第5课时 数列求和
求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 1. 等差数列的前n 项和公式：
S=
= .
2. 等比数列的前n 项和公式： ① 当q = 1时，S n = __________ . ② 当q ^l 时，S n = ___________ .
3 .倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列 因子可提的数列求和.
4. 错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
5. 裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列
.
项的和S n .
1 1
2n
1 1
2
则原数列可以表示为:
1
1 -
=2n -------- 2
1丄
2
2
2n -
2
例1.已知数列：1,
11，
，求它的前n
解：
••• a =1+ 1
+
2 +……+
1 2
n1
(2 — 1) , 2 1
22
1 2
n 1
前n 项和S=(2 — 1) + 2 1
+ 2 ! +…
2 22
=2n — 1
1 22
1 2n
变式训练1.数列
1 ...
12,24,38,4
16,
前n 项的和为
相加.主要用于倒序相加后对应项之和有公
1
2n
・・a n
=2n — 2
1 2n
2† 1
1，由 n 1 1 = 10，二 n 1 = 11,
••• n= 11
† a n 工一1(n €N )
・・a n = 2n — 1
• T n = 1 • 2+ 3 ・2 2
+ 5 ・23
+……+
(2n — 1)・2 n
① 2T n = 1 ・2 2
+ 3 ・2 3
+ 5 ・24
+……+ (2n — 1)・2 n
+1
② ①
一②得:
3 4 5 n +1 n +1
• — T n= 2+ 2 + 2 + 2 +……+ 2
— (2n — 1)・2
3
n 1
、
=2+ 2 (1 2
)
— (2n — 1)・2n
+
1
= — 6 + (1 — n)・2 n
+ 2
1 2
• T n = 6 + (n — 1)・2 n
+ 2
变式训练3.设数列｛a n ｝的前n 项和为S n = 2n 2
, ｛b n ｝为等比 数列，且
a 1= 6,
b 2（a ?— aj = 6.
1 2n
2
n n ‘
------- 1 2
答案:B 。解析: 4L
1 2n n(n 1) 1 2n
例2.求S n = 1 +」
1 1
1 2 3 ... n
解：• a n =
1 = 2
1 2 3 n
n(n 1)
=2( 1
— 1 ）
n n 1
• S n = 2(1 - -1 +
1 —
1
+•+ 1
— 1
2 2 3
n n 1 变式训练2: 数列｛a n ｝的通项公式是a n = A . 11
B
.99 C. 120
D .121 解：C .a n =
1 =n 1 n ,
)
n n 1
1
2 2n
n 1
-H —、
＞ 、
，右刖
n 项之和为10,则项数门为（）
例3.设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S,且S n =（a ；
1
)2 (n
N * ) , b n = a n ・2n
,求数列｛b n ｝的前
n项和T n.
解：取n= 1，则刁=（晳）2 a1= 1
又S n= n(a1 an)2可得: n(a1 an)= (a n 1)2
2 2
⑴求数列｛a n ｝和｛b n ｝通项公式. ⑵设C =
，求数列｛C n ｝前n 项和T n .
b n
解：(1)当 n = 1 时 a i = S = 2,当 n 》2 时，a n = S — S —1 = 4n — 2,故｛a n ｝通项公式为 a n = 4n — 2,即｛a n ｝是a i = 2, d = 4的等差数列，设｛b n ｝的公比为q ，则b i qd = b i , d = 4 ,「• q =丄，故
4
2
n — i
•••T n = C i + ©+•••+ G= i + 3X 4+ 5X4 +•••+( 2n — i ) 4 4T n = I X 4+ 3X4 2
+ 5X4 3
+…+( 2n — 3) 4n
—
n
+( 2n — i ) 4n
i
两式相减 3T n = J(6n 5)4n 5]
3 • T n = i
[(6n 5)4n 5].
9
例 4.求 S n = i! + 2 • 2!+ 3 • 3!+…+ n ・ n !. 解：a n = n ・ n! = (n + i)! — n! S n = (n + i)! — i! = (n + i)! — i
变式训练4.以数列｛a n ｝的任意相邻两项为坐标的点 P n (a n 、a n +1)均在一次函数y = 2x + k 的图象
上，数列｛b n ｝满足条件：b n = a n +1— a n ,且b i *0.
⑴求证：数列｛b n ｝为等比数列.
⑵ 设数列｛a n ｝、｛b n ｝的前n 项和分别为 S 、T n ,若S 6= T 4, S 5=— 9,求k 的值. 解：⑴由题意，a n +1 = 2a n + k
•・ b n = a n + 1 — a n = 2a n + k — a n = a n + k b n +i = a n +1 + k = 2a n + 2k = 2b n
b i *0,. 3 = 2
b n
• ｛b n ｝是公比为2的等比数列. ⑵由⑴知a n = b n — k
••• b n = b i ・2n
— 1
• T n = bi(1 £)b !(2n 1)
1 2
S n = a i + a 2+•+ a n = (b i + b 2+•+ b n ) — nk
=T n — nk = b i (2n
— 1) — nk
S 6 T 4 . 63b| 6k 15b| S 5 9
…
31$ 5k 9
解得：k = 8
b n = b i q = 4n (2)VC n =
a n
b n
4n 2 2 4n i
(2n i)4n i
