《图形的相似》重点知识归纳

第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
第4课时 黄 金 分 割
教学目标
1. 理解黄金分割的意义，并能解决与黄金分割有关的题 目．(重点)
2. 理解黄金矩形，并能解决与之有关的问题．(难点)
课前预习
(一)知识探究 一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(如图)， 如果 AACB＝BACC ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫 做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比．
解：点 E 是线段 AB 的黄金分割点． 理由如下：如图，连接 EC， ∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴EA＝EC. ∵AE＝BC， ∴EC＝BC，∴∠BEC＝∠B.
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B， ∴∠BEC＝∠ACB. ∵∠B＝∠B，∴△CEB∽△ACB， ∴BBEC＝BACB，即 BC2＝BE·AB. ∵AE＝BC， ∴AE2＝BE·AB， 即点 E 是线段 AB 的黄金分割点．
比AACB＝
5－1 2.
【思路点拨】设较长的线段 AC 的长为 x，根据黄金分割 点的定义，得出 AC2＝AB·BC，据此列出方程 x2＝1×(1－x) 求解．
解：设较长的线段 AC 的长为 x，则 AC2＝AB·BC，即
x2＝1×(1－x)，
解得 x1＝ 52－1，x2＝－ 25－1(舍去)，
宽为 AC 的矩形面积，则 S1 与 S2 的大小关系为( C )
A. S1＞S2
B. S1<S2
C. S1＝S2
D. 不能确定
3. 已知线段 AB 的长为 10 cm，点 C 是线段 AB 的黄金 分割点，且 AC＞BC，则 AC＝ ((55 5－－55)) cm.(结果保留根 号)

第二十五章 图形的相似25．1 比例线段知识点 1 线段的比1．已知a ＝0.5 m ，b ＝25 cm ，则a ∶b ＝________．2．C 是线段AB 上一点，AB ＝2AC ，则BC ∶AB ＝________. 知识点 2 成比例线段3．已知四组线段的长度(单位：cm)如下，其中是成比例线段的一组是( ) A ．1，2，3，4 B .1，2，2，4 C .3，5，9，13 D .1，2，2，34．2017·娄底湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1∶6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图．若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是________千米(结果精确到1千米)．5．已知四条线段a ＝0.5 m ，b ＝25 cm ，c ＝0.2 m ，d ＝10 cm ，则这四条线段________成比例线段．(填“是”或“不是”)知识点 3 比例的性质6．2017·兰州已知2x ＝3y (y ≠0)，则下面结论成立的是( ) A.x y ＝32 B .x 3＝2y C .x y ＝23 D .x 2＝y 37．已知线段a ＝4，b ＝16，线段c 是线段a ，b 的比例中项，那么线段c 的长为( ) A ．10 B .8 C .－8 D .±8 8．若3y ＝4x ，则下列式子中不正确的是( )A.x ＋y y ＝74 B .y y －x ＝41 C .x 2y ＝38 D .x －y y ＝149．若3m －n n ＝13，则m n＝________．10．教材练习第3题变式若m n ＝p q ＝x y ＝23，则m －2p ＋3x n －2q ＋3y＝________．知识点 4 黄金分割11．乐器上的一根琴弦AB ＝60厘米，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是AB 的黄金分割点(AC ＞BC )，则AC 的长为( )A ．(90－305)厘米B .(30＋305)厘米C .(305－30)厘米D .(305－60)厘米12．我们把两条邻边中较短边与较长边的比值等于黄金比的矩形称为黄金矩形．若矩形的两边长分别为a ，b ，则下列数据能构成黄金矩形的是( )A ．a ＝4，b ＝5＋2B .a ＝4，b ＝5－2C .a ＝2，b ＝5＋2D .a ＝2，b ＝5－1 13．在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士的身高为1.60米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)与身高的比值为0.60，那么她穿约________厘米的高跟鞋看起来会更美．(精确到十分位)14．已知a b ＝513，则a －b a ＋b的值是( )A ．－23B .－32C .－94D .－4915．已知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则a －b ＋c b 的值为( )A.12 B .1 C .－1 D .12或－1 16．2016·邯郸一模如图25－1－1，画线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，在这条垂直平分线上截取OC ＝OA ，以A 为圆心，AC 长为半径画弧交AB 于点P ，则线段AP 与AB 的比是( )A.3∶2 B .1∶3 C .2∶ 3 D .1∶217．已知a ，b ，c 都不为0，且a ＋b c ＝b ＋c a ＝a ＋c b ＝k ，则k 的值是( )A ．2B .－1C .2或－1D .318．已知三条线段的长度分别是4，8，5，请写出另一条线段的长度：____________，使这四条线段是成比例线段．19．已知a b ＝53，则a －b 2b ＝________．20．已知线段a ，b ，c ，且a 2＝b 3＝c4.(1)求a ＋bb的值； (2)若线段a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝27，求a ，b ，c 的值．21．已知a b ＝c d ＝ef ＝2，且b ＋d ＋f ≠0.(1)求a ＋c ＋eb ＋d ＋f的值； (2)若a －2c ＋3e ＝5，求b －2d ＋3f 的值．22．阅读理解：如图25－1－2①，点C 将线段AB 分成两部分，若AC AB ＝BCAC ，则点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，从而给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．问题解决：如图25－1－2②，在△ABC 中，已知D 是AB 的黄金分割点．(1)研究小组猜想：直线CD 是△ABC 的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ (2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组探究发现：过点C 作直线交AB 于点E ，过点D 作DF ∥CE ，交AC 于点F ，连接EF(如图③)，则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．25．2 第1课时 平行线分线段成比例知识点 平行线分线段成比例1．如图25－2－1，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，则AB BC ＝______，AB AC ＝________，BCAC＝________．图25－2－12．如图25－2－2，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1，l 2，l 3分别相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .若AB BC ＝23，DE ＝4，则EF 的长是( )图25－2－2A.83 B .203C .6D .10 3．如图25－2－3，已知直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别与l 1，l 2，l 3相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .如果AB ＝1，EF ＝3，那么下列各式中正确的是( )图25－2－3A ．BC ∶DE ＝3B .BC ∶DE ＝1∶3 C .BC ·DE ＝3D .BC ·DE ＝133．如图25－2－4，直线A 1A ∥BB 1∥CC 1.若AB ＝8，BC ＝4，A 1B 1＝6，则线段B 1C 1的长是________．4．如图25－2－5，已知AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，则BCCE的值等于________．5．教材练习第2题变式如图25－2－6, l 1∥l 2∥l 3，AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，求DF 的长．6．如图25－2－7，已知直线AD ∥BE ∥CF ，BC ＝13AC ，DE ＝4，那么EF 的长是________．7．如图25－2－8，已知直线l 1∥l 2∥l 3. 求证：AB DE ＝BC EF ＝AC DF.25．2 第2课时 平行于三角形一边的直线知识点 平行于三角形一边的直线1．如图25－2－10，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC (或它们的延长线)上，DE ∥BC ，则ADAB＝________＝________．2．如图25－2－11，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，DE ＝6，则BC 的长为( )A ．6B .12C .18D .243．如图25－2－12所示，在△ABC 中，若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( )A.AD DB ＝DE BC B .BF BC ＝EF AD C .AE EC ＝BF FC D .EF AB ＝DE BC4. 教材练习第2题变式如图25－2－13，在△ABC 中，DE ∥AC ，AB ＝7，BD ＝3，BE ＝2，则EC 的长为________．5、如图25－2－14，在边长为3的菱形ABCD 中，E 在边CD 上，F 为BE 的延长线与AD 的延长线的交点．若DE ＝1，则DF 的长为________．6、如图25－2－15，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为边向外作正方形BEDC ，连接AE 交BC 于点F ，作FG ∥BE 交AB 于点G .求证：FG ＝FC .7．如图25－2－16，在△ABC 中，点D ，F 在AB 边上，点E ，G 在AC 边上，DE ∥FG ∥BC ，且AD ∶DF ∶FB ＝3∶2∶1.若AG ＝15，则CE 的长为( )A ．9B .15C .12D .68．如图25－2－17，AB ∥CD ∥EF ，AC 与BD 相交于点E .若CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则CDAB的值是( )A.23 B .12 C .13 D .149．如图25－2－18，在△ABC 中，AM ∶MD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，求AE ∶EC 的值．25．3 相似三角形知识点 1 相似三角形的定义1．如图25－3－1所示，D 是△ABC 的边AB 上的一点，当∠ADC ＝∠ACB ，∠ACD ＝________，∠A ＝∠A ，AC AB ＝AD （ ）＝DCCB时，△ADC ______△ACB .2．教材“大家谈谈”变式下列说法中，错误的是( )A ．两个全等三角形一定是相似三角形B .两个等腰三角形一定相似C .两个等边三角形一定相似D .两个等腰直角三角形一定相似 知识点 2 相似比3．如果△ABC ∽△DEF ，且△ABC 与△DEF 的相似比为k 1，△DEF 与△ABC 的相似比为k 2，则k 1与k 2的关系是( )A ．k 1＝k 2B .k 1＋k 2＝0C .k 1·k 2＝－1D .k 1·k 2＝14．若△ABC ∽△DEF ，AB ＝4 cm ，DE ＝8 cm ，则△ABC 与△DEF 的相似比为________． 5．若把△ABC 的各边长分别扩大为原来的5倍，得到△A ′B ′C ′，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为________．知识点 3 相似三角形定义的应用6．如图25－3－2，已知△ADE ∽△ACB ，那么下列比例式正确的有( )①ADAB＝AEAC；②ADAC＝AEAB；③BCAB＝EDAE；④BCAC＝EDAD.A．1个B.2个C.3个D.4个7．在△ABC中，已知AB＝5，BC＝4，AC＝8.若△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1的最长边的长为16，则其他两边的长分别为()A．A1B1＝8，B1C1＝10 B.A1B1＝10，B1C1＝8C.A1B1＝5，B1C1＝8D.A1B1＝10，B1C1＝48．已知△ABC∽△A1B1C1，且A1B1＝6 cm，AB＝4 cm，BC＝3.2 cm，∠B＝58°，∠C ＝72°，则B1C1＝________cm，∠A1＝________°.9．如图25－3－3，已知△ABC∽△DAC，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°.(1)求∠BAD的度数；(2)求CD的长．10．如图25－3－4，已知△ABC∽△ADE，AE＝5，EC＝3，BC＝6，∠A＝45°，∠C ＝40°.求：(1)∠AED和∠ADE的度数；(2)DE的长．知识点 4 利用平行线判定三角形相似11．如图25－3－5，点F 在平行四边形ABCD 的边CD 上，射线AF 交BC 的延长线于点E .∵AD ∥BC ，∴△EFC ∽△________．∵AB ∥CD ，∴△EFC ∽△________．12. 如图25－3－6所示，在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，有下列三个结论：①DE ＝12AB ；②△CDE ∽△CAB ；③△CDE 与△CAB 的相似比为2.其中正确的结论有( )A ．0个B .1个C .2个D .3个12．如图25－3－7，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是( )A ．AB 2＝BC ·BD B .AB 2＝AC ·BDC .AB ·AD ＝BD ·BC D .AB ·AD ＝AD ·CD13．如图25－3－8所示，在▱ABCD 中，BE 分别交AC ，CD 于点G ，F ，交AD 的延长线于点E，则图中的相似三角形有()A．3对B.4对C.5对D.6对15．如图25－3－9所示，△PQR是等边三角形，△P AQ∽△BPR.(1)请写出两个相似三角形对应边的比例式；(2)试找出AQ，QR，BR三条线段之间的关系．16．如图25－3－10，在△ABC中，CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，G为AC边上一点，∠1＝∠2.求证：△AFG∽△ABC.17．如图25－3－11，已知AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE＝2DE，连接BE 并延长交AC于点F.(1)求证：AF＝FC；(2)求BFEF的值．18．如图25－3－12，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，动点P从点B出发以2 cm/s的速度向点C移动，动点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点A移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若动点P，Q同时出发，则经过多少秒时，PQ∥AB.25．4第1课时相似三角形的性质定理1知识点相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比1．2017·重庆若△ABC～△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为()A．3∶2 B.3∶5 C.9∶4 D.4∶92．已知△ABC∽△DEF，且相似比为2∶3，则△ABC与△DEF的对应中线之比为() A．2∶3 B.3∶2 C.4∶9 D.9∶43．如果两个相似三角形对应高的比是1∶4，那么它们的对应角平分线的比是() A．1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶164．教材练习(3)变式如图25－5－1所示，△ABC∽△A1B1C1，AD，A1D1分别是△ABC，△A1B1C1的角平分线，BC＝6 cm，B1C1＝4 cm，AD＝4.8 cm，则A1D1的长为________cm.5．如图25－5－2，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F 在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为()A．1 B. 2 C.122－6 D.62－66．如图25－5－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC边上一点，∠CBD＝∠A，E，F分别是AB，BD的中点．若AB＝5，AC＝4，则CF∶CE＝________．7．如图25－5－4，A，B，C，P，Q，E，F，M，N都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是E，F，M，N四点中的()图25－5－4A．E B.F C.M D.N8．如图25－5－5，有一块三角形的余料△ABC，它的高AH＝40 mm，边BC＝80 mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF落在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC 上．(1)求证：△ADG∽△ABC；(2)设DE＝x mm，矩形DEFG的面积为y mm2，请写出y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)．25．4第2课时相似三角形的性质定理2知识点1相似三角形周长的比等于相似比1．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为()A．1∶4 B.1∶2 C.2∶1 D.1∶22．如图25－5－6，▱ABCD中，AE∶EC＝1∶2，△AEF的周长为6 cm，那么△CED 的周长为()A．6 cm B.12 cm C.18 cm D.24 cm3．已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝5 cm，BC＝6 cm，AC＝7 cm.△A′B′C′中最短边长为15 cm，求△A′B′C′的另两条边长及周长．知识点2相似三角形面积的比等于相似比的平方4．若△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，A′B′＝4，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为() A．1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.4∶15．如图25－5－7，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则S△DOE∶S△COB的值为()A．1∶4B.2∶3 C.1∶3D.1∶26．教材习题A组第3题变式已知△ABC∽△DEF，且对应角的平分线分别为8 cm和6 cm，若△ABC的面积为32 cm2，则△DEF的面积为________ cm2.7．如图25－5－8所示，D是△ABC的边AB上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E.若AD＝3，BD＝2，△ADE的面积为3，求四边形DBCE的面积．8．如图25－5－9，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.如果AE∶EC ＝1∶4，那么S△ADE∶S△EBC的值为()A．1∶24 B.1∶20 C.1∶18 D.1∶169．如图25－5－10，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，使它们重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半．若AB＝2，求此三角形移动的距离AA′.10．如图25－5－11，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE.设△ACD，△BCE，△ABC的面积分别是S1，S2，S3，现有如下结论：①S1∶S2＝AC2∶BC2；②连接AE，BD，则△BCD≌△ECA；③若AC⊥BC，则S1·S2＝34S32.其中结论正确的序号是________．25．5第1课时利用相似三角形测高度知识点1利用阳光下的影子测高度1．某一时刻，身高1.6 m的小明在阳光下的影长是0.4 m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5 m，则该旗杆的高度是()A．1.25 m B.10 m C.20 m D.8 m2．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图25－6－1)，同时测得在A处竖立的一根高2米的标杆的影长AC为3米，则楼高为()A．10米B.12米C.15米D.22.5米知识点2利用标杆测高度3．如图25－6－2，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50 cm.当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为()A．25 cm B.50 cm C.75 cm D.100 cm4．如图25－6－3，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2 m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距8 m，与旗杆相距22 m，则旗杆的高为()A．8.8 m B.10 m C.12 m D.14 m5．如图25－6－4，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆AB的高度．已知标杆的高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，此时，旗杆顶端A、标杆的顶端C、人眼E恰好在一条直线上．求旗杆AB的高度．知识点3利用镜子的反射测高度6．2017·兰州如图25－6－5，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5米，A，B，C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处．测得CG＝15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为()A．8.5米B.9米C.9.5米D.10米7．教材“做一做”变式如图25－6－6，在小孔成像问题中，若点O到AB的距离是18 cm，点O到CD的距离是6 cm，若像CD的长是5 cm，则物体AB的长是()A．9 cm B.10 cm C.12 cm D.15 cm8．数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m，当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图25－6－7)，她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m，又测得地面上的影长为2.6 m，则树高为()A．3.25 m B.4.25 m C.4.45 m D.4.75m9．如图25－6－8所示，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE ＝40 cm ，EF ＝20 cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝8 m ，则树高AB ＝________m.10．如图25－6－9，为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度，小亮在操场上的点C 处直立高3 m 的竹竿CD ，然后退到点E 处，此时恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合；小亮又在点C 1处直立高3 m 的竹竿C 1D 1，然后退到点E 1处，此时恰好看到竹竿顶端D 1与电线杆顶端B 重合．小亮的眼睛离地面的高度EF ＝1.5 m ，量得CE ＝2 m ，EC 1＝6 m ，C 1E 1＝3 m.(1)△FDM ∽△______，△F 1D 1N ∽△______；(2)求电线杆AB 的高度．25．5 第2课时 利用相似三角形测距离知识点 1 测河宽、内径1．如图25－6－12，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，于是他想了一个办法：在地上取一点C ，使它可以直接到达A ，B两点，在AC 的延长线上取一点D ，使CD ＝12AC ，在BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝12BC ，测得DE 的长为5米，则A ，B 两点间的距离为( )A．6米B.8米C.10米D.12米2．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图25－6－13所示，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，那么这条河的宽度大致是()A．75米B.25米C.100米D.120米3．如图25－6－14，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使点A，B，D在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E也在一条直线上且DE∥BC.如果BC＝24 m，BD＝12 m，DE＝40 m，则河的宽度AB为()A．20 m B.18 m C.28 m D.30 m4．2017·海淀区二模图25－6－15是测量玻璃管内径的示意图，点D正对“10 mm”刻度线，点A正对“30 mm”刻度线，DE∥AB.若量得AB的长为7.5 mm，则内径DE的长为________ mm.5．某条河的两岸有一段是平行的，已知在河的南岸边每隔5 m有一棵树，在北岸边每隔50 m有一根电线杆，小强站在离南岸边10 m处的点O望北岸时，发现北岸的两根电线杆A，B恰好被南岸的两棵树C，D遮住，如图25－6－16所示．利用这些条件，小强很快测出了河的宽度．(1)小强测量时利用了相似三角形的哪个性质？(2)小河的宽度是多少？知识点2三角形内接矩形6．教材习题第1题变式如图25－6－17，有一所正方形的学校，北门(点A)和西门(点B)分别开在北、西面围墙的正中间．在北门的正北方30米处(点C)有一棵大榕树．如果一个学生从西门出来，朝正西方走750米(点D)，恰好见到学校北面的大榕树，那么这所学校占地________平方米．7．如图25－6－18，光源L距地面(LN) 8米，距正方体箱子上表面(LM) 2米．在光源照射下，箱子在左侧的影子BE长为5米．求箱子在右侧的影子FC的长．8．如图25－6－19，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为4πm2的圆．已知圆桌的高度为1 m，圆桌面的半径为1 m，则吊灯距圆桌面的距离为()A.12m B .1 m C .4 m D .5 m 9．在长、宽、高都为4 m 的房间的天花板的正中央悬挂一只白炽灯泡，为了集中光线，给灯加上了灯罩如图25－6－20所示．已知灯罩深8 cm ，灯泡离地面3 m ，为了使光线能照在墙壁的1 m 高处，则灯罩的直径应为多少？10．2017·邹城模拟如图25－6－21，M ，N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M ，N 两点之间的直线距离，选择测量点A ，B ，C ，点B ，C 分别在AM ，AN 上，现测得AM ＝1千米，AN ＝1.8千米，AB ＝54米，BC ＝45米，AC ＝30米，求M ，N 两点之间的直线距离．11．某市经济开发区建有B，C，D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上(如图25－6－22)，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B，C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC＝500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元．(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出；(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元．11．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图25－6－10，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m．已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯CD的高．(结果精确到0.1 m)25．6 第1课时 相似多边形知识点 相似多边形1．两个多边形相似的条件是( )A ．对应角相等B .对应边成比例C .对应角相等或对应边成比例D .对应角相等且对应边成比例2．如图25－7－1，四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1，若AB ＝12，CD ＝15，A 1B 1＝9，则边C 1D 1的长是( )A ．10B .12C .454D .3653．若如图25－7－2所示的两个四边形相似，则α＝________°.4．若五边形ABCDE ∽五边形A ′B ′C ′D ′E ′，且AB ＝25 cm ，A ′B ′＝20 cm ，则五边形A ′B ′C ′D ′E ′与五边形ABCDE 的相似比为________．5．如图25－7－3，四边形ABCD ∽四边形GFEH ，且∠A ＝∠G ＝70°，∠B ＝60°，∠E ＝120°，DC ＝24，HE ＝18，HG ＝21，求∠D ，∠F 的大小和AD 的长．6．如图25－7－4，过点P的两直线EF，MN将矩形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中P在AC上，且AP∶PC＝AD∶AB＝4∶3，下列对于矩形是否相似的判断，正确的是()A．甲、乙不相似B.甲、丁不相似C.丙、乙相似D.丙、丁相似7．如图25－7－5，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB上一点，EF∥BC交CD于点F.若AD＝2，BC＝4.5，当AE∶EB等于多少时，EF分四边形ABCD所成的两个小四边形相似？8．学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图25－7－6所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形作品是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形作品是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．25．6第2课时位似图形知识点1位似图形的相关定义1．下列说法正确的有( ) (1)相似图形一定是位似图形； (2)位似图形一定是相似图形；(3)同底片洗出来的两张照片是位似图形；(4)放幻灯片时，底片上的图形和银幕上的图形是位似图形． A ．1个 B .2个 C .3个 D .4个2．2017·石家庄模拟如图25－7－7，己知△ABC ，任取一点O ，连接AO ，BO ，CO ，并取它们的中点D ，E ，F ，得到△DEF ，则下列说法正确的有( )①△ABC 与△DEF 是位似图形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2；④△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1.A ．1个B .2个C .3个D .4个3．如图25－7－8所示，△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且位似比是1∶2.若AB ＝2 cm ，则A ′B ′＝________cm ，在图中画出位似中心O .知识点 2 图形的放大与缩小4．2017·长沙如图25－7－9，△ABO 三个顶点的坐标分别为A (2，4)，B (6，0)，O (0，0)．以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A ′B ′O ，已知点B ′的坐标是(3，0)，则点A ′的坐标是________．5．如图25－7－10，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1S△A2B2C2的值．规律方法综合练提升能力6．2016·山西模拟如图25－7－11，在6×7的正方形网格中，A，B，C，D是格点，线段CD是由线段AB位似放大得到的，则它们的位似中心是()A．点P1B.点P2C.点P3D.点P47．如图25－7－12，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点A，B，A′，B′，O共线，点O为位似中心．(1)AC与A′C′平行吗？为什么？(2)若AB＝2A′B′，OC′＝5，求CC′的长．8．如图25－7－13所示，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似图形，点F 的坐标为(－1，1)，点C 的坐标为(－4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是________．[小测范围：25.1～25.4 时间：40分钟 分值：100分]一、选择题(每小题4分，共32分) 1．若a b ＝56，则a ＋b b －a的值为( )A ．－56B .56C .－11D .112．已知P 是线段AB 的黄金分割点(AP ＞PB )，AB ＝4，那么AP 的长是( ) A ．25－2 B .2－5 C .25－1 D .5－2 3．如果a ∶b ＝12∶8，且b 是a ，c 的比例中项，那么b ∶c 等于( ) A ．4∶3 B .3∶2 C .2∶3 D .3∶44．如图3－G －1，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝2，则EF 的长为( )A．4 B.5 C.6 D.85．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是() A．∠A＝∠E且∠D＝∠F B.∠A＝∠B且∠D＝∠FC.∠A＝∠E且ABAC＝EFED D.∠A＝∠E且ABBC＝DFED5．如图3－G－2，在正方形网格中，与△ABC相似的三角形是()A．△NBD B.△MBD C.△EBD D.△FBD6．如图3－G－3，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC ＝4，P为AB边上一动点．若△P AD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有()A．1个B.2个C.3个D.4个7．如图3－G－4，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若AC＝2，则AD的长是()A.5－12B.5＋12C.5－1D.5＋1二、填空题(每小题4分，共32分)9．在比例尺为1∶40000的地图上，某条道路的长为7 cm，则该道路的实际长度是________km.10．若x2＝y4＝z5≠0，则2x＋3yz＝________.11．如图3－G－5是一种贝壳从上面看得到的图形，点C分线段AB近似于黄金分割(AC ＞BC)．已知AB＝10 cm，则AC的长约为________cm(结果精确到0.1 cm)．12．如图3－G－6，已知DE∥BC，AD＝3，AB＝9，AE＝2.5，则EC＝________．13．如图3－G－7，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝6，AD＝2.当AB＝________时，△ABC∽△ACD.13．如图3－G－8，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE 的长为________．14．如图3－G－9，已知O是△ABC中BC边的中点，且ABAD＝23，则AEAC＝________．15． 如图3－G －10所示，正方形ABCD 的边长是2，BE ＝CE ，MN ＝1，线段MN 的端点M ，N 分别在CD ，AD 上滑动，当DM ＝________时，△ABE 与以D ，M ，N 为顶点的三角形相似．三、解答题(共36分)17．(6分)如果x ＋32＝y －13＝z －24，且x ＋y ＋z ＝18，求x ，y ，z 的值．18．(8分)如图3－G －11，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC .F 是DE 延长线上的点，且AD BD ＝DE EF ，连接FC .若AE AC ＝23，求ADFC的值．19．(10分)如图3－G －12，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC .(1)求证：△ADE ∽△ABC ； (2)若AD ＝3，AB ＝5，求AFAG的值．20．(12分)如图3－G－13，已知∠MON＝90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为B，AB＝3厘米，OB＝4厘米，动点E，F同时从点O出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒(t＞0)．(1)当t＝1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由．(2)在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA.为什么？(3)连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF＝12S四边形ABOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．[范围：25.5～25.6时间：40分钟分值：100分]一、选择题(每小题5分，共35分)1．若△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶3，则S△ABC∶S△DEF的值为()A．1∶3 B.1∶9 C.1∶ 3 D.1∶1.52．如图4－G－1，在河两岸分别有A，B两村，现测得A，B，D在一条直线上，A，C，E在一条直线上，BC∥DE，DE＝90米，BC＝70米，BD＝20米，则A，B两村间的距离为()A．50米B.60米C.70米D.80米3．如图4－G－2，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积比为()A．1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶14．如图4－G－3所示，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，点A为光源，与胶片BC的距离为0.1米，胶片的高BC为0.038米．若需要投影后的图像DE高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为()A．6米B.5米C.4米D.3米5．如图4－G－4所示，四边形ABCD的两条对角线交于点O，且AB∥CD.有下列结论：①△AOB与△COD相似；②△ABD与△ABC相似；③S△COD∶S△AOB＝DC∶AB；④S△AOD＝S△BOC.其中正确的有()A．1个B.2个C.3个D.4个6．图4－G－5是小明设计的利用镜面反射来测量某古城墙CD高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离PD＝12米，镜子P与小明的距离BP＝1.5米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端C，小明眼睛距离地面的高度AB＝1.2米，那么该古城墙的高度是()A．9.6米B.15米C.18米D.24米6．如图4－G－6，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度()A．增大1.5米B.减小1.5米C.增大3.5米D.减小3.5米B．二、填空题(每小题5分，共30分)8．如果两个相似三角形的面积之比是9∶25，其中小三角形一边上的中线长是12 cm，那么大三角形对应边上的中线长是________ cm.9．如图4－G－7，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4 m的位置上，则网球拍击球的高度h为________．10．如图4－G－8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为________．11．如图4－G－9，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶边缘的小孔插入桶内，测得木棒插入部分的长为100 cm，木棒上沾油部分的长为60 cm，桶高为80 cm，那么桶内油面的高度是________．12．如图4－G－10，上午10时小东测得某树的影长为2 m，到了下午5时又测得该树的影长为8 m．若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为________m.13．小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图4－G －11①.图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB ，CD 相交于点O ，B ，D 两点立于地面．经测量：AB ＝CD ＝136 cm ，OA ＝OC ＝51 cm ，OE ＝OF ＝34 cm ，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段，且EF ＝32 cm.垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于________cm 时，连衣裙才不会拖落到地面上．三、解答题(共35分)14．(11分)如图4－G －12，相邻两根电线杆都用钢索在地面上固定，一根电线杆钢索系在离地面4 m 处，另一根电线杆钢索系在离地面6 m 处，求中间两根钢索相交处点P 离地面的距离．15．(12分)如图4－G －13，在▱ABCD 中，E 是CD 延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．16．(12分)为了测量图4－G－14①②中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：图①：测得竹竿CD的长为0.8米，其影长CE为1米，树影AE长为2.4米．图②：测得落在地面上的树的影长为2.8米，落在墙上的树影高1.2米．请问图①和图②中的树高各是多少？。

数学相似知识点总结数学中的相似是指两个几何图形形状、比例和边长都相似的关系。

相似性质在几何学和代数学中有着广泛的应用。

本文将总结数学中的相似知识点，包括基本概念、相似三角形的性质和相似比的应用。

1. 基本概念在数学中，我们称两个图形相似，如果它们对应的角度相等，并且对应的边长成比例。

设有两个三角形ABC和DEF，若有以下条件满足，则两个三角形相似：1) ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F （对应角相等）2) AB/DE = BC/EF = AC/DF （对应边长成比例）2. 相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，其中包括以下几点：1) 相似三角形的对应角度相等，对应边长成比例。

2) 相似三角形的对应边长比例相等，即若∆ABC ∼ ∆DEF，则AB/DE = BC/EF = AC/DF。

3) 相似三角形的高度、中线、角平分线等都成比例。

3. 相似比的应用相似比是指相似三角形中对应边长的比例关系。

它在解决实际问题中有着重要的应用，下面列举几个例子：1) 通过相似比解决测量问题：我们可以利用相似三角形的边长比例关系，通过已知边长和测量的长度，求出对应长度。

2) 通过相似比解决图像缩放问题：在计算机图形学中，我们可以利用相似比对图像进行缩放，使图像保持原来的比例和形状。

3) 通过相似比解决建模问题：在建筑和工程中，相似比可以用来对实际大小进行建模，从而进行设计和规划。

总结：相似性质是数学中重要的概念之一，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。

相似三角形的性质和相似比的应用使我们能够更好地理解和解决实际问题。

通过相似性质，我们可以推断出一些未知信息，并应用到实际生活和学习中。

本文对数学中的相似知识点进行了总结，包括基本概念、相似三角形的性质和相似比的应用。

相似性质在解决几何和代数问题中起着重要的作用，并在实际生活中有很多实际应用。

深入理解相似性质，将有助于我们提高数学解题的能力和几何思维的发展。

- .
成比例线段
第四章 图形的相似
全等形
指能够完全重合的两个图形，即它们的形状和大小完全相同.
复习回顾
情景引入
实际生活中我们经常会看到许多形状。
如图，用同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，汽车的形状还相同吗？
观察下列每组图形
（1）
其中线段AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.
1.两条线段的比就是长度的比，它没有单位；
如何理解两条线段的比？
4.求两条线段的比时，如果单位不同，那么必须先化成同一单位，再求它们的比。
3.两条线段比与所选的长度单位无关；
2.两条线段的比是有顺序的；
所以a,c,d,b成比例线段
当比例内项相等时，即
那么b叫作a，c的比例中项由此得出
1、若a,b,c,d成比例，且a=2，b=3，c=4，则d= 。
2、已知线段a=3，b=12，线段c是线段a，b的比例中项，则C= 。
6
6
你知道女生为什么喜欢穿高跟鞋吗？
∴ 线段a、b、c、d是成比例线段．
解：
1．判断下列线段是否是成比例线段： （1）a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m；（2）a＝0．8，b＝3，c＝1，d＝将线段从小到大的顺序排列，计算第一和第二之比，第三和第四之比，看他们的比值是否相同
（2）a=0.8,c=1,d=2.4,b=3
判断一下：
①已知：线段a=20mm，b=3cm，则
②已知：线段a=1cm，b=2cm，则
③已知：线段a=3mm，b=2mm，则
在四条线段 a、b、c、d 中，如果 a ：b= c ：d ，那么这四条线段a、b、c、d 叫做成比例线段， 简称比例线段.
a ：b = c ：d.