伽利略与材料力学
错误的公式，正确的结论 转载自老亮的《材料力学史漫话》 伽利略在比萨斜塔上做落体实验的传说，尽管是真是假仍有争论，但却广为人知。而他在材料力学上的贡献，虽然有案可查，倒不一定为人所共知。所以我们多花一点篇幅专门介绍一下他的工作。 伽利略有关材料力学问题的论述，发表在1638年问世的《关于力学和局部运动的两门新科学的对话和数学证明》(简称《两门新科学的对话》)一书中(该书包括四天的对话。头两天讨论材料力学问题，后两天讨论动力学问
题)。一般认为，最早尝试用科学
的解析方法确定构件尺寸的，就是这位科学巨匠。
朱斯托·蘇斯泰曼斯所作的伽利略肖像
[1]
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[1] 图9.1、9.2、9.4和9.5均取自文献[9.1]。
在《两门新科学的对话》中，伽利略首先讨论了直杆的简单拉伸问题。如图9.1所示，设想一根用木料或其他固体材料制成的圆杆AB ，牢接在天花板上，下端悬挂重物C 。如果C 的重量越来越大，杆件最后总会像绳索那样断开。伽利略指出，同样粗细的麻绳、木杆、石条、金属棒的强度是各不相同的；对于用同一种材料制成的杆件，承载能力与横截面积成正比，而与它的长度无关。他把杆件这种承载能力叫做“断裂时的绝对抗力”。
对于梁的强度问题，伽利略进行了详细的讨论。
设想一等截面杆ABCD，如图9.2所示，AB 端固定在墙壁上，CD 端悬挂重物E。他断言：“显然，如果杆件断裂，断口将发生在B 的部位，此处固接的边缘充当拖力杠杆BC 的支点，而杆的厚度BA 则是杠杆的另一臂，沿BA 作用有抗力。以此阻止墙内部分与墙外部分BD 分离。由此可知，作用在C 处力的大小与杆件厚度内抗力大小之比(厚度指BA 端与其接连部分的嵌接高度)，等于厚度BA 之半与长度BC 之比”。伽利略的设想是，发生断裂时“抗力”在截面BA 上均匀分布，如图9.3所示，类似于拉伸时的“绝对抗力”。
如果用现代的术语和常用的符号来表示伽利略的意思，可以得到下列的公式：
由，即
0=∑B M ()2
=⋅h Pl bh σ （用于高h 宽b 的矩形截面） 2(42=⋅
d d Pl πσ) （用于直径为d 的圆截面）
得到
22
=M bh
σ （矩形截面） 3
8=
M d σπ （圆截面）
显然，图9.3所示的应力分布，不能满足0=∑X 的平衡条件。[1] 因此，这种应力分布是不可能的，伽利略的公式是错误的。
有趣的是，伽利略从上述含有错误的分析出发，却得出了一些正确的结论。
例如，在《两门新科学的对话》中，伽利略比较了图9.4所示矩形截面悬臂梁 (梁的左端为固定端，此处照原书上的图而未表示出来) 两种放置方法之强度。他指出，侧放与平放的承载能力之比，等于宽度与厚度之比。
如果用现代的梁弹性弯曲的正应力公式进行计算，得出的结论与伽利略是完全一样的： 2
266
bh W h hb W b
=侧放平放 又如，对于图9.5所示的悬臂梁(左端固定、右端受铅垂集中力，此处照原书上的图而未表示出来)，伽利略指出，等宽度、变高度的等强度梁的高度变化应满足如下关系：
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[1] 我们今天在静力学课程中熟悉的刚体上力系的简化和平衡，是19世纪初潘索(L. Poinsot) 才用明确公理体系阐明清楚的。一一朱照宣教授审稿时加的注。
BA :BC =AF 2:CN 2
即取图示的抛物线FNB 。
如果记BC = x ，BA = l ，AF = h 。，CN = h (x )，由现代的等强度梁弹性弯曲公式：
220()66
Px Pl bh x bh = 可得 202()h l x h x =
也和伽利略的结论完全一致。
为什么伽利略从错误的应力分布出发，可以得出正确的结论呢？如果我们将现代的直梁弹性弯曲公式与伽利略的公式加以比较，便可看出两者的差别仅在抗曲截而系数W 的大小上，如表9.1所示。
表9.1 截面形状 伽利略的W 现代的W
矩形 bh 2/2 bh 2/6
圆形 πd 3/8 πd 3/32
而在定性上，从伽利略的公式可以得到与现代的公式相同的结论如下： 矩形截面梁的承载能力 ∝ bh 2
圆形截面梁的承载能力 ∝ d 3
因此，当讨论的问题涉及两个矩形截面或两个圆形截面的比较时，在量上的差异便显示不出来，于是得到与现代理论一样的正确结论。
由于同样的原因，伽利略对自重作用下几何相似的悬臂梁也得出了正确的结论：由自重引起固定端的力矩与线尺度的4次方成正比，而截面上抗力的力矩则与线尺度的3次方成正比。因此，几何相似的梁在强度上是不相等的。尺寸越大，梁就越弱，当尺寸增大到一定程度时，梁仅由于自重就会破坏。
根据这样的分析，伽利略发表了一段有趣的议论：无论是人工的或是天然的结构物，它们的尺寸都不能增加到很大。人们不能造出非常巨大的船舶、宫殿和庙宇，自然界也不会生长出异乎寻常的大树。“一只小狗也许能在它的背上驮起三只同它一-样大的狗；但是我相信，一匹马甚至连一匹同它一样大的马也驮不起来。”
在比较实心梁和空心梁的强度时，伽利略也发表了有趣的议论：空心梁“能大大提高强度而无需增加重量，所以在技术上得到广泛的应用。在自然界就更为普遍了。这样的例子在鸟类的骨骼和各种芦苇中可以看到，它们既轻巧，而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力。一根麦杆所支承的麦穗要比整个麦杆重，如果它用同样数量的材料而生长成实心的，那就会降低其抵抗弯曲和断裂的能力。一根空心的长矛，或者一根木制的或金属制的管子，比同样长度和重量的实心杆件要强得多。这是一个在实际中已被证实了的经验。”
参考文献
[9.1] Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences, Dover (Macmillan, 1914)。
[9.2] S. P. Timoshenko, History of Strength of Materials, McGraw-Hill, 1953；铁木生可，《材料
力学史》，上海科技出版社，1961。
伽利略生平
Galileo (1564～1642)
意大利天文学家、力学家、哲学家。 1564年2月15 日生于比萨，1642年1月8日卒于比萨。伽利略家族姓伽利莱(Galilei)，他的全名是Galileo Galilei，但现已通行称呼他的名Galileo，而不称呼他的姓。
----生平伽利略1572年开始上学，1575年随家迁居佛罗伦萨进修道院学习。1589年被聘为比萨大学的数学教授。1591年到威尼斯的帕多瓦大学任教。1609年回佛罗伦萨，1611年到罗马并担任林嗣科学院的院士。1633年2月以“反对教皇,宣扬邪学”被罗马宗教裁判所判处终身监禁。1638年以后，双目逐渐失明，晚景凄凉。1642年1月8日逝世。三百多年后，1979年11月10日，罗马教皇不得不在公开集会上宣布：1633年对伽利略的宣判是不公正的。1980年10月又提出重审这一案件，并在罗组成一个包括不同宗教信仰的世界著名科学家委员会来研究伽利略案件的始末，研究科学同宗教的关系，研究伽利略学说的科学价值及其对现代科学思想的贡献。
主要贡献可分下列三个方面：
①力学伽利略是第一个把实验引进力学的科学家，他利用实验和数学相结合的方法确定了一些重要的力学定律。1582年前后，他经过长久的实验观察和
