排列组合二项式定理(学生版)

第39讲排列、组合、二项式定理

一．【课标要求】1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合

通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理

能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题二．【命题走向】本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测20XX年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大三．【要点精讲】一、两个原理及区别

二、排列数公式○1排列数公式

mnA

=)1()1(mnnn=

！！)(mnn.(n，m∈N

*

，且mn)．注:规定1!0

.

○2排列恒等式

（1）11mm

nnAnA





;（2）11mmmnnnAAmA.

○3会推以下恒等式

（1）1(1)mmnnAnmA;（2）1

mm

nn

nAA

nm

;

（3）11nnnnnnnAAA;（4）1!22!33!!(1)!1nnn.

1.分类计数原理(加法原理)12nNmmm

2.分步计数原理（乘法原理）12nNmmm三、组合数公式四、排列数与组合数的关系五、二项式定理公式：

六、排列组合应用排列组合解法

特殊元素优先排；合理分类与分步；先选后排解混合；正难则反用转化；相邻问题来捆绑；间隔插空处理法;定序需要用除法；分排问题直接法；集团问题先整体；有的问题选模型。

○1组合数公式mnC=mnmmAA=mmnnn21)1()1(=！！！)(mnmn(n∈N*

，mN，

且mn).○2组合数的两个性质（1）mnC=mnnC;（2）mnC+1mnC=mnC1.注：

规定10n

C.

mmnnAmC！

.

(1)0111()......nnnknkknn

nnnnabCaCabCabCb



*()nN

(2)1knkkknTCab（3）nrrnC0=n2

(4)13502412n

nnnnnnCCCCCC



.

解决排列组合一般思路:1.审题要清2.分步还是分类3.排列还是组合4.牢记右侧方法四．【典例解析】题型1：计数原理例1．完成下列选择题与填空题（1）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有种A．81B．64C．24D．4

（2）四名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（）A．81B．64C．24D．4

（3）有四位学生参加三项不同的竞赛，①每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有；②每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有；③每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有。

例2．（15江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）

题型2：排列问题例3．（1）（1.（2017浙江卷理）在二项式251()xx的展开式中，含4x

的项的系数是()

A．10B．10C．5D．5

（2）．（2016江西卷理）(1)naxby

展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含

y的项的系数绝对值的和为32，则,,abn的值可能为

A．2,1,5abnB．2,1,6abnC．1,2,6abnD．1,2,5abn

例4．（1）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个（用数字作答）；（2）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.题型三：组合问题例5．（2009全国卷Ⅰ理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。

若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(D)

（A）150种（B）180种（C）300种(D)345种

（2）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A．10种B．20种C．36种D．52种

例6．（1）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种；（2）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）（A）150种(B)180种(C)200种(D)280种

题型4：排列、组合的综合问题例7．平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行。求：（1）这些直线所交成的点的个数（除原10点外）。（2）这些直线交成多少个三角形

例8．已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。题型5：二项式定理例9．（1）（2015陕西卷文）若20092009012009(12)()xaaxaxxR

,则

200912

22009222

aaa

的值为

A.2B.0C.1D.2

（2）10)31(

xx的展开式中含x的正整数指数幂的项数是

（A）0（B）2（C）4（D）6

例10．（1）（2018江苏10）将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第n行（3n）从左向右的第3个数为▲（2）（2019北京卷理）若5(12)2(,abab

为有理数），则ab（）

A．45B．55C．70D．80

（2）已知2nixx的展开式中第三项与第五项的系数之比为－14

3,其中2i

=－1，则展开

式中常数项是（）(A)－45i(B)45i(C)－45(D)45

123456789101112131415………………（3）(2017湖南卷理)在323(1)(1)(1)xxx

的展开式中，x的系数为___7__(用数

字作答)

题型6：二项式定理的应用例11．证明下列不等式：

（1）2nnba≥（2ba）n,（a、b∈{x|x是正实数},n∈N）;

（2）已知a、b为正数，且a1+b

1=1，则对于n∈N有

（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1。

例12．（1）求4×6n+5n+1被20除后的余数；（2）7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9，得余数是多少？（3）根据下列要求的精确度，求1.025的近似值。①精确到0.01；②精确到0.001。

五．【思维总结】解排列组合应用题的基本规律1．分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种：①单独使用；②联合使用。2．将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列组合应用题的关键一步。3．对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：（1）元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素；（2）位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置；（3）整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数。4．对解组合问题，应注意以下三点：

（1）对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法；（2）是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”；（3）设计“分组方案”是解组合题的关键所在。