组2x1 kx20 仅有零解的充要条件是.x 1x2x3x12x2x318．若齐次线性方程组2x2 5x30有非零解，则k = .3x1 2x2kx3三、计算题b a 2a 3a c dab2b3bcd ac2c3cbd ad2d3dbc;2．xyxyxyxyxyxy1.；x a1 a2an210 1 x 1 a1 x a2an211 0 1 x 3．解方程0x 1 1 0 ；4．a1a2x an21；1 x 1 0 a1 a2a x31a 1 a2a3an115a1 1 11 a 11 15. 1 1 a 12( a j 1,j 0,1, , n)；1 1 1 an1 1 1 13 1 b 1 16. 1 1 2 b 11 1 1 (n 1) b1 1 1 1 x a1a2anb 1 a1a1a1a1x a2an7. b1 b2a2a2；8．a1a2x an;b 1 b2b3ana1a2a3x2 1 0 0 01 2 x1 x x1 2x x1 n1 2 1 0 09. x2x11 22xx x2 n ; 10.0 1 2 0 0xnx1xnx21 2 xn0 0 0 2 10 0 0 1 21 a a 0 0 01 1 a a 0 011．D 0 1 1 a a 0 .0 0 1 1 a a0 0 0 1 1 a6四、证明题21 1a a 12a a21 1b b 12b b 1．设abcd 1，证明：021 1c c 12c c21 1d d 12d d .a 1b x1a x1b1c1a1b1c12． a2 bx2ax2b2c2(1 2 x ) a2b2c2.a 3b x3a x3b3c3a3b3c31 1 1 1a b c d3． 2 (b a)( c a)( d a)(c b)( d b)(d c)( a b c d)2 2 2a b c d .4 a4b4c d41 1 1a 1 a2an4．2a12a22nanai(a aj i) .i 1 1 i j nna12n2a2 nan2na1na2nna1 1 15．设a, b, c两两不等，证明 a b c 0的充要条件是 a b c 0.3 b3 c3 a7参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B二．填空题1. n ;2.“”;3. a14 a22 a31a43 ;4. 0 ;5. 0 ;6. ( 1) !n 1 n ;n( n1)7.( 1) 2 a1n a2(n1) a n1 ; 8. 3M ; 9. 160; 10. 4 x ; 11.( n 1n) ; 12. 2 ;n113. 0 ; 14.0 ;15. 12, 9; 16.n! (1 ) ; 17. k 2,3 ;18. k7k k1三．计算题3 y3 1．(a b c d)(b a)(c a)( d a)(c b)( d b)( d c) ； 2. 2(x ) ；n 13. x 2,0,1;4. (xk 1 a k )n n15. (a 1) (1 ) ;6. (2 b)(1 b) ((n 2) b) ;k a1k 0 k 0 k7.nn b a( 1) ( ) ; 8.k kn n( x a k ) (x a ) ;k k 1 k 1 k 1 n9. 1x ; 10. n 1;kk 12 a411. (1 a)(1 a ) .四. 证明题(略)8第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( ) 。

线性代数习题集线性代数习题集第⼀套⼀. 填空题(每⼩题3分,满分30分)1. 1. 设21321,,,,ββααα都是4维列向量,且4阶⾏列式,,3221121n m ==αβαααβαα则4阶⾏列式()=+21123ββααα_______________。

2. 2. 已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表⽰则21,αα线性__________3. 3. 设A 是n m ?阶矩阵 ,B 是s n ?阶矩阵,,()r A R =,且0=AB ,则()B R 的取值范围是________________4.设A 是4?3矩阵,且A 的秩()2=A R 且-=301020201B则()=AB R __________-5.设0是矩阵??=a A 01020101的特征值,则=a _____________.6.设2123222213212),,(x x x k kx x x x x f +++=是正定⼆次型, 则t 的取值区间为7.矩阵4120401A对应的⼆次型是_______________ 8. 设??---=44644325x A 相似于对⾓阵321,则=x9.设A 为3阶⽅阵,*A 为伴随矩阵,81=A ,则*1831AA -??-=___________10.设---=14523121x A是不可逆矩阵,则=x ____________⼆ (8分)计算⾏列式⼀.yy x x -+-+11111111三.(8分) 三阶⽅阵B A ,满⾜关系式:B A E AB +=+2,且??=101020101A ,求B .四.(10分)设()()()()()6,5,1,2,0,2,1,1,14,7,0,3,2,1,3,0,4,2,1,154321=-===-=ααααα求向量组的秩及其⼀个极⼤⽆关组. 五. (12分)问常数k 取何值时, ⽅程组-=+-=++-=++4243212321321x x xkx kx x kx x x⽆解,有唯⼀解,或有⽆穷多解,并在有⽆穷多解时写出其⼀般解. 六. (16分)求正交变换PY X =,将⼆次型()32312123222132184444,,x x x x x x x x x x x x f -+-++=化为标准形,并写出其标准形.七. (8分)设B A ,都是n 阶矩阵,且A 可逆,证明AB 与BA 有相同的特征值.⼋. (8分)设向量组:A m ααα,,,21 线性⽆关,向量1β可由向量组A 线性表⽰,⽽向量2β不能由向量组A 线性表⽰.证明:1+m 个向量2121,,,,ββααα+l m 必线性⽆关.第⼆套⼀. 填空题 (每⼩题3分，满分30分)1.34065007802001= 。