(完整版)函数的周期性练习题兼答案

函数周期性分类解析x，使 f (x T) f (x) 恒成立一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论1、f x f x a ，则y f x 是以T a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期3、若函数f x a f x a ，则 f x 是以T 2a 为周期的周期函数14、y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期fx15、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周fx 期。

6、f(x a) 1 f (x)，则 f x 是以T 2a为周期的周期函数.1 f (x)7、f(x a) 11 f f((x x))，则 f x 是以T 4a为周期的周期函数8、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 f (x)(x∈R，a>0),则f(x)为周期函数且4a是它的1 f (x)一个周期9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2( b-a) 是它的一个周期。

10、函数y f (x) x R 的图象关于两点 A a,y0 、B b,y0 a b 都对称，则函数f(x)是以2 b a 为周期的周期函数；11、函数y f (x) x R 的图象关于A a, y0和直线x b a b 都对称，则函数 f (x) 是以4 b a 为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。

15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f(T )=0.函数的周期性练习题高一一．选择题（共15 小题）1．定义在R 上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+ ，则f（log220）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣2．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有 f （x+3）=﹣，且当x∈[ ﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣3．设偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣且当x∈[﹣3，﹣2]时f （x）=4x，则f（119.5）=（）A．10 B．﹣10 C．D．﹣4．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）﹣f（4）的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．25．已知f（x）是定义在R 上周期为 4 的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x+log2x，则f（2015）=（）A．﹣2 B．C．2 D．56．设f（x）是定义在R 上的周期为 3 的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2014）+f（2015）=（）A．3 B．2 C．1 D．07．已知f（x）是定义在R 上的偶函数，并满足：，当2≤x≤3，f（x）=x ，则f（5.5）=（）A．5.5 B．﹣ 5.5 C．﹣ 2.5 D．2.58．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+ ，则9．定义在R 上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（）A．5 B．﹣5 C．0 D．310．f（x）对于任意实数x 满足条件f（x+2）= ，若f （1）=﹣5，则f（f（5））=（）A．﹣5B．C．C．D．511．已知定义在R 上的函数f （x）满足f（x+5)=f（x﹣5），且0≤x≤5 时，f（x ）=4﹣x，则f（1003）=（）A．﹣1 B．0C．1 D．2 12．函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x<2时f（x）=x2﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6] 上与x 轴的交点个数为（）f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣C．D．2A．6 B．7 C．8 D．913．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1 ），则 f （2014）+f （﹣2015）+f（2016）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1 14．已知f（x）是定义在R 上且周期为3 的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2 ﹣4x+1|，则方程 f （x）= 在[ ﹣3，4] 解的个数（）A ．4B．8C．9 D．1015．已知最小正周期为2的函数f（x）在区间[﹣1，1]上的解析式是f（x）=x2，则函数f（x）在实数集R 上的图象与函数y=g（x ）=|log5x|的图象的交点的个数是（）A．3 B．4 C． 5 D．6二．填空题（共10 小题）16．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1）= ，且对任意的x 都有f（x+3）= ，则f（2014）= ．17．若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为．18．定义在R 上的函数f（x）满足f（x）= ，则f（2013）的值为．19．定义在R 上的函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f （x）=﹣ f （x+ ），f （1）=1，f （0）=﹣2，则 f （1）+f （2）+f （3）+⋯+f （2010）的值为= ．20．定义在R 上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x ）=x2﹣1，则f（2011）= ．21．定义在R 上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x<﹣1 时，f（x）= ﹣（x+2）2，当﹣1≤x<3 时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（2012）= ．22．若函数f（x）是周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f （8）﹣f（14）= ．23．设f（x）是定义在R 上的以3 为周期的奇函数，若f（2）>1，f（2014）则实数 a 的取值范围是24．设f（x）是周期为 2 的奇函数，当0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣x），则25．若（f x+2）= ，则（f +2）?f（﹣14）= ．三．解答题（共 5 小题）26．设f（x）是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈［0，2］时，f（x）=2x﹣x2（1）求证： f （x）是周期函数；（2）当x∈［2，4］时，求 f （x）的解析式；（3）计算：f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2004）．27．函数f（x）是以 2 为周期的偶函数，且当x∈［0，1］时，f（x）=3x﹣1．（1）求f（x）在［﹣1，0］上的解析式；（2）求的值．28．已知定义域为R 的函数f（x）为奇函数，且满足f （x+4）=f（x），当x∈［0，1］时，f（x）=2x﹣1．（1）求f（x）在［﹣1，0）上的解析式；（2）求 f （24）的值．29．已知函数f（x）既是奇函数又是周期函数，周期3，且x∈［0，1］时，f（x ）为=x2﹣x+2，求 f （﹣2014）的值．30．定义在R 上的奇函数 f （x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f （x）=2x+2﹣x．（1）求f（x）在［﹣1，0）上的解析式；（2）判断f（x）在（﹣2，﹣1）上的单调性，并给予证明．函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析 一．选择题（共 15 小题） 1．【解答】 解： ∵定义在 R 上的函数 f （x ）满足 f （﹣x ）=﹣f （x ）， ∴ 函数 f （x ）为奇函数 又∵f （x ﹣2）=f （x+2）∴函数 f （x ）为周期为 4 是周期函数 又∵log 232>log 220>log 216 ∴ 4< log 2 20<5∴f （log 220）=f （log 220﹣4）=f （log 2 ）=﹣f （﹣ log 2 ）=﹣f （log 2 ）2．【解答】解：因为 f （x+3）=﹣ ，故有 （f x+6 ）=﹣ =﹣=fx ）．函数 f （x ）是以 6 为周期的函数．3．【解答】 解：∵函数 f （x ）对任意 x ∈R 都有 f （x ）=﹣则 f （ x+6） 即函数 f （x ）的周期为 6， ∴f （119.5）=f （20×6﹣0.5）=f （﹣0.5）=﹣ 又 ∵偶函数f （x ），当 x ∈[﹣3，﹣2] 时，有 f （x ）=4x ， 4．【解答】解： f （x ）是 R 上周期为 5的奇函数， f （﹣x ）=﹣f （x ）， ∵f （1）=﹣f （﹣1），可得 f （﹣ 1）=﹣f （1）=﹣1， 因为 f （2）=﹣f （ 2），可得 f （﹣2）=﹣f （2）=﹣3， ∴f （8）=f （8﹣5）=f （3）=f （3﹣5）=f （﹣2）=﹣3， f （4）=f （4﹣5）=f （﹣1）=﹣1，∴f （8）﹣f （4）=﹣3﹣（﹣ 1）=﹣2，故选 C ；5．【解答】 解： ∵f （x ）的周期为 4，2015=4×504﹣1， ∴f （2015）=f （﹣1），．故选：=又∵x ∈（﹣1，0）时，f （x ） ∴f （log 2 ）=1故 f （log 220）=﹣1 故选 C6×17+5.5）=f （5.5）=﹣=﹣故选 B∴f （119.5）=﹣f （107.5）=f ∴f （x+3）C ．又f（x）是定义在R 上的奇函数，所以f（2015）=﹣f（1）=﹣21﹣log21=﹣2，故选：A．6．【解答】解：由图象知f （1）=1，f（﹣1）=2，∵f（x）是定义在R 上的周期为3的周期函数，∴f（2014）+f（2015）=f（1）+f（﹣1）=1+2=3，故选： A 7．【解答】解：（x）∴ f（x+4）=f（x），即函数f（x）的一个周期为 4 ∴f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）∵f（x）是定义在R 上的偶函数∴f（5.5）=f（1.5）=f（﹣1.5）=f（﹣1.5+4）=f（2.5）∵当2≤x≤3，f（x）=x∴f（2.5）=2.5∴ f（5.5）=2.5 故选 D8．【解答】解：∵f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以 4 为周期的奇函数，又9．【解答】解：在R 上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0 则：f（﹣x）=﹣f（x）所以函数是奇函数由于函数周期是4，所以f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣510．【解答】解：∵f （x+2）=∴ f（x+2+2 ）= =f（x）∴f（x）是以 4 为周期的函数∴ f（5）=f （1+4）=f （1）=﹣ 5故选：B===﹣===﹣=f∴ f（log354）=﹣2，故选：A ．f（f（5））=f（﹣5）=f（﹣5+4）=f （﹣）又∵f（﹣1）则函数 f （x ）是周期为 10 的周期函数，则 f （1003）=f （1000+3）=f （3）=4﹣3=1， 故选：12．【解答】 解：当 0≤x <2时，f （x ）=x 2﹣x=0解得 x=0或 x=1， 因为 f （x ）是 R 上最小正周期为 2 的周期函数， 故 f （x ）=0 在区间[0，6）上解的个数为 6，又因为 f （6）=f （0）=0，故 f （x ）=0在区间 [0， 6]上解的个数为 7， 即函数 y=f （ x ）的图象在区间 [0，6] 上与 x 轴的交点的个数为 7，故选： B ．13．【解答】 解：∵f （x+2）=f （x ）， ∴f （2014） =f （2016）=f （ 0）=log 21=0， ∵ f （x ）为 R 上的奇函数， ∴f （﹣ 2015）=﹣f （2015）=﹣f （1）=﹣1． ∴f （2014）+f （﹣ 2015）+f （2016）=0﹣1+0=﹣1．故选 A ．14．【解答】 解：由题意知， f （x ）是定义在 R 上且周期为 3 的函数， 当 x ∈[0，3）时， f （x ）=|2x 2﹣4x+1|，由图象可知：函数 y=f （x ）与 y= 在区间 [﹣3，4]上有 10个交点（互不相同） ， 所以方程 f （x ）= 在[﹣3，4]解的个数是 10 个，故选： D ．15．【解答】 解：∵函数 f （x ）的最小正周期为 2， ∴f （x+2）=f （x ），2∵ f （x ）=x ，y=g （x ） =|log 5x| ∴作图如下：C ．在同一坐标系中画出函数 f （ x ）与 y= 的图象如下图：∴f （f （5）） =﹣ 故选 B11．【解答】 解：∵f （x+5）=f （x ﹣5）， ∴f （x+10）=f （x ），∴函数f（x）在实数集R 上的图象与函数y=g（x ）=|log5x|的图象的交点的个数为 5 ，故选： C 二．填空题（共10 小题）16．【解答】解：∵对任意的x 都有f（x+3）=∴f（x+6）= =f（x），∴ 函数f（x）为周期函数，且周期T=6，∴f（2014）=f（335×6+4）=f（4）=f（1+3）= =﹣5 故答案为：﹣ 517【解答】解：当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数y=f（x）的周期为2，x∈[﹣1，0]时，f（x）=2﹣x﹣1，可作出函数的图象；图象关于y 轴对称的偶函数y=log5|x|．函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当x>5 时，y=log5|x|>1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在x>0 上有 4 个交点，由对称性知它们在x<0 上也有 4 个交点，且它们关于直线y 轴对称，可得函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为8；故答案为8；∴f （x+1）=f （x ）﹣f （x ﹣1）=f （x ﹣1）﹣ f （x ﹣2）﹣f （x ﹣1）， ∴f （x+1）=﹣f （x ﹣2），即 f （x+3）=﹣f （x ），∴ f （x+6） =f （x ），即当 x > 0 时，函数的周期是 6．∴f （2013）=f （335×6+3）=f （3）=﹣f （0）=﹣log 2（8﹣0）=﹣log 28=﹣3， 故答案为：﹣ 3．19．【解答】 解：由 f （x ）=﹣f （x+ ）得 f =f （x ）.所以可得 f （ x ）是最小正周期 T=3 的周期函数；由 f （x ）的图象关于点（ ，0）对称，知（ x ，y ）的对称点是（﹣ ﹣x ，﹣y ）．即若 y=f （ x ），则必﹣ y=f （﹣ ﹣x ），或 y=﹣f （﹣ ﹣x ）．﹣ x ） =f （x ），故知 f （x ）又是 R 上的偶函数． 于是有：f （1）=f （﹣1）=1；f （2）=f （2﹣3）=f （﹣ 1）=1；f （3）=f （0+3） =f （0） =﹣ 2；∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续 3 项之和为 0． 而 2010=3×670，于是 f （ 2010） =0；∴ 函数 f （x ）是周期函数且 T=4， ∴f （2011）=f （4×502+3）=f （3），∵当x ∈（0，4）时，f （x ）=x 2﹣1，∴f （3）=8．即 f （2011）=8．故答案为： 8． 21．【解答】 解：∵当﹣3≤x <﹣1 时，f （x ）=﹣（x+2）2， ∴f （﹣3）=﹣1，f （﹣﹣f （x ﹣2），而已知 f （x ）=﹣f 今以 x 代 x+ ，得 fx+ ），故 f （﹣ ﹣x ）=f故答案为 0．20．【解答】 解：由题意知，则令 x=x+2 代入得，=f (x ﹣1) x+3)=f[ ﹣ f (x ），2）=0，∵当﹣1≤x< 3时，f（x）=x，∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又∵ f（x+6 ）=f （x）．故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，又∵2012=335×6+2，故f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（2 012）=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f （5）+f （6）]+f （1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：338 22．【解答】解：由题意可得，f（8）=f（8﹣10）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，f（14）=f（14﹣15）=f （﹣1）=﹣f（1）=﹣1，故有f（8）﹣f（14）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，故答案为﹣1．23．【解答】解：解：由f（x）是定义在R 上的以 3 为周期的奇函数，则f（x+3）=f （x），f（﹣x）=﹣f （x），∴f（2014）=f（3×672﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2），又f（2）> 1，∴f（2014）<﹣1，即<﹣1，即为<0，即有（3a﹣2）（a+1）< 0，解得，﹣1<a< ，故答案为：．24．【解答】解：∵f（x）是周期为 2 的奇函数，当0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2× （1﹣）=﹣，故答案为：﹣．25．【解答】解：由题意可得f（+2）=sin=sin（6π﹣）=﹣sin =﹣，同理可得f（﹣14）=f（﹣16+2）=log216=4，∴f（+2）?f（﹣14）=﹣×4= ，故答案为：三．解答题（共 5 小题）26．【解答】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为 4 的周期函数；（2）解：当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，由已知得f（﹣x）=2（﹣x）﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2，又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2x﹣x2，∴ f（x ）=x 2+2x，又当x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]，∴f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4），又f（x）是周期为 4 的周期函数，∴f（x）=f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4）=x2﹣6x+8，从而求得x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8；（3）解：f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=﹣1，又f（x）是周期为 4 的周期函数，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f （6）+f（7）=⋯=f（2 000）+f（2 001）+f（2 002）+f（2 003）=0．∴f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2 004）=0+f（2004）=0．27．【解答】解：（1）当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，又f（x）是偶函数则，x∈[﹣1，0] ．2）∵1﹣log32∈[0，1]，即．28．【解答】解：（1）令x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=f（﹣x）=2 x﹣1，∴．2）∵f（x+4）=f（x），∴f （x）是以4 为周期的周期函数，29．【解答】解：∵函数f （x）的周期为3，∴ f（﹣2014）=f（﹣671×3﹣1）=f （﹣1），∵ 函数f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（12﹣1+2）=﹣2，∴f（﹣2014）=﹣2．30．【解答】解；（1）因为奇函数f（x）的定义域为R，周期为2，所以f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1），且f（﹣1）=﹣f（1），于是f（﹣1）=0．⋯（2 分）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2﹣x+2x）=﹣2x﹣2 x．⋯（5 分）⋯所以f（x）在［﹣1，0）上的解析式为（7 分）（2）f（x）在（﹣2，﹣1）上是单调增函数．⋯（9分）先讨论 f （x）在（0，1）上的单调性．设0<x1<x2< 1，则因为0<x1< x2<1，所以，于是，从而f（x1）﹣f（x2）<0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．⋯（12 分）因为f （x）的周期为2，所以f（x）在（﹣2，﹣1）上亦为单调增函数．⋯（14 分）。