正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法
——王彦文青铜峡一中
1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题,且多以应用题的形式出现．
1．正弦定理
（1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等，即 .其中R是三角形外接圆的半径．
（2)正弦定理的其他形式:
①a ＝２RｓiｎA，b＝，c= ;
②sｉnＡ＝错误!，siｎＢ= ，
siｎC＝；
③ａ∶b∶ｃ＝___＿_＿__＿＿____＿_＿_＿_＿_．
2．余弦定理
(1)余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
ａ2＝ ,b2＝,
c２＝ .
若令Ｃ=90°,则ｃ2＝，即为勾股定理.
(2)余弦定理的变形:cｏs A= ，cos B= ,cｏｓＣ= .
若C为锐角，则cos C>０,即ａ２＋b2__＿＿__ｃ２;若Ｃ为钝角,则cos C<0，即a2+b2_＿____
ｃ2.故由a2+ｂ2与c2值的大小比较,可以判断C
为锐角、钝角或直角.
(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边
角＿＿_＿＿______＿,余弦定理亦可以写成ｓ
iｎ2Ａ=sｉn2Ｂ+sｉn2Ｃ-2sｉn BｓinＣcos A，
类似地，ｓin2Ｂ=__＿______＿__；ｓｉn2C=
＿＿________________.注意式中隐含条件
A+B+Ｃ＝π．
3.解斜三角形的类型
(1)已知三角形的任意两个角与一边,用
______＿＿_＿__定理.只有一解．
(2)已知三角形的任意两边与其中一边的
对角,用___＿_＿______定理,可能有___＿__
＿＿_______＿_＿＿．如在△ＡBC中,已知a,
Ａ为锐角
A为钝角
或直角
图
形
关
系
式
ａ＝ｂ
sinＡ
bｓinＡ
<ａa≥b ａ＞b
解
的
个
数
①② ③④
理．有解时,只有一解．
（4)已知两边及夹角,用＿＿____＿＿
____定理，必有一解.
4．三角形中的常用公式或变式
(1)三角形面积公式S△= = =___________＿＝＿____＿＿＿__＿_＝
_________＿＿＿．其中R,r分别为三角形外接圆、内切圆半径.
(２)A＋B＋C=π，则A=＿_________，
＼f(A,2)＝_＿___＿____，从而sin A=_＿
＿＿＿＿＿_＿___，
cos A＝＿__＿_＿______,ｔanＡ=＿__＿________;
sin错误!＝__＿_______，cｏs错误! =_______＿__，
tan错误!＝________．ｔaｎA+taｎB＋ta ｎC=_____＿_＿__.
(3)若三角形三边a,b,c成等差数列,则2b ＝＿____＿______⇔2sin B＝_＿＿____＿＿___⇔2sin＼f(B，2）＝ｃｏｓ错误!⇔2cos 错误!=cos错误!⇔ｔan错误!tan错误!=错误!.
【自查自纠】
1.(1)错误!=错误!＝错误!＝２R
（2)①2Ｒｓin B 2R sｉn C②＼f(b，2Ｒ) 错误!
③ｓiｎA∶ｓin B∶sin C
2．(1)b2+c２-2ｂcｃｏs A c2＋a2－2ca cos B
ａ２+b2-2aｂcos C a２+b２
（2)b２+ｃ2-a2
2ｂｃ错误!错误!
＞ <
(３）互化 sin２Ｃ＋sｉn2A－2sｉnＣｓi ｎAｃoｓB
siｎ2A＋sin2B-2sin A siｎＢcosＣ
3.(1）正弦 (2)正弦一解、两解或无解
①一解②二解③一解④一解
(3)余弦（４)余弦
4．(1)＼f(１,２)ab sin C错误!ｂc siｎA 错误!acｓin B错误!错误!(ａ+b+c）r
(2)π-(Ｂ+C）错误!－错误!
sｉn(Ｂ＋C) －coｓ(B＋C)
－taｎ(B+C) cos B+C
2
sin错误!错误!
tan AｔaｎB tan C（３)ａ+c sin A＋ｓin C
在△ABC中,Ａ>B是ｓｉn A>ｓiｎB的（ )
Ａ.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C．充要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
解:因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件.故选C.
在△ABC中,已知b＝6,c＝１0,B=30°，则解此三角形的结果有( )
A.无解ﻩﻩﻩB．一解
C．两解ﻩＤ．一解或两解
解:由正弦定理知sin C＝错误!=错误!,又由c>b>ｃsiｎB知,C有两解.也可依已知条件,画出△ABC,由图知有两解.故选C．
（201３·陕西)设△ABC的内角A， B,
C所对的边分别为a, b, ｃ, 若b cos C+cｃos B=aｓinＡ, 则△ＡBC的形状为( )
A.锐角三角形ﻩﻩB．直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
解：由已知和正弦定理可得sｉn B cos C+sin C cos B＝siｎA·sinＡ,即sin(Ｂ＋Ｃ)＝ｓiｎA sinＡ,亦即sin A=ｓiｎA siｎA．因为0(错误!）在△ABＣ中,角Ａ，B，C所对的边分别为a,b，ｃ.若a＝2，Ｂ=错误!，c=2
3，则b=__＿____＿.
解：由余弦定理知ｂ2=a2+ｃ２-2acｃos B＝2２+错误!２-2×2×2错误!×cos错误!=4,b＝2.故填２.
在△AＢＣ中,角Ａ,Ｂ,C所对的边分别为a,ｂ,c,若ａ=＼r(2),b＝2，ｓin B+cｏs B=错误!，则角A的大小为_＿______.
解:∵siｎB+ｃos B＝错误!，
∴错误!siｎ错误!=错误!,即sin错误!=1.
又∵B∈(0,π),∴B＋错误!=错误!，B＝错误!.
根据正弦定理＼f(ａ,siｎＡ）=
b
sin B
,可得ｓiｎA=
a sin B
b
＝
1
2
.
∵ａ
