同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第5版)【教材精讲+考研真题解析】讲义与视频课程-矩阵及其运算
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第2章矩阵及其运算[视频讲解]
2.1本章要点详解
本章要点
■矩阵的定义
■矩阵与线性变换
■矩阵的运算
■矩阵的转置与逆矩阵
■方阵的行列式
■矩阵分块法重难点导学
一、矩阵
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1．定义
由m×n个数aij（i＝1，2，…，m；j＝1，2,…，n）排成的m行n列的数表
称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．记为
2．分类
（1）实矩阵矩阵元素都为实数的矩阵．
（2）复矩阵矩阵元素为复数的矩阵．
（3）行矩阵/列矩阵又称行向量/列向量，只有一行（列）的矩阵．
（4）n阶方阵行数与列数都等于n的矩阵称为n阶方阵．
（5）零矩阵元素都是零的矩阵．
（6）对角矩阵对角线以外的元素都是0的方阵．
（7）单位矩阵对角线上元素都为1的对角矩阵．
3．同型矩阵与矩阵相等
（1）两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵．
（2）两个矩阵()ijAa与()ijBb为同型矩阵，并且对应元素相等，即
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(1,2,,;1,2,,)
ijijabimjn
则称矩阵A与矩阵B相等，记作A＝B．
4．矩阵与线性变换
n个变量12,,,
nxxx与m个变量12,,,
myyy之间的关系式
……
……
……
……11111221
22112222
1122nn
nn
mmmmnnyaxaxax
yaxaxax
yaxaxax
表示一个从变量12,,,
nxxx到变量12,,,
myyy线性变换，其中ija为常数．
提取ija得到一个矩阵
11121
21222
11n
n
mmmnaaa
aaa
A
aaa
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系．
二、矩阵的运算
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1．矩阵的加法
（1）定义
设有两个m×n矩阵A＝（aij）和B＝（bij），则矩阵A与B的和记作A＋B，规定为
注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算．
（2）运算规律
设A，B，C都是m×n矩阵，则
①A＋B＝B＋A；
②（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）；
③设矩阵A＝（aij），记：－A＝（－aij），－A称为矩阵A的负矩阵，显然有A＋（－A）
＝0，由此规定矩阵的减法为：A－B＝A＋（－B）．
2．数与矩阵相乘
（1）定义
数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为
（2）运算规律
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设A、B为m×n矩阵，λ、μ为数，则
①（λμ）A＝λ（μA）；
②（λ＋μ）A＝λA＋μA；
③λ（A＋B）＝λA＋λB．
3．矩阵与矩阵相乘
（1）定义
设A＝（aij）是一个m×s矩阵，B＝（bij）是一个s×n矩阵，则规定矩阵A与矩阵B的
乘积是一个m×n矩阵C＝（cij），其中
并把此乘积记为C＝AB．
（2）运算规律
①（AB）C＝A（BC）；
②（AB）＝（A）B＝A（B）（其中λ为数）；
③A（B＋C）＝AB＋AC，（B＋C）A＝BA＋CA；
④EA＝AE＝A；
⑤AkAl＝Ak＋l，(Ak)l=Akl．
（3）注意
①只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能
相乘．
②矩阵的乘法一般不满足交换律，即在一般情形下，AB≠BA．
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③对于两个n阶方阵A，B，若AB＝BA，则称方阵A与B是可交换的．
④若有两个矩阵A，B，满足AB＝0,不能得出A＝0或B＝0的结论；若A≠0，而A（X
－Y）＝0也不能得出X＝Y的结论．
三、矩阵的转置
1．定义
把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为A的转置矩阵，记作AT．
2．转置运算
（1）（AT）T＝A；
（2）（A＋B）T＝AT＋BT；
（3）（λA）T＝λAT；
（4）（AB）T＝BTAT．
3．对称矩阵
设A为n阶方阵，如果满足AT＝A，即aij＝aji（i，j＝1,2…,n）,则称A为对称矩阵．
