甘肃省兰州市2013年高三实战考试数学试题(文。理)

甘肃省兰州市2013年高三实战考试 数 学 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。试题前标注有（理）的试题理科考生作答，试题前标注有（文）的试题文科考生作答，没有标注的试题文理科考生均作答。 2．本卷满分150分，考试用时120分钟。 3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合21{|1}1xMxx，{|11}Nxx，则 A.MN B.NM C.M=N D.M∩N= 2. （文）已知是虚数单位，则31ii A.12i B.2i C.1i D.1i （理）已知是虚数单位，若31aii是纯序数，则实数a的值为 A.3 B.3 C.2 D.2 3. （文）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶m,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,若从高三年级抽取的学生人数为20，则实数m A.6 B.5 C.4 D.3 （理）设为直线310xy的倾斜角，则sin()4

A. 624 B.614 C.624 D.264 4. 已知函数1,log11,12)(2xxxxfx,则函数)(xf的零点是 A.0x或12x B.2x或0x C.12x D.0x 5. 甲、乙两人做石头、剪刀、布（石头-剪刀，石头赢；剪刀-布，剪刀赢；布-石头，布赢；两人出拳一样为平局）的猜拳游戏，则甲不赢．．的概率为

A.12 B.13 C.23 D.34

6.（文）点03(,)2Mx是抛物线22(0)xpyp上一点，若点M到该抛物线焦点的距离为2,则点M到坐标原点的距离为

A.312 B.31 C. 21 D. 212

（理）设(,0)Fc是双曲线:E22221(0,0)xyabab的右焦点，22(,)2aaPc为直线上一点，且直线垂直于x轴，垂足为M， 若PMF等腰三角形，则E的离心率为

A.32 B.3

C.22 D.2 7. 如图是求样本1210,,,xxx平均数x的程序框图 图中空白框中应填入的内容是 A.nSSx B.nxSSn C.SSn D.1SSn 8. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. 12 B. 8 C. 6 D. 4

是 否 输入x1,x2,…,xn

n=1,S=0

输出x 结束

开始 10nSnx

1nn

3 4 4 9. 若点(,)Pxy是区域1313xyyx内的任意一点， 且为直线ykx上的点，则实数k的取值范围是 A. 11[,]22 B. [2,2] C.(,2][2,) D.11(,][,)22 10. 已知三棱柱的各侧面均垂直于底面，底面为正三角形，且侧棱长与底面边长之比为2∶，顶点都在一个球面上，若该球的表面积为163，则此三棱柱的侧面积为

A. 3 B. 32 C.8 D.6 11. 设函数36sincos4cossin()22sin(2)cos(2)44xxxxfxxx，则 A.()yfx是偶函数，在(0,)2上单调递增 B.()yfx是奇函数，在(0,)4上单调递增 C.()yfx是偶函数，在(0,)2上单调递减 D.()yfx是奇函数，在(0,)4上单调递减 12. 设函数()fx在R上可导,其导函数为()fx,且函数(2)()yxfx的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是 A．函数()fx有极大值(1)f和极小值(1)f B．函数()fx有极大值(1)f和极小值(2)f C．函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)f D．函数()fx有极大值(1)f和极小值(2)f

第Ⅱ卷（共90分）

x

y 1 2

-1 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知a与b的夹角为23，且||2a ，||5b，则(2)aba .

14．（文）设F是双曲线:E22221(0,0)xyabab右焦点，22(,)2aaPc为直线上一点，直线垂直于x轴，垂足为M，若PMF等腰三角形，则E的离心率为 . （理）点03(,)2Mx是抛物线22(0)xpyp上一点，若点M到该抛物线焦点的距离为2,则点M到坐标原点的距离为 . 15. 在ABC中,角A,B,C所对的边分别是,,abc,若8=5bc,=2CB,则cosC .

16．设函数21(),()(,,0)fxgxaxbxabRax,若()yfx的图象与()ygx图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)AxyBxy,有如下命题： ①当0a时,12120,0xxyy ②当0a时,12120,0xxyy ③当0a时,12120,0xxyy ④当0a时,12120,0xxyy 其中，正确命题的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） （文）已知等差数列{}na中，26a，512a. （Ⅰ）求数列{}na的通项公式；

（Ⅱ）设14nnnbaa，求数列{}nb的前n项和nS的值. （理）已知等差数列{}na中，2416aa，534aa. （Ⅰ）求数列{}na的通项公式；

（Ⅱ）设14nnnbaa，求证1216nbbb.

18. （本小题满分12分） （文）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否

则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；

（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率.

（理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45、35、25，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；

（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望. 19．（本小题满分12分） （文） 如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCDABCD中，DD平面ABCD，

3DAB，2ABAD，3DDAD，

E、F分别是线段AB、DE的中点.

（Ⅰ）求证：CEDF； （Ⅱ）求四棱锥FAECD与四棱柱 ABCDABCD的体积之比.

（理）如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCDABCD中，DD平面ABCD，3DAB，2ABAD，3DDAD，E、F分别是线段AB、DE的中点.

（Ⅰ）求证：CEDF； （Ⅱ）求二面角AEFC的余弦值.

20．（本小题满分12分） 已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为22，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线20xy相切.

D A E B

C F A′ B′ C′ D′

D A E B

C F A′ B′ C′ D′ （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若过点(2,0)M的直线与椭圆C相交与A，B两点，O为坐标原点，则在椭圆C上是否存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形？请说明理由.

21．（本小题满分12分） （文）已知函数()ln(1)(,,,fxxxaxbabRab为常数）的图像经过点(1,0)，且在点(1,0)处的切线与直线23yx垂直. （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：当13x时，9(1)()5xfxx.

（理）已知函数()ln(1)(,,,fxxxaxbabRab为常数）的图像经过点(1,0)，且在点(1,0)处的切线与直线23yx垂直. （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）当13x时，有(9)59()5mxmfxx成立，求实数m的取值范围.

请考生在第22,23,24题中任选一题．．．．做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号. 22．（本小题满分10分）选修4-1：《几何证明选讲》 如图，梯形ABCD内接于圆O，AD∥BC，ABCD，过点B引圆O的切线分别交DA、CA的延长线于点E、F.

（Ⅰ）求证：2CDAEBC； （Ⅱ）已知8,5BCCD，6AF，求EF的长.

23．（本小题满分10分)选修4—4：《坐标系与参数方程》

在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为3xtyt（为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程为 2222cossin2sin30

（Ⅰ）求直线的极坐标方程； （Ⅱ）若直线与曲线C相交于A、B两点，求||AB.

24．（本小题满分10分）选修4—5：《不等式选讲》 设函数()|1|||()fxxxaaR. （Ⅰ）当4a时，求不等式()5fx的解集； （Ⅱ）若()4fx对xR恒成立，求实数a的取值范围.

A B C D

E

F

O