1函数解析式的特殊求法
例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式
例2 若x x x f 21
(+=+）,求f(x)
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f
例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式
例5 已知f(x)满足x x
f x f 3)1()(2=+，求)(x f
2函数值域的特殊求法
例1. 求函数
]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例2. 求函数
22
x 1x x 1y +++=的值域。
例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域
例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。
例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3
)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y
③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f
2若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点
(A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(-
例3
已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足：()()()6,f a b f a f b +=+-
0,()6a f a ><当时；(2)12f -=。
（1）求：(2)f 的值；
（2）求证：()f x 是R 上的减函数；
（3）若(2)(2)3f k f k -<-，求实数k 的取值范围。
例4已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }，
2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }，22{(,)|C x y x y =+≤14}，
问是否存在实数,a b ，使得
(1)A B ≠∅I ，(2)(,)a b C ∈同时成立.
证明题
1.已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时
12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2
f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.
答案
1解：设f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x -1 则⎪⎩
⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=3121)1(42b k b k k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k ∴3
12)(-=x x f 或12)(+-=x x f 2换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。解法一（换元法）：令t=1+x 则x=t 2-1, t ≥1代入原式有
1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f
∴1)(2-=x x f （x ≥1）
解法二（定义法）：1)1(22-+=+x x x ∴1)1()1(2-+=+x x f 1+x ≥1
∴1)(2-=x x f (x ≥1)
4代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点
则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'322
2y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ，
Θ点),(y x M '''在)(x g y =上
x x y '+'='∴2
把⎩⎨⎧-='--='y y x x 64代入得：
整理得
672---=x x y ∴67)(2---=x x x g
例5构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 ∵已知x x
f x f 3)1()(2=+ ①， 将①中x 换成x 1得x
x f x f 3)()1(2=+ ②， ①×2-②得x x x f 36)(3-= ∴x
x x f 12)(-=. 值域求法
例1 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=
∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]
2. 判别式法例2. 解：原函数化为关于x 的一元二次方程
0x )1y (x )1y (2=-+-
（1）当1y ≠时，R x ∈
0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆
解得：23y 2
1≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y －1）,其定义域为y ≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y ≠1,y ∈R ｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y ∣y<－1或y>1｝
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。解：由原函数式可得：
1y 1y e x -+= ∵0e x > ∴01y 1y >-+
