第十一章 经典电磁场理论
对电和磁的兴趣由来已久。正式发表的关于电的第一条定量定律是库仑定律（ Coulomb ，1785）。1820 年奥斯特（Oersted ，丹麦）发现通电的导线对磁针有作用力。毕奥-萨伐尔确定了这个力正比于电流强度，反比于导线与磁极的距离。与此同时安培（Amper è）把磁性归结为电流和电流的相互作用，提出安培定律。但安培被自己提出的超距作用的分子电流假说所迷惑，没能够发现电磁感应现象。这个对形成电磁场的概念致关重要的现象在1831年被法拉第（ Friday ）发现。法拉第创建的力线和场的概念意味深长。麦克斯威（Maxwell ，1865）在此基础上建立了电磁场的完整理论——麦克斯威方程。我们将以静电磁场的知识为基础，在洛伦兹对称性和规范对称性的指引下虚拟一个麦克斯威方程的发现过程。把四维矢势作为基本自由度，构造电磁场的拉格朗日量并给出有普遍意义的联系连续对称性与守恒量的奈特(Noether)定理。
11.1 场方程
让我们把上一章静电磁场的公式归纳一下：
)(1
)(02x x c c
ρεϕ-=∇ （11.1） a a a j A A 02
)(μ-=⋅∇∇-∇ （11.2） 下标c 和a 强调该量与静止电荷和稳恒电流相联系。上述公式仅当电磁场不随时间变化时成立，
0=∂∂t c ϕ ， 0=∂∂t
A a （11.3） 随时间变化的电磁场满足什么样的方程呢？相对论的协变性可以引导我们猜出正确的结果。回忆第八章由电荷守恒得到的连续性方程（8.36）式
04
1=∂∑=μμμj （11.4） 其中四维矢量算符 μ
μx ∂∂=
∂ （11.5） 而四维位移矢量定义为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ict z y x x x x x x 4321 （11.6） 在（11.4）式中定义了
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ρic j j j j j j j j z y x 4321 （11.7） 连续性方程的协变性要求上式定义的j 是一个四维反变矢量，称为四维电流密度矢量。因此在洛伦兹变换下，电流密度和电荷密度混合在一起，如四维位移矢量一样变换。从（11.1）和（11.2）式看到电势和矢势分别与四维矢量的时间分量和空间分量对应。这提示我们把（11.1）和（11.2）式写成时间和空间分量对称的形式。首先，为了把（11.1）式和（11.2）式统一成一条四维矢量方程，（11.1）的右边要写成)(040ρμμic j -=-，即在（11.1）两边乘以c i /，
()40002)()(j x ic c i x c i c c c μρμρεϕ-=-=-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∇ （11.8） 和（11.2）式对比，可以认出矢势A 和“电势”)/(c i ϕ要构成一个四维矢量。引入四维势μA ，
其各个分量定义为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕc i A A A A A A A A 3214321 （11.9） 假定四维势对非稳恒电磁场也适用，所以式中没有下标c 和a 。
（11.1）和（11.2）式的拉普拉斯算符是三维伽利略标量算符，在相对论协变理论中要推广为四维标量算符（达朗贝尔算符），
222
2222412222t c z y x ∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂=∂→∇∑=μμ
μ （11.10） 因为我们的讨论仅局限与平直时空，所以μμx x =和μμ∂=∂，可以不区分上指标和下指标。但我们还是尽量保留上下指标，以便于检查方程的正确性。
另外（11.2）式中的矢势散度A
⋅∇在相对论协变理论中也要写成四维标量 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-⋅∇=∂→⋅∇ϕμμc i t ic A A A （11.11） 其中重复指标隐含求和。如不特别声明，以后我们都采用这种约定。
至此，（11.1）和（11.2）变成相对论协变的形式，
4042j A μ-=∂ （11.12）
i i i j A A 02)(μμμ-=∂∂-∂ ，
3,2,1=i （11.13）
两式还是写不成一个统一的四维矢量方程，原因是（11.12）式的左边少了一项。为了物理的美，所有人都会毫不犹疑地尝试在（11.12）式的左边添上)(4μμA ∂∂-，它是电磁场的时间导数，对稳恒电磁场它等于零。于是（11.12）和（11.13）可以合写成紧凑的一条四维矢量方程，
νμμννμj A A 02)(-=∂∂-∂ （11.14） 这就是我们所寻找的电磁场的场方程，它被实验证明是普遍适用的。对稳恒电磁场，容易验证（11.14）式可以重新回到（11.1）和（11.2）式。方程左边第二项的重复指标μ隐含着求和。相对论协变性要求四维势是一个（反变）四维矢量。
如果已经肯定（11.9）式定义的四维势是一个四维矢量，事实上（11.14）式是唯一的与稳恒电磁场方程（11.1）和（11.2）式一致的相对论协变的场方程。特别值得一提的是，方程（11.14）和电荷守恒是一致的。取该式的散度，易见左边恒等于零，由此得到电荷守恒的连续性方程（11.4）式。
11.2 规范不变性
上节得到的场方程（11.14）式具有一个重要的不变性——规范对称性。电磁场的规范变换为
φμμμμ∂+='→A A A ， 4,3,2,1=μ （11.15） 其中)(x φ可以是任意的可微时空函数。把φμμμ∂-'=A A 代入（11.14）得
()μννννμμμμφφj A A 022-=∂∂-'∂∂-∂∂-'∂
即
()
μννμμμj A A 02-='∂∂-'∂ （11.16）
它形式上和（11.14）一样。因此规范变换前后的四维势A 和A '同是电磁场方程的解。如果规范变换不影响边界条件和界面条件，那么规范变换前后的四维势描写同样的电磁场。物理可观测结果在规范变换下保持不变称为规范对称性。二十世纪关于基本相互作用的研究与规范对称性及其推广有紧密的联系。现在人们一般愿意认为规范对称性是基本相互作用的普遍对称性，从而把它上升为一个物理基本原理。
规范不变原理：物理规律在规范变换下保持不变。
规范不变原理意味着不能通过物理测量发现由（11.15）联系起来的A 和A '的差异，只有规范不变的量（在（11.15）式的变换下不变的量）才是物理上可测量的量。当四维矢量作规范变换时，所有的物理量和物理规律保持不变。实际应用时，为了简化计算常常对四维势的规范任意性加以限制，限制条件称为规范条件。物理结果应该和规范条件的选择无关。
规范不变原理的一个重要的后果是场方程（11.14）式中不能出现正比于μ
A 而不含导数的一项。如下式是没有规范不变性的，
()μμννμμμj A m A A 022-=+∂∂-∂ （11.17）
