第2章 确定信号分析 通信原理
2.1 傅利叶级数及傅利叶变换 2.2 能量谱密度和功率谱密度 2.3 线性时不变系统 2.4 带通信号与带通系统 2.5 无失真系统 2.6 滤波器的可实现性
第2章 确定信号分析
第2章 确定信号分析
通信原理
2
1. 傅里叶级数与傅里叶变换
2. 内积、能量与许瓦兹不等式
3. 常用的傅里叶变换及傅里叶变换的性质
4. 周期冲激序列
5. 理想采样
2.1 傅立叶级数与傅里叶变换
第2章 确定信号分析 通信原理
任意周期为T 的周期信号s(t)可展开为傅里叶级数：
2()n j t
T
n
n s t e
s π∞
=-∞
=
∑2
221//()n T j t T n T s t dt
T s e π--=⎰1. 傅利叶级数与傅里叶变换
注：本书中提到的“任意信号”如无特别说明，均指任意物理存在的信号，无需考虑成立条件和收敛范围。
第2章 确定信号分析
通信原理
4
信号频谱X(f)代表了信号在不同频率上的分量成分的大
小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。
时域分析与频域分析的关系 幅值
时域分析
频域分析
第2章 确定信号分析 通信原理
5
2X()()j ft f x t e dt
π∞
--∞=⎰2()X()j ft x t f e df
π∞
-∞
=⎰傅立叶正变换
傅立叶反变换
()()
x t X f ⇔第2章 确定信号分析
通信原理
6
2. 内积、能量与许瓦兹不等式
*
,()()x y x t y t dt
∞
-∞<>=⎰ 内积 能量 2
()x E x t dt ∞
-∞=⎰ 归一化相关系数
*()()
xy x y
x t y t dt E E ρ∞
-∞
=⋅⎰
信号与其自身的内积是能量 能量 归一化
内积为零信号正交
第2章 确定信号分析 通信原理 7
许瓦兹不等式
*()()x y
x t y t dt E E ∞
-∞
≤⎰
()()y t K x t =⋅等式成立条件
波形形状相
同内积最大
时域内积=频域内积
**()()()()x t y t dt X f Y f df
∞
∞
-∞
-∞
=⎰
⎰时域正交的信号在频域也正交
第2章 确定信号分析
通信原理
（1）面积
（2）矩形函数 （3）直流与冲激 （4）时移与频移 （5）共轭对称性 （6）卷积与乘积 （7）微分
（8）符号函数
（9）复单频信号及周期信号 3. 常用傅氏变换及傅氏变换的性质
√ √ √ √ √ 正余弦信号
第2章 确定信号分析 通信原理
（一）傅氏变换的性质：
（1）某个域中的面积=另一个域中原点的值。
020()()j ft x t t X f e π--⇔020()()
j f t x t e X f f π⇔-（2）时移
频移 (0)X()(0)()x f df
X x t dt
∞
∞
-∞-∞
==⎰⎰第2章 确定信号分析
通信原理
傅氏变换的性质：
（3）共轭对称性 **
()()
x t X f ⇔-若x(t )是实信号，则其频谱X(f )满足共轭对称性
*()()
X f X f =-若x e (t )是t 的实偶函数,则其频谱X e (f )是f 的实偶函数。
若x o (t )是t 的实奇函数,则其频谱X o (f )是f 的虚奇函数。
任意实信号x(t )可分解为偶函数和奇函数之和，在频域分别对应X(f )的实部和虚部。
2----()()()(cos ((2)sin(2))()sin
)cos(()2)2j f e t e e e e
X f x t e dt x t ft j ft dt x t j x t f d ft t t d πππππ∞∞∞∞
-∞
∞∞
∞=-=-=⎰⎰
⎰⎰奇偶函数相乘为奇函数，奇函数在对称区间内积分为零-2---()cos(()()()(cos(2)sin(2))()sin(22))j f o
o
o o
t
o x t X f x t e dt x ft t ft j ft dt j x t f d t t
d πππππ∞
∞
-∞
∞
∞∞
∞
∞
==-=-⎰⎰⎰⎰奇偶函数相乘为奇函数，奇函数在对称区间内积分为零
第2章 确定信号分析 通信原理
（4）卷积与乘积
x t y t X f Y f X u Y f u du
x t y t x u y t u du X f Y f ∞
-∞∞
-∞
⇔*=-*=-⇔⎰⎰()()()()()()()()()()()()
冲激函数的乘积与卷积：
00000()()()()()()()
g t t t g t t t g t t t g t t δδδ-=-*-=-00
2020j ft j ft g t t t G f e g t t G f e ππδ--*-⇔-⇔()()()()()第2章 确定信号分析
通信原理
（5）微分
2[
()]()d
x t j f X f dt
π=⋅F 12[
()]()d
X f j t x t df
π-=-⋅F 傅氏变换的性质：
