第一章 索洛经济增长模型
The Solow Growth Model
基本内容
1 索洛模型的基本假定
2 离散时间的索洛模型
3离散时间索洛模型的过渡过程
4连续时间的索洛模型
5连续时间索洛模型的过渡过程
6持久增长
7带技术进步的索洛模型
8比较动态分析
1 索洛模型的基本假定
● 一个分析经济增长和各国收入差异的基本框架.
● 其核心假定是新古典总的生产函数.
家庭与生产 I
● 封闭经济,唯一的最终产品.
● 离散时间，t = 0, 1, 2, ....
● 该经济里有众多的家庭，暂时假定家庭没有优化行为.
● 这也是索罗模型与新古典增长模型的主要区别.
● 为了简化，假定各个家庭相同，可以用代表性家庭来表
示.
家庭与生产II ● 假定家庭的储蓄率外生
● 所有厂商具有相同的生产函数，可以用代表性厂商表
示.
● 对该经济中的唯一最终产品，生产函数为
()[(),(),()]YTFKtLtAt (1)
● 假定资本与最终产品相同（比如玉米）,用于生产更多
的产品.
●
()At可以理解为技术.
● 主要假定: 技术是免费的; 具有非竞争性与非排他性.
关键假设1
Assumption 1 (连续性, 可微性, 边际产出为正且递减, 规
模报酬不变) 生产函数3:FRR
关于 K 与 L二阶连续可
微, 且满足
22
22()()
(,,)0 (,,)0
()()
(,,)0 (,,)0KL
KKLLFF
FKLAFKLA
KL
FF
FKLAFKLA
KL
同时, F 关于K 与 L规模报酬不变.
● 假定 F关于K 与 L规模报酬不变，即关于这两个变量
线性齐次.
复习
定义 假定K为整数，如果对任意的R
与KzR，有
(,,)(,,)mgxyzgxyz，那么函数2:KgRR
为xR与yR的
m次齐次函数.
定理 (欧拉定理Euler's Theorem) 假定函数2:KgRR
第五章 Solow模型
第一节 经济增长的事实与研究的主要问题
一、程式化事实（Stylized facts）
经济学的研究是“实事求是”的。卡尔多（Kaldor， 1963）列出了经济增长的程式化事实：
1、人均产出持续增长，且增长率未出现下降趋势；
2、人均物质资本持续增长；
3、资本回报率近乎稳定；
4、物质资本一产出比近乎稳定；
5、劳动和物质资本在产出中所占的份额近乎稳定；
6、人均产出增长率在各国间差距很大。
相对于人类历史而言，持续的、快速增长（现代增长）只是最近一两百年才有的事。事实6与跨国数据基本吻合。事实1、2、4、5与发达国家的数据基本一致，但并不适合于更广大的发展中国家，事实3描述的似乎主要是英国的经历。其它大部分国家真实收益率是下降的。
值得注意的是，在不同的时代，人们关注的主要事实是不同的。卡尔多事实主要是为稳态增长（或平衡增长）提供事实依据。当前，跨国与跨地区收入差异这一事实受到经济学家们的重视。
二、经济增长研究的主要问题
Romer(2006,p1)指出，现代经济增长理论主要解决如下两个问题：
1、什么解释了经济的增长，或经济长期增长的驱动因素是什么？
2、为什么一些国家如此之富裕，而另一些则如此之贫穷？
可见，现代经济增长理论主要解释事实1和6。显而易见，这两个问题是相关的。
第二节 Solow模型的基本假定
Solow模型与Ramsey模型主要探讨储蓄在经济增长中的作用，即：仅仅s的提高能不能推动长期的增长？s的跨国差异能不能解释人均产出的差异？然而，我们的基本结论是：s只能解释部分事实，而不能解释全部（甚至是大部分）事实。理论的不成功促进了其它模型，特别是内生增长模型的发展（实际上，新古典增长理论的不成功使得经济增长研究几乎停滞了20年，而后才有了新的或内生增长理论的发展）。
不同．．增长理论的主要区别在于生产函数．．．．．．．．．．．．．．．。一个经济增长（或更广泛来说，宏观经济）模型，我们通常将它置于不同的环境之中：分权或分散经济（decentailized economy）、代表性主体问题以及计划者问题或经济(social planner)。
曼昆《宏观经济学》（第6、7版）
第3篇 增长理论：超长期中的经济
第7章 经济增长Ⅰ：资本积累与人口增长
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一、概念题
1．索洛增长模型（Solow growth model）
答：索洛增长模型是表明储蓄、人口增长和技术进步如何影响一个经济的产出水平及其随着时间推移而实现增长的一种经济增长模型。
它的基本假定有：（1）社会储蓄函数为SsY，式中，s是作为参数的储蓄率；（2）劳动力按照一个不变的比例增长；（3）生产的规模报酬不变。其主要思想是：人均投资用于资本扩展化和资本深化，当人均投资大于资本扩展化时，人均产出就会增长；当人均投资等于资本扩展化时，经济达到稳定状态，人均产出不再增长，但总产出会继续增长，增长率等于人口增长率。
2．稳定状态（steady state）
答：索洛模型的稳定状态是指长期中经济增长达到的一种均衡状态，在这种状态下，投资等于资本扩展化水平，人均资本存量维持不变，即0ksfkk。这个维持不变的人均资本存量k称之为稳定状态人均资本存量。
在稳定状态下，不论经济初始位于哪一点，随着时间的推移，经济总是会收敛于该人均资本水平k。在稳定状态，由于人均资本存量保持不变，所以人均产出也保持不变，即人均产出增长率为零。
3．资本的黄金律水平（golden rule level of capital）
答：资本的黄金律水平是指在稳定状态人均消费最大化时所对应的人均资本水平，由经济学家费尔普斯于1961年提出。他认为如果一个经济的发展目标是使稳态人均消费最大化，稳态人均资本量的选择应使资本的边际产出等于劳动力的增长率。
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第三节：索洛增长模型
Section III: Solow growth model
生产函数(production function)
设经济的生产函数为
[注]严格地说，应写成关于时间的函数)(),()(tLtKFtY
生产函数具有规模报酬不变的性质（constant returns to scale，见微观经济学第五章第三节），因此函数可以化为：
如果用NYy/表示人均产量，NKk/表示人均资本量，则函数就化为了：
MPK为资本的边际产出(marginal product of capital)，则
MPL为劳动的边际产出(marginal product of labor)，则
LMP=dLdF=dLkfLd)]([=dLLKdfLkf)/()(
=)()(2kfLKLkf=)()(kfkkf
并且生产要素的边际产量是递减的。
消费函数(consumption function)
用y表示人均产出，c表示人均消费，i表示人均支出，可得到
储蓄率为s，则人均消费
代入上式，得到
移项，即得到
再代入)(kfy，得到
I．只包含人口增长的简单模型（略）
II．包含人口增长、资本折旧的稳定状态(steady state with population growth and capital
depreciation)
如果折旧率是δ，资本存量(capital stock)为K，那么资本的变化量 = 投资 – 折旧，用公式表示，就是
由于人均资本k = K/L，人均投资LIi/，因此
代入)(kfsi，就得到
由于LKk/
两边取对数，得到
两边取全微分，再对时间求导，得到
如果LLn/表示人口增长率，并代入LKk/，则等式两边同时乘以后就得到 [注]高鸿业版《西方经济学》第二十一章第四节、第五节系翻译、照搬[美]曼昆《宏观经济学》第七、八章内容；下述内容乃根据原文和其他一些高级教程修改而得。 [注]索洛增长模型建立在以下假设基础上：
