2018年秋新课堂高中数学人教A版必修五学案：第2章 2.1 第 1 课时 数列的概念及简单表示法 Word版含答案

2．1数列的概念和简单表示法第1课时数列的概念与简单表示考纲定位重难突破1.了解数列的概念和顺序性，学会用列表法、图象法、通项公式法来表示数列．2．理解数列是一种特殊的函数．3．掌握数列的通项公式，会求数列的通项公式.重点：(1)数列的概念．(2)数列通项公式的应用．难点：数列的通项公式的求法.01 课前自主梳理02 课堂合作探究03 课后巩固提升课时作业[自主梳理] 1．数列及其相关概念和简单表示法2．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数的数列无穷数列项数的数列按项的变化趋势递增数列从第项起，每一项都它的前一项的数列递减数列从第项起，每一项都它的前一项的数列常数列_________的数列摆动数列从第项起，有些项它的前一项，有些项_____它的前一项的数列有限无限大于22 小于各项相等2 大于小于3.数列的通项公式(1)如果数列{a n }的第n 项与 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的 ．(2)数列除了可以用通项公式来表示外，还可以通过 或 来表示．序号n 通项公式 列表 图象[双基自测]1．数列1，12，14，…，12n，…是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析：数列是特殊函数，由函数的单调性易知为递减数列．答案：B2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]，则该数列的前4项依次是( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0解析：n＝1时，a1＝12[1＋(－1)1＋1]＝1，n＝2时，a2＝12[1＋(－1)2＋1]＝0，n＝3时，a3＝12[1＋(－1)3＋1]＝1，n＝4时，a4＝12[1＋(－1)4＋1]＝0.答案：A3．下列说法正确的是( )A ．数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项是1＋1k D ．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n }解析：{1,2,3,5,7}是一个集合，所以A 错；由于数列的项是有顺序的，所以B 错；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项是k ＋1k ＝1＋1k ，C 正确；而D 中数列应表示为{2(n －1)}．答案：C4．若数列{a n }的通项满足a n n ＝n －2，那么15是这个数列的第________项．解析：由a n n ＝n －2可知，a n ＝n 2－2n ，令n 2－2n ＝15，得n ＝5.答案：5探究一数列的概念及分类[典例1]已知下列数列：(1)0,0,0,0,0,0；(2)0，－1,2，－3,4，－5，…；(3)0，12，23，…，n－1n，…；(4)1,0.2,0.22,0.23，…；(5)0，－1,0，…，cos n2π，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是__________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．[解析] (1)是常数列且是有穷数列；(2)是无穷摆动数列；(3)是无穷递增数列⎝⎛⎭⎪⎫因为n －1n ＝1－1n ； (4)是无穷递减数列；(5)是无穷摆动数列．[答案] (1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1)(2)(5)判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足a n <a n ＋1，则是递增数列；若满足a n >a n ＋1，则是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1，则是常数列；若a n 与a n ＋1的大小不确定时，则是摆动数列．1．下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．(1){0,1,2,3,4}是有穷数列；(2)所有自然数能构成数列；(3)－3，－1,1，x,5,7，y,11是一个项数为8的数列；(4)数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的通项公式是a n＝2n＋1.解析：(1)错误．{0,1,2,3,4}是集合，不是数列．(2)正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列．(3)错误．当x，y代表数时为项数为8的数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成．(4)错误．数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的第n项为2n－1，故通项公式为a n＝2n－1.探究二根据数列的前几项写出通项公式[典例2]根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式．(1)－3,0,3,6,9，…；(2)3,5,9,17,33，…；(3)2,0,2,0,2,0，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，….[解析](1)a1＝－3＋0×3，a2＝－3＋1×3，a3＝－3＋2×3，a4＝－3＋3×3，….∴a n＝－3＋(n－1)×3＝3n－6(n∈N*)．(2)a1＝2＋1，a2＝4＋1＝22＋1，a3＝8＋1＝23＋1，a4＝16＋1＝24＋1，…，∴a n＝2n＋1(n∈N*)．(3)a 1＝1＋1，a 2＝1－1，a 3＝1＋1，a 4＝1－1，…，∴a n ＝1＋(－1)n －1(n ∈N *)．(4)a 1＝－2－32，a 2＝22－322，a 3＝－23－323，a 4＝24－324，…，∴a n ＝(－1)n 2n－32n (n ∈N *)．根据数列的前几项求通项公式的思路(1)统一项的结构，如都化成分数，根式等．(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式．(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n处理符号．(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．2．根据下面数列的前几项，写出它的一个通项公式：(1)1，23，45，87，…； (2)2，－45，12，－411，27，－417，…； (3)1,2,2,4,3,8,4,16,5，…；(4)1,11,111,1 111，….解析：(1)原数列可以改写成201，213，225，237，…，分子是2的指数幂，其中指数为序号减去1，分母中的被开方数是连续的奇数，所以这个数列的一个通项公式为a n＝2n－12n－1.(2)该数列从首项起，各项的符号正、负相间，故通项公式中含有因式(－1)n＋1；另外，使各项分子为4，这样原数列改写为42，－45，48，－411，414，－417，…，根据序号与对应项的关系，分母的通项公式为3n－1，综合可得这个数列的一个通项公式为a n＝(－1)n＋143n－1.(3)注意到奇数项为1,2,3,4,5，…，偶数项为2,4,8,16，….因而得这个数列的一个通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为10n －1.所以这个数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1)．探究三数列通项公式的应用[典例3]已知数列2，5，22，11，….(1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项；(2)问42是否是该数列的项？10呢？[解析](1)原数列可写为2，5，8，11，…，不难发现，“”下面的数值后一项比前一项大3，故通项公式可写为a n＝2＋(n－1)×3＝3n－1，即a n＝3n－1.所以a20＝3×20－1＝59.(2)令42＝3n－1，即32＝3n－1，解得n＝11，∴42是数列的第11项．再令10＝3n－1，即3n－1＝100，解得n＝1013∉N*，∴10不是该数列的项．1．数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．2．判断某数值是否为该数列的项，先假设它是数列中的项，然后列出方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列中的项．3．已知数列的通项公式为a n＝4n2＋3n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)试问110和1627是不是它的项，如果是，是第几项？解析：(1)由题意易得：a 4＝442＋3×4＝17， a 6＝462＋3×6＝227.(2)令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0， 解得n ＝5或n ＝－8，由n ∈N *，故n ＝－8舍去． 所以110是数列的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0， 解得n ＝32或n ＝－92， 由n ∈N *，所以1627不是此数列中的项．忽视数列与函数的关系致误[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 (x <2).a n ＝f (n )，若数列{a n }是单调递减数列，则实数a 的取值范围是() A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2[解析] 由题意，知f (x )＝(a －2)x 在[2，＋∞)上是减函数，且a 1>a 2，所以⎩⎨⎧a －2<0，f (1)>f (2)， 即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1>2(a －2). 解得a <74，故选C. [答案] C[误区] 本题易受函数单调性的影响形成思维定式，只考虑两段与分界点，得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1≥2(a －2)， 即a ≤138，错选B. [防范措施] 因为数列可以看作是定义域为正整数集或其子集的一类特殊的函数，所以数列具备一般函数应具备的性质．用函数的观点研究数列时不要忽视数列的特殊性，特别注意数列中的项数应为正整数的条件．[随堂训练]1．将正整数的前5个数排列如下：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2. 那么可以称为数列的有()A．①B．①②C．①②③D．①②③④解析：数列是按“一定顺序”排列着的一列数，因此选D.注意此题易错选B.答案：D2．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的( ) A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项解析：∵a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去)． 答案：C3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0 解析：把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋12中，依次得到0,1,0,1.答案：B4．已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2－8n＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．解析：令a n＝n2－8n＋12<0，解得2<n<6，又因为n∈N*，所以n＝3,4,5，一共有3项．答案：3课时作业。

数列通项的求法教学目标：● 知识与技能让学生从已有的知识出发,共同探究通过正等差与等比数列的通项，获取的性质，引导学生通过观察、猜想、证明，用特殊到一般的方法，体验数学发现和创造的历程。

● 情感、态度价值观在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境,培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神。

教学重点：性质的推导与应用。

教学难点：性质的发现、推导、证明。

教学过程：1.探讨等差与等比数列的通项公式2.直观获取性质3. .运用性质：⑴（公式法）①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例已知数列 ,3219,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________（答：11212n n a n +=++） ⑵已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。

例:①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a （答：{3,12,2n n n a n ==≥）；②数列{}n a 满足12211125222n n a a a n +++=+，求n a （答：{114,12,2n n n a n +==≥） ⑶已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

例：数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______（答：6116） ⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥。

例：已知数列{}n a 满足11a =，nn a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =________（答：1n a =） ⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a aa a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅(2)n ≥。

就它叫的做前等一差项数的列差.等于同一个常数。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d
表示.
aa nn 1d,(n N ,n2)或 an 1and(n1 )
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思考：如果 a 与b中间插入一个数A，使a ,A,b
成等差数列，那么A应该满足什么条件？
• •
由定义得：AabA A 反之，若 A a b 则
ana1(n1)d
a14d 10 解得： a 1 2
a1 11d 31
d 3
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
说明：由此可以看到：已知等差数列的两项就 可以确定这个数列.
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从函数角度看等差数列通项公式， an a1(n1)d a dn d,nN.因而等差数列的通项公式可以
1
看作是关于n的一次式。所以，其也可以表示为：
4
● ● ● ● ●●● ● ● ●
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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等差数列的通项公式为：andn(a1d)可整理成
a an
pnq
其 中 ， p d ,q d ,n N 1
直线的一般形式：y p x q ,p R ,p 0 ,q R .
总结：
1 .等 差 数 列 a np n q 的 图 像 是 落 在 一 次 型 函 数
（ ）√ （ ）√
（4）1，1，2，3，4，5是等差数列 （5）数列6，4，2，0是公差为2的等差数列
（ ）× （ ）×
× （6）数列a,a-1,a-2,a-3是公差为a-1的等差数列 （ ）
（7）若a-b=b-c，则a,b,c成等差数列
（ ）√
（8）若an-an-1=n(n∈N*)，则数列成等差数列

[学习目标] 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.知识点一 数列的函数性质1.数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2.在数列{a n }中，若a n ＋1>a n ，则{a n }是递增数列；若a n ＋1<a n ，则{a n }为递减数列；若a n ＋1＝a n ，则{a n }为常数列.思考1 从定义上看，数列是特殊的函数，因此，表示数列除可以用通项公式外，还可以有哪些方法？答案 还可以用列表法，图象法.思考2 数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？答案 联系：若函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列f (n )也单调.反之不正确，例如f (x )＝(x －54)2，数列f (n )单调递增，但函数f (x )在(1，＋∞)上不是单调递增. 区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f (x )的定义域为D ，设D ⊇I ，对任意x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，若f (x 1)>f (x 2)，则f (x )在I 上单调递减，若f (x 1)<f (x 2)，则f (x )在I 上单调递增，定义中的x 1、x 2不能用有限个数值来代替.数列单调性的定义：只需比较相邻的a n 与a n ＋1的大小来确定单调性.知识点二 数列的表示方法1.数列的递推公式：如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.2.数列的表示方法：数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法. 思考1 已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则数列的第5项a 5＝，由此归纳出{a n }的一个通项公式为，可以求得a 8＝.答案 63 a n ＝2n ＋1－1 511解析 ∵a 1＝3，∴a 2＝2a 1＋1＝7，a 3＝2a 2＋1＝15，a 4＝2a 3＋1＝31，a 5＝2a 4＋1＝63，∴a 5＝63.可以看出a n ＝2n ＋1－1，∴a 8＝29－1＝511.思考2 由思考1，体会一下数列的通项公式与递推公式有什么区别？答案 通项公式直接反映了a n 与n 之间的关系，即知道n 值，即可代入通项公式求得该项的值a n ；递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，要求a n ，须将前面的各项依次求出才行.题型一 数列的函数特征例1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋9(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单调性.解 当n ＝1,2,3,4,5时，a n 依次为110，213，16，425，534，a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ＋1)2＋9－nn 2＋9＝－n 2－n ＋9[(n ＋1)2＋9][n 2＋9].∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－(x ＋12)2＋374在[1，＋∞)上单调递减，又f (1)＝7>0，f (2)＝3>0，f (3)<0，∴当n ＝1,2时，a n ＋1>a n ，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＋1<a n ， 即a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>….∴数列{a n }的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.反思与感悟 (1)判断数列的增减性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法、作商法，作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论.作商法适用于各项都是同号的数列，且应比较比值与1的大小关系.(2)求数列{a n }的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1来确定，求最大项可由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1来确定.若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项.跟踪训练1 求例题中的数列{a n }的最大项. 解 ∵a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>…， ∴数列{a n }的最大项为a 3＝16.题型二 递推公式的应用例2 (1)已知数列{a n }满足a n a n －1＝a n －1＋(－1)n 且a 1＝1，则a 5a 3＝.(2)已知数列{a n }分别满足a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2.通过它的前5项，归纳得出数列的一个通项公式是.答案 (1)43 (2)a n ＝2n ＋1(n ∈N *)解析 (1)由a 1＝1知a 2a 1＝a 1＋(－1)2，得a 2＝2； 由a 3a 2＝a 2＋(－1)3，得a 3＝12；同理得a 4＝3，a 5＝23，故a 5a 3＝2312＝43.(2)a 1＝1＝22，a 2＝2×11＋2＝23，a 3＝2×2323＋2＝12＝24，a 4＝2×1212＋2＝25，a 5＝2×2525＋2＝13＝26.故数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *).反思与感悟 (1)递推公式是表示数列的一种方法，其作用与数列的通项公式类似.可以根据递推公式依次求得数列中的项.(2)利用递推公式求得数列的前几项，可以帮助我们发现数列的通项公式. 跟踪训练2 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋2a n a n ＋1－a n ＝0. (1)写出数列的前5项；(2)由(1)写出数列{a n }的一个通项公式.解 (1)由已知可得a 1＝1＝11，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19.(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1,3,5,7,9，…，所以它的一个通项公式为a n ＝12n －1.题型三 由递推公式求通项公式例3 试写出下列数列的前3项，猜想a n 并加以证明. (1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n ).(2)已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝2a n (n ∈N *).解 (1)由题a 1＝2，a 2＝a 1＋ln2＝2＋ln2，a 3＝a 2＋ln(32)＝2＋ln3，猜想a n ＝2＋ln n (n ≥2).证明如下：∵a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ，∴a n －a n －1＝ln nn －1(n ≥2)，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，……， a 2－a 1＝ln 21.∴当n ≥2时，a n －a 1＝ln(n n －1.n －1n －2 (2)1)＝ln n ，∴a n ＝2＋ln n (n ≥2).当n ＝1时，a 1＝2＋ln1＝2，符合上式， ∴a n ＝2＋ln n (n ∈N *).(2)a 1＝1＝20，a 2＝2a 1＝21，a 3＝2a 2＝22， 猜想a n ＝2n －1(n ∈N *).证明如下：由题意得，a n ＝2a n －1(n ≥2)， ∵a 1＝1≠0，∴a n ≠0， ∴a n a n －1＝2，a n －1a n －2＝2，…，a 2a 1＝2，∴a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1＝2n －1(n ≥2)，∴a n a 1＝2n －1，∴a n ＝2n －1(n ≥2). 当n ＝1时，a 1＝21－1＝20＝1，符合上式，∴a n ＝2n －1(n ∈N *).反思与感悟 (1)由递推公式写出通项公式的步骤 ①先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).②根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式. ③写出一个通项公式并证明. (2)用“累加法”求数列的通项公式当a n －a n －1＝f (n )(n ≥2)满足一定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1累加来求通项a n .(3)用累乘法求数列的通项公式当a n a n －1＝g (n )(n ≥2)满足一定条件时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1累乘来求通项a n .跟踪训练3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }的通项公式是.答案 a n ＝12n －1解析 ∵a n ＋1a n ＝12，∴当n ≥2时，a n a n －1＝12，∴a n －1a n －2＝12，a n －2a n －3＝12·…·a 2a 1＝12，∴a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1＝(12)n －1，∴a n ＝a 1(12)n －1＝(12)n －1(n ≥2).当n ＝1时，a 1＝(12)1－1＝(12)0＝1，符合上式，∴a n ＝(12)n －1.忽略n 的正整数范围致误例4 求数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项. 错解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818， ∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为10818.正解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818. 由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108， ∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为a 7＝108.1.下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列. 其中真命题为.(填序号) 答案 ③解析 只有③正确.①中，如已知a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，a 1＝1，无法写出除首项外的其他项.②中a n ＝n ＋1n ＋2，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列.2.数列2,4,6,8,10，…的递推公式可以是. ①a n ＝a n －1＋2(n ≥2)； ②a n ＝2a n －1(n ≥2)；③a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)； ④a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2). 答案 ③解析 ①②中没有说明某一项，无法递推，④中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意. 3.数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2017＝. 答案 1解析 ∵x 1＝1，∴x 2＝－12，∴x 3＝1，∴数列{x n }的周期为2，∴x 2017＝x 1＝1.4.数列{a n }中，a n ＝n －2011n －2012，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是.答案 a 45，a 44解析 a n ＝n －2011n －2012＝1＋2012－2011n －2012.∴当n ∈[1,44]且n ∈N *时，{a n }单调递减， 当n ∈[45，＋∞)且n ∈N *时，{a n }单调递减， 结合函数f (x )＝2012－2011x －2012的图象，可知(a n )max ＝a 45，(a n )min ＝a 44.5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝2(n ≥2)，则数列的通项a n ＝. 答案 2n －1解析 当n ≥2时，∵a n －a n －1＝2，∴(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＝(1)222n -++⋅⋅⋅+个＝2(n －1)，∴a n ＝2n －1.当n ＝1时，a n ＝1适合上式， ∴a n ＝2n －1(n ∈N *).6.已知数列{a n }，对于任意的p ，q ∈N *，都有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝.答案 4解析 由已知得a 1＋a 1＝a 1＋1＝a 2，∴a 2＝29，同理a 4＝49，a 8＝89，∴a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝89＋19＝1，∴a 36＝2a 18＝4a 9＝4.1.{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式.而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系.2.数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法； ④递推公式法.3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .。