两个平面垂直的判定和性质第三课时(B)

班级_______ 姓名________ 小组____ 层次_____

学科_数学_ 主备人________ 第___课时 使用时间_________

平面和平面垂直的判定和性质

导学案

学习目标：

1、通过实例感知、了解二面角的定义

2、通过观察几何模型，归纳面面垂直的判定定理、性质定理

3、能用上述定理证明相关的垂直问题

重点：平面与平面垂直的判定与性质；

难点：如何度量二面角的大小。

问题导读

1.知识梳理：阅读课本，自主完成下列问题：

1、半平面、二面角是怎么定义的？请你试着画出一个二面角，并给出记法。

__________________________________________

2、我们应该怎样刻画二面角的大小？___________平面角是怎么定义的？__________________二面角的平面角在哪个范围内？______________

3、直二面角是怎么定义的？__________________________________

4、如图，∠AOB为直二面角α-l-β 的平面角，那么直线AO与平面α的位置关系如何？______

5、在二面角α-l-β中，直线OA在平面β内，如果OA⊥α，那么二面角α-l-β是直二面角吗？

猜想：如果一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，那么这两个平面互相垂直吗？_____

2.预习自测

判断下列命题是否正确？

（1）一个二面角的平面角只有一个 （ ）

（2）二面角的棱必垂直于这个二面角的平面角所在的平面 （ ）

（3）若 ，则平面内所有直线都垂直于平面。 （ ）

（4）若，则平面内一定存在直线平行于平面。 （ ）

1

第五节 直线、平面垂直的判定与性质

一、基础知识

1．直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义：

直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，

就说直线l与平面α互相垂直.

(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b ⇒l⊥α

性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a⊥αb⊥α⇒a∥b

❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.

2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一个平面过另一个平面的垂线❷，则这两个平面垂直 l⊂βl⊥α⇒α⊥β

性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α

[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．]

2

二、常用结论

直线与平面垂直的五个结论

(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．

(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．

(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．

考点一 直线与平面垂直的判定与性质

[典例] 如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：

(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.

[证明] (1)在四棱锥P­ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，

∴PA⊥CD，

又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，

§7.4 直线、平面垂直的判定与性质

1．直线与平面垂直

图形 条件 结论

判定性质 a⊥b，b⊂α(b为α内的任意一条直线) a⊥α

a⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O a⊥α

a∥b，a⊥α b⊥α

a⊥α，b⊂α a⊥b

a⊥α，b⊥α a∥b

2.直线和平面所成的角

(1)定义

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．

(2)范围：0，π2.

3．平面与平面垂直

(1)二面角的有关概念

①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．

(2)平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．

(3)判定定理与性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直 l⊂βl⊥α⇒α⊥β

性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 α⊥βα∩β＝al⊂βl⊥a⇒l⊥α

概念方法微思考

1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？

提示 垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．

2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？

提示 垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．

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高一数学说课教案关于《两个平面垂直的判定定理》

事业的成功，往往在于再坚持一下的努力之中，盲目急躁是不足取的。下面是XX小编为您推荐高一数学说课教案关于《两个平面垂直的判定定理》。

1 教材结构与内容简析：

1.1 本节内容在全书及章节的地位；

两平面垂直的判定定理出现在高中立几第一章最后一节，这之前学生已学习了空间两直线位置关系，空间直线和平面位置关系，特别是已学习了直线和平面垂直判定定理，二面角的平面角，这是学习本节内容的基础，而本节内容是第二章多面体、旋转体的学习基础，因此，本节的学习有着极其重要的地位。

1.2 数学思想方法分析：

1.2.1 从定理的证明过程，面面垂直可转化为线面垂直，就可以看到数学的化归， 降维 思想。

1.2.2 在教材所提供的材料中，从建构手段角度分析，可以看到归纳思想，而这一思想中包含着重组的意识和能力。

2 教学目标：

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征 ，制定如下教学目标：

2.1 基础知识目标：掌握平面与平面垂直的判定定理及其变

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式，能利用它们解决相关的问题。

2.2 能力训练目标：逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力。

2.3 创新素质目标：引导学生从日常生活中发现判定定理，培养学生的发现意识和能力；判定定理及变式的教学培养学生的重组意识和能力；判定定理在现实生活中的应用培养学生的应用的意识和能力。

2.4 个性品质目标：培养学生勇于探索，善于发现，独立的意识，不断超越自我的创新品质。

3 教学重点、难点、关键：

重点：判定定理的证明及变式探索

难点：判定定理的变式。

关键：本节课通过判定定理的证明及变式探索，着重培养和发展学生的认知和元认知能力。